1. Übungsblatt: Lineare Algebra I Abgabe: 1. November 2001 in den Übungsgruppen

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1 Hannover, den 25. Oktober 200. Übungsblatt: Lineare Algebra I Abgabe:. November 200 in den Übungsgruppen (je 3 Punkte) Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen über Mengen. a) A (B C) = (A B) (A C) b) (A \ B) (A \ C) = (A A) \ (B C) (je 4 Punkte) Es seien f : X Y und g : Y Z Abbildungen. Zeigen Sie: a) Ist f surjektiv und g f injektiv, so ist g injektiv. Geben Sie Abbildungen f und g an, so dass gilt: g f ist injektiv und g ist nicht injektiv. b) g f bijektiv = f injektiv und g surjektiv. Geben Sie ein Beispiel dafür an, dass g f bijektiv sein kann, obwohl weder f surjektiv, noch g injektiv ist. (je 2 Punkte) Gegeben sind jeweils zwei Geraden A und B im IR n. Bestimmen Sie A B. a) A = (5, 0, 6) + IR(, 2, 2) B ist die Gerade durch die Punkte (0, 6, 2) und (5, 6, 3). b) A = (,,,, ) + IR(2,,,, ) B ist die Gerade durch die Punkte ( 5, 4, 2, 7, 2) und (, 2, 0, 3, 0). c) A = IR( 3,, 4, ), B = (, 2,, 3) + IR( 3,, 4, ) (5 Punkte) Das Parallelogramm ABCD sei von den linear unabhängigen Vektoren a, b IR 3 aufgespannt. E teile die Seite AD im Verhältnis 3 :, F teile die Seite DC im Verhältnis 4 : (siehe Skizze). In welchem Verhältnis teilt S die Strecke AF?

2 Hannover, den. November Übungsblatt: Lineare Algebra I Abgabe: 8. November 200 in den Übungsgruppen (2,2, Punkte) Gegeben sind die Punkte A = (, 5, 7), B = (, 3, 6) und C = (0, 4, 5). Berechnen Sie im Dreieck ABC a) die Seitenlängen und die Winkel. b) die Fußpunkte der Höhen auf den Seiten. c) den Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. (2,3,3 Punkte) Gegeben seien die Ebenen E = (, 2, 3) + IR (,, ) + IR (2,, ) und E 2 = {(x, y, z) ; 2x + 3y z + = 0}, die Gerade A = (5, 0, 6) + IR (, 2, 2) und der Punkt u = (3, 2, ). a) Stellen Sie E in der Darstellung des Satzes.6 der Vorlesung dar, und geben Sie für E 2 eine Parameterdarstellung an. b) Bestimmen Sie: A E, A E 2, E E 2. c) Berechnen Sie d(u, A), d(u, E ) und d(u, E 2 ). Es seien v, v 2, v 3 drei Punkte im IR n, die nicht auf einer Geraden liegen. Zeigen Sie, dass es dann genau eine Ebene durch diese drei Punkte gibt. (siehe Vorlesung Satz.5) (je 3 Punkte) Es sei A = u + IRv eine Gerade und E = {x ; n, x a = 0} eine Ebene im IR 3. Zeigen Sie: a) A E oder A E = v, n = 0 n, a u b) v, n 0 = u + v A E n, v

3 Hannover, den 8. November Übungsblatt: Lineare Algebra I Abgabe: 5. November 200 in den Übungsgruppen (4 Punkte) Es sei (G, ) eine Gruppe mit a a = e für alle a G, wobei e das neutrale Element in G ist. Zeigen Sie, dass G abelsch ist. (7 Punkte) { IR \ {0, } IR Zeigen Sie: Die 6 Abbildungen h i : mit x h i (x) h (x) := x, h 2 (x) := x, h 3 (x) := x, h 4(x) := x x, h 5(x) := x, h 6(x) := x bilden bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe (G, ). Ist diese Gruppe abelsch? (3, 5 Punkte) a) Bestimmen Sie (bis auf Isomorphie) alle Körper mit genau 3 Elementen. b) Es sei A := {(a + b i ; a, b Z} C. Betrachten Sie (A, +, ), wobei + und wie in C definiert sind, und untersuchen Sie, welche der in der Vorlesung eingeführten Grundstrukturen (A, +, ) ist. Gegeben sind die komplexen Zahlen z = i und z 2 = 3 + i. z z 2 Berechnen Sie z z 2,,, z z 2 z 2, 9 sowie z und z 2.

