Mathematische Methoden für Informatiker

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1 Prof. Dr. baumann

2 24. Vorlesung Kongruenzrelationen in Gruppen Faktorgruppe nach einer Kongruenzrelation R Normalteiler in Gruppen Faktorgruppe nach einem Normalteiler N Beispiel Homomorphiesatz für Gruppen Beispiel

3 Rückblick: Kongruenzrelationen in Halbgruppen Es sei (H, ) eine Halbgruppe und R eine Äquivalenzrelation auf der Menge H. R heißt Kongruenzrelation in der Halbgruppