alle Abbildungen Die Menge aller Abbildungen von A nach B wird mit B A bezeichnet. Es gilt die leere Abbildung die einzige Abbildung von Ø nach B.

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1 Mathematik I für Informatiker Abbildungen p. 1 alle Abbildungen Die Menge aller Abbildungen von A nach B wird mit B A bezeichnet. Es gilt B A = B A. die leere Abbildung die einzige Abbildung von Ø nach B.

2 Mathematik I für Informatiker Abbildungen p. 2 n-tupel Die Abbildungen von der Menge {0, 1,..., n 1} nach A nennt man n-tupel. Notiert werden n-tupel in der Form (a 0, a 1,..., a n 1 ). Die Menge aller n-tupel mit Komponenten aus A ist A n. Genau genommen haben wir einen Unterschied gemacht zwischen Paaren und Zweitupeln. Dieser Unterschied wird aber ignoriert.

3 Mathematik I für Informatiker Abbildungen p. 3 Wörter n-tupel mit Komponenten aus A nennt man auch Wörter über dem Alphabet A. Die Menge aller solchen Wörter bezeichnet man mit A. Es ist also A := n N 0 A n.

4 Mathematik I für Informatiker Abbildungen p. 4 Produktmenge Ist T irgendeine Indexmenge und ist für jedes t T eine Menge A t gegeben, so die Menge der Abbildungen f : T t T A t, die die Bedingung für alle t T gilt f(t) A t mit t T bezeichnet und das Produkt der A t genannt. A t

5 Mathematik I für Informatiker Abbildungen p. 5 Matrizen Abbildungen von der Menge {1, 2,..., z} {1, 2,..., s} nach A nennt man Matrizen. Eine solche Matrix wird notiert in der Form a 1,1 a 1,2... a 1,s a A := 2,1 a 2,2... a 2,s a z,1 a z,2... a z,s Die Einträge nennt man die Komponenten der Matrix.

6 Mathematik I für Informatiker Abbildungen p. 6 Fuzzy sets Ist z eine Abbildung z : U [0, 1], so nennt man das Paar (U, z) eine unscharfe Menge mit Zugehörigkeitsfunktion z. Diese Begriffsbildung kann auf zahlreiche Weisen variiert werden.

7 Mathematik I für Informatiker Abbildungen p. 7 Kern einer Abbildung Zu jeder Abbildung f : A Z gehört eine Äquivalenzrelation auf dem Definitionsbereich A, die als Kern der Abbildung bezeichnet wird und durch definiert ist. ker f := {(a, b) a, b A, f(a) = f(b)}

8 Mathematik I für Informatiker Abbildungen p. 8 Permutationen Bijektive Abbildungen ϕ : A A einer Menge A auf sich nennt man Permutationen von A. Die Anzahl der Permutationen einer n-elementigen Menge ist n! 0! = 1 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 720 7! = ! =

9 Mathematik I für Informatiker Abbildungen p. 9 Permutationsgruppe Die Hintereinanderausführung bijektiver Abbildungen ist bijektiv. Die Hintereinanderausführung von Permutationen ist wieder eine Permutation. Die Permutationen auf einer festen Menge A bilden eine Gruppe, die Symmetrische Gruppe S A. Untergruppen der symmetrischen Gruppe nennt man Permutationsgruppen.

10 Mathematik I für Informatiker Abbildungen p. 10 Morphismen Vage: Ist f : A B eine Abbildung, tragen die Mengen A und B Struktur und erhält f diese Struktur, dann nennt man die Abbildung f einen Morphismus. Ist dabei f bijektiv, so spricht man von einem Isomorphismus. Ist f bijektiv und handelt es sich zweimal um die gleiche Struktur (was insbesondere A = B voraussetzt, dann ist f ein Automorphismus.

11 Mathematik I für Informatiker Abbildungen p. 11 Isomorphismen von Graphen Sind (V 1, E 1 ) und (V 2, E 2 ) Graphen, so nennt man eine Abbildung ϕ : V 1 V 2 einen (Graphen-)Isomorphismus, wenn gilt ϕ ist bijektiv, ϕ ist kantenerhaltend, d.h. für jede Kante {v, w} E 1 ist {ϕ(v), ϕ(w)} E 2, und ϕ ist kantenreflektierend, d.h. für jede Kante {y, z} E 2 existiert eine Kante {v, w} E 1 mit {ϕ(v), ϕ(w)} = {y, z}. Wenn es eine solchen Isomorphismus gibt, dann sind die beiden Graphen zueinander isomorph.

12 Mathematik I für Informatiker Abbildungen p. 12 Automorphismengruppe Die Menge aller Automorphismen eines Graphen (V, E) ist eine Permutationsgruppe auf V. Sie wird die Automorphismengruppe des Graphen genannt und mit Aut(V, E) notiert.

13 Mathematik I für Informatiker Abbildungen p. 13 Ordnungserhaltende Abbildungen Sind (P, ) und (Q, ) geordnete Mengen, dann ist eine Abbildung α : P Q ordungserhaltend, wenn aus r s in P stets α(r) α(s) in Q folgt, und ordnungsreflektierend, wenn aus α(r) α(s) in Q stets r s in p folgt. Statt ordnungserhaltend kann man auch monoton sagen. Ordnungsreflektierende Abbildungen sind automatisch injektiv.