4 Hannover, den 5. November Übungsblatt: Lineare Algebra I Abgabe: 22. November 200 in den Übungsgruppen (je 3 Punkte) a) Lösen Sie die quadratische Gleichung 4iz 2 + (8 4i)z 2 3i = 0. b) Zeigen Sie: Ist z C, z 0, so gibt es genau zwei komplexe Zahlen w, w 2 mit w 2 = w 2 2 = z. (7 Punkte) Es sei V = {(x, y) : x, y IR und y > 0}. Ferner seien und definiert durch (x, y ) (x 2, y 2 ) := (x + x 2, 2 y y 2 ) k (x, y ) := (kx, 2 ( y 2 )k ) für k Q. Untersuchen Sie, ob (V,, ) ein Vektorraum über Q ist. V sei ein K-Vektorraum, U, U 2 seien Unterräume von V. Zeigen Sie: U U 2 ist ein Unterraum von V U U 2 oder U 2 U. (je 2 Punkte) Welche der angegebenen Mengen sind Unterräume vom IR Vektorraum V? a) V = IR 2 {(x, x 2 ) ; 3x 4x 2 = a} (a IR fest vorgegeben) {(x, x 2 ) ; (x ) 2 x 2 2 = } b) V = Abb (IR, IR) {f V ; f(3) = a} (a IR fest vorgegeben) {f V ; f(x) = f( x) für alle x IR} c) V = IR[x] {p IR[x] ; Grad p 3} {0} {p IR[x] ; a 0, a 2,..., a 2n IR mit p = a 0 + a 2 x 2 + a 4 x a 2n x 2n } Hinweis zu c): Ist p = a 0 + a x a n x n mit a n 0, so heißt n der Grad von p.

5 Hannover, den 22. November Übungsblatt: Lineare Algebra I Abgabe: 29. November 200 in den Übungsgruppen (4 Punkte) Bestimmen Sie eine nicht-triviale Lösung (im IR 5 ) für das folgende homogene lineare Gleichungssystem. x 2 2x 3 x 4 + x 5 = 0 2x + 2x 2 x 3 = 0 3x + x 2 x 3 + x 4 + x 5 = 0 Gehen Sie dabei bitte genau nach dem Beweis von Satz 4.2 der Vorlesung vor. (7 Punkte) Es sei V ein K Vektorraum und es seien A, B Teilmengen von V. Beweisen oder widerlegen Sie: a) A B {0} = Span (A B) = Span A Span B b) A B oder B A Span (A B) = Span A Span B c) Span ( Span A Span B ) = Span A Span B d) Span (A B) = Span ( Span A Span B ) (9 Punkte) Untersuchen Sie die angegebenen Vektoren auf lineare Unabhängigkeit im K Vektorraum V. a) V = IR 4, K = IR (, 0,, 4), (, 2,, ), (, 2,, 9) b) V der Vektorraum aus Hausübung 4,, also K = Q (, ), (2, 2) c) α) V = C 3, K = C β) V = C 3, K = IR (i, i, ), (, i, i), (i, i, i ) d) V = Abb (IR, IR), K = IR f (t) = t + 4, f 2 (t) = t + 4, f 3 (t) = t + 4 (2, 3 Punkte) Bestimmen Sie für die folgenden Mengen S V jeweils eine Basis und die Dimension von Span S. Ergänzen Sie die von Ihnen angegebene Basis von Span S zu einer Basis von V. a) S = {(6, 2, 0, 3), (0,,, 0), (6, 0, 2, 3), ( 2, 3,, )}, V = IR 4 b) S = {x 2 + x 4, + x + x 5, x 2 + x 3 x 5, x x 3 x 4 + 2x 5 }, V ist der Vektorraum der Polynome vom Grad 5.

6 Hannover, den 29. November Übungsblatt: Lineare Algebra I Abgabe: 6. Dezember 200 in den Übungsgruppen Zeigen Sie: Im IR Vektorraum V = Abb (IR, IR) ist die Menge {f c ; f c (x) = { x c falls x > c 0 sonst, c IR} linear unabhängig. (je 2 Punkte) Untersuchen Sie jeweils, ob es Homomorphismen f : IR n IR m mit den angegebenen Eigenschaften gibt. Wenn ja, wie viele? a) n = 4, m = 3, f(v i ) = w i für die folgenden Vektoren: v = (, 2,, ), v 2 = (0,,, ), v 3 = (3, 8,, 5) w = (, 2, 3), w 2 = w 3 = (, 0, ). b) n = 4, m = 3, f(v i ) = w i für die folgenden Vektoren: v = (,,, ), v 2 = (,,, 0), v 3 = (,, 0, 0), v 4 = (0,,, ), w i = (2,, 3) für i =,..., 4. c) n = m = 4, Ker f = Span {(, 0, 0, 0), (,, 0, 0)} = Im f. d) n = 3, m = 4, Ker f = Span {(,, 0), (,, )}, Im f = Span {(, 0, 0, 0), (2, 0,, 0)}. (je 2 Punkte) Es seien V und W K-Vektorräume, B sei eine Basis von V und f : V W sei ein Epimorphismus. Untersuchen Sie, welche der folgenden Aussagen wahr sind: a) Ist dim V = dim W, so ist f(b) eine Basis von W. b) Ist dim V = dim W <, so ist f(b) eine Basis von W. (3, 4 Punkte) a) Der Homomorphismus f : IR 5 IR 4 sei gegeben durch f(x, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = (2x x 2 + x 3 x 4, x 4 + x 5, 0, 2x x 2 + x 3 + x 5 ). Bestimmen Sie eine Basis von Ker f und von Im f. b) Es sei V =Abb(IN, IR) und ϕ : V V sei definiert wie folgt: ϕ(f) ist diejenige Abbildung aus V mit (ϕ(f))(n) = f(2n). Zeigen Sie, dass ϕ ein Endomorphismus von V ist, und bestimmen Sie Ker ϕ und Im ϕ.

7 Hannover, den 6. Dezember Übungsblatt: Lineare Algebra I Abgabe: 3. Dezember 200 in den Übungsgruppen Im Vektorraum IR 3 seien Untervektorräume U, U 2, U 3 definiert durch U = Span {(0, 2, ), (, 2, ), (2, 2, 5)} U 2 = Span {(, 3, ), (, 5, ), (, 4, 0), (0,, )} U 3 = Span {(0,, )}. Bestimmen Sie jeweils die Dimension und eine Basis von U, U 2, U U 2 und U + U 2. Ist U i (i = 2, 3) ein Komplement von U in IR 3? Es sei U = {A = (a ij ) Mat(n, m, K) ; i,j a ij = 0}. Zeigen Sie, dass U ein Untervektorraum von Mat(n, m, K) ist und bestimmen Sie die Dimension sowie eine Basis von U. (8 Punkte) Bestimmen Sie jeweils den Rang, sowie eine Basis des Zeilenraumes und eine Basis des Spaltenraumes für die folgenden Matrizen: i 0 a) A = b) A = i i 2i i c) A = als Matrix über K = IR bzw. K = IF 2. (5 Punkte) Eine Matrix M Mat(m, n; K) habe die Gestalt M = Matrizen sind. Zeigen Sie: Rang M = Rang A + Rang B. ( A 0 0 B ), wobei A, B und 0 passende

8 Hannover, den 3. Dezember Übungsblatt: Lineare Algebra I Abgabe: 20. Dezember 200 in den Übungsgruppen (4 Punkte) ( ) a a Es sei A = Mat(2, K). Berechnen Sie A 0 n für alle n IN. (, 2, 3 Punkte) Ein Homomorphismus f : IR 4 IR 3 ist gegeben durch f( t (x, x 2, x 3, x 4 )) = t (x x 3 2x 4, ax + x 3 + ( a)x 4, 2x + x 2 + x 3 x 4 ). a) Bestimmen Sie diejenige Matrix A mit f = h A. b) Für welche a IR ist f surjektiv, für welche a injektiv? c) Bestimmen Sie - in Abhängigkeit von a - Ker f und Im f. (7 Punkte) Die Unterräume U = {(x, y, z) ; 2x y z = 0} und W = Span{( 2,, )} erfüllen U W = IR 3 (kein Beweis nötig!). Für i =, 2 sei f i : IR 3 IR 3 definiert durch f i (v) = v i, wobei v = v +v 2 die eindeutige Darstellung von v mit v U und v 2 W ist. Zeigen Sie, dass f und f 2 Homomorphismen sind, und bestimmen Sie die eindeutig bestimmten Matrizen A, A 2 mit f i = h Ai (i =, 2). Berechnen Sie A A 2 und interpretieren Sie das Ergebnis im IR 3. (2, 3, 3 Punkte) Eine quadratische Matrix A über K heißt nilpotent, wenn es ein r IN gibt mit A r = 0. Es seien A, B K (n,n). Zeigen Sie: a) Sind A, B symmetrisch, so gilt: A B = B A A B symmetrisch Geben Sie symmetrische Matrizen A, B an, so dass AB nicht symmetrisch ist. b) Sind A, B nilpotent und ist A B = B A, so sind A B und A + B nilpotent. Kann hier auf die Voraussetzung A B = B A verzichtet werden? c) Ist A invertierbar, B nilpotent und A B = B A, so ist A + B invertierbar. Hinweis: Zeigen Sie zunächst den Hilfssatz: Ist C nilpotent, so ist C + E invertierbar.

9 Hannover, den 20. Dezember Übungsblatt: Lineare Algebra I Abgabe: 0. Januar 2002 in den Übungsgruppen Untersuchen Sie, ob die folgenden Matrizen invertierbar sind über IR, und berechnen Sie gegebenenfalls die inverse Matrix , 2 4, Untersuchen Sie, ob A = und B = bestimmen Sie gegebenenfalls invertierbare Matrizen P, Q mit P AQ = B. äquivalent sind, und (3, 3 Punkte) Bestimmen Sie alle Lösungen x IR 5 der folgenden linearen Gleichungssysteme: 2x x + x 3 = 3 x 2 + x 3 x 4 + x 5 = 5 x a) x 2 x 5 = b) x 2 + x 4 = 3 x x + x 5 = + x 2 3x 3 + 2x 5 = 6 x + 2x 2 2x 3 x 4 x 5 = (7 Punkte) sei lösbar im IR a x + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b a Das Gleichungssystem 3 x 2 + a 2 x 3 = b 2 a 3 x a x 3 = b 3 a 2 x + a x 2 = b 4 Zeigen Sie, daß es dann nur folgende zwei Möglichkeiten gibt: (i) Jedes x IR 3 ist Lösung. (ii) Es gibt genau eine Lösung. 3. Zusatzaufgabe Es sei K ein endlicher Körper mit K = k. Zeigen Sie: GL(n, K) = k (n 2) n (k i ) i= Alle Mitarbeiter der Linearen Algebra wünschen Ihnen Frohe Weihnachten und ein glückliches Neues Jahr!

10 Hannover, den 0. Januar Übungsblatt: Lineare Algebra I Abgabe: 7. Januar 2002 in den Übungsgruppen (2, 3 Punkte) Zeigen Sie für das Vektorprodukt und Spatprodukt [a, b, c] := a b, c im IR 3 die folgenden Regeln: a) (a b) c = a, c b b, c a a, a a, b a, c b) [a, b, c] 2 = b, a b, b b, c c, a c, b c, c (3, 3 Punkte) Es seien a = (, α, α), b = (2,, ) und c = (0,, ). a) Für welche α hat der von a, b, c aufgespannte Spat eine Oberfläche von 4( ) Flächeneinheiten? b) Können Sie α so bestimmen, dass Oberfläche und Volumen des Spats in ihren Maßzahlen übereinstimmen? Es seien σ = (5 Punkte) ( ), τ = ( ). Berechnen Sie: σ τ, τ σ, σ, τ. Bestimmen Sie die Anzahl der Fehlstände von σ und τ sowie sign(σ) und sign(τ). Schreiben Sie σ und τ als Produkt von Transpositionen. (, 3, 5 Punkte) Zu einer festen Permutation σ S n sei f σ derjenige Endomorphismus des IR n, der gegeben ist durch f σ (e i ) = e σ(i) (i =,..., n). Ferner seien Unterräume U und V des IR n definiert durch U := {(x,..., x n ) ; x x n = 0}, V := {(x,..., x n ) ; x =... = x n }. a) Geben Sie die Matrix A an, für die f σ = h A gilt. b) Zeigen Sie, dass für alle σ S n gilt: f σ (U) = U und f σ (V ) = V. c) Bestimmen Sie alle Untervektorräume W IR n mit f σ (W ) W für alle σ S n. Hinweis: Die Klausur zur Linearen Algebra I findet am Samstag, dem , in der Zeit von Uhr statt. Die Gruppen von Herrn Klehn und Herrn Lönne schreiben im Raum E00, die Gruppen von Herrn Wille und Herrn Wirth im AudiMax. Teilnahmevoraussetzung: Die Möglichkeit, in den 2 Hausübungen dieses Semesters 00 Punkte zu erreichen.

11 Hannover, den 7. Januar Übungsblatt: Lineare Algebra I Abgabe: 24. Januar 2002 in den Übungsgruppen (2, 3 Punkte) Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen über IR: a) A = b) A = (3, 3 Punkte) { für i = j oder i = j ± a) Es sei A = (a ij ) Mat(n, K) gegeben durch a ij =. 0 sonst Berechnen Sie det A. b) Es sei A = (a ij ) Mat(n, IR) gegeben durch a ij = für j n + i, a i n+ i = α, (i, j {,..., n}, α IR. Berechnen Sie det A und bestimmen Sie diejenigen α IR mit det A = 0. (2, 2, 2, 3 Punkte) Es seien A, B GL(n, K). Zeigen Sie: a) Ã B = B Ã b) Ã = (Ã) c) det(ã) = (det(a))n d) Ã = (det(a)) n 2 A (5 Punkte) Gegeben ist die Matrix A = A. Ist A diagonalisierbar? Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von

12 Hannover, den 30. Januar 999 Klausur zur Linearen Algebra I Im IR 3 sind die Punkte a = (3, 0, 3), b = (4, 2, 4), c = (3, 2, ), d = (0,, ) und e = (, 2, ) gegeben. a) Geben Sie Parameterdarstellungen der Geraden G durch d und e und der Ebene E, die a, b und c enthält, an. Wie lautet die Hessesche Normalform von E? b) Zeigen Sie, daß der Schnittpunkt von G und E der Schwerpunkt des Dreiecks mit den Ecken a, (0, 6, 0), (3, 3, 0) ist. (7 Punkte) Im IR-Vektorraum V =Abb(IR, IR) sind drei Funktionen f, f 2, f 3 gegeben durch f (x) = e x, f 2 (x) = e x, f 3 (x) = e x. Untersuchen Sie f, f 2, f 3 auf lineare Unabhängigkeit in V. Es seien Homomorphismen f : IR 2 IR 4 und g : IR 4 IR ( 2 gegeben durch) 3 2 f(x, y) = (x + 2y, x + y, x + 3y, 2x) und g = h B mit B =. 4 3 Untersuchen Sie, ob g f invertierbar ist, und bestimmen Sie gegebenenfalls die Matrix C mit (g f) = h C. Es sei V =Abb(IN, IR) und ϕ : V V sei wie folgt definiert: ϕ(f) ist diejenige Abbildung aus V mit (ϕ(f))(n) = f(2n). a) Zeigen Sie, daß ϕ ein Endomorphismus von V ist. b) Bestimmen Sie Ker ϕ und Im ϕ. c) Gilt V = Ker ϕ Im ϕ? Aufgabe 5 (7 Punkte) Bestimmen Sie alle Lösungen x IR 5 des folgenden linearen Gleichungssystems: 3x + 6x 2 3x 3 2x 4 + 5x 5 = 2 x 3 x 4 + x 5 = 0 x + 2x 2 x 3 4x 4 + 2x 5 = 2x 4x 2 + 3x 3 + 7x 4 3x 5 = 2 Aufgabe 6 Die Matrix A n = (a ij ) Mat(n, IR) sei definiert durch Berechnen Sie det A n. Aufgabe 7 a ij = für j i, a n =, a ij = 0 sonst. Es sei V ein K Vektorraum mit dim V = n, ferner seien ϕ, ψ V \ {0} linear unabhängig. Zeigen Sie, daß es dann ein a Ker ϕ gibt mit ψ(a) 0. Viel Erfolg!!!

13 Hannover, den 4. April 999 Wiederholungsklausur zur Linearen Algebra I Es sei (G, ) eine Gruppe und g G sei fest gewählt. Zeigen Sie: f : G G mit f(a) := g a g ist ein Gruppenisomorphismus. Im K Vektorraum V seien die Vektoren a, b, c, d linear unabhängig. Untersuchen Sie, ob dann die Vektoren a + b + c, a + b, a b + c, a + c + 2d linear unabhängig sind. Von einer linearen Abbildung ϕ : IR 3 IR 4 sei nur bekannt, daß sie 2 auf und 0 abbildet. 0 a) Können Sie ϕ durch Zusatzbedingungen so festlegen, daß Ker ϕ = Span{ } gilt? 0 b) Geben SieeineAbbildung ϕ mit obigen Eigenschaften und dim Im ϕ = 2 in der Form... x ϕ y = an. z... Gegeben ist das lineare Gleichungssystem: 3αx + 2y + z = αx 2y αz = 0 2αx 2αy z = 0 auf Für welche Werte α IR ist das lineare Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar und wie lauten in diesen Fällen gegebenenfalls die Lösungen? Aufgabe 5 Es sei f : IR 3 IR 3 ein Automorphismus. Zeigen Sie, daß es dann einen eindimensionalen Unterraum U IR 3 gibt mit f(u) = U. Aufgabe 6 Bestimmen Sie - falls möglich - eine Spektralzerlegung von A = Viel Erfolg!!!

14 Hannover, den 26. Januar 2002 Klausur zur Linearen Algebra I Jede 0 Punkte a) Untersuchen Sie, ob die Vektoren v = (2, 3, 4, 5), v 2 = (2, 3,, 0), v 3 = (3, 5, 4, 2), v 4 = (, 0, 2, 2) des IR 4 linear unabhängig sind. b) Überprüfen Sie, ob die in a) angegebenen Vektoren, interpretiert als Elemente des IF 4 2, linear unabhängig sind. 4 3 Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung f : IR 3 IR 4 gibt, die auf 7 und auf abbildet und für die Ker f = Span { } gilt. Geben Sie die Matrix A an mit f = h A. 0 Es sei A = Untersuchen Sie, ob A über IR diagonalisierbar ist. Wenn ja, geben Sie eine Matrix W an, so dass W AW eine Diagonalmatrix ist. { i für k i Es sei A n = (a ik ) Mat(n, IR) gegeben durch a ik := k für k > i. Zeigen Sie, dass Rang A n = n gilt, berechnen Sie det (A n ) und A 3. Aufgabe 5 Sei V Vektorraum über K, seien U, W Untervektorräume von V mit U W = {0}. Ferner seien v,..., v r linear unabhängig in U und w,..., w r linear unabhängig in W und S := {v i + w i ; i =,..., r}. Zeigen Sie: a) S ist linear unabhängig. b) Span (S) U = Span (S) W = {0}. Aufgabe 6 Es seien u, v K (n ), λ := + t u v 0. Dann ist die Matrix E + u tv invertierbar und es gilt (E + u tv) = E λ u tv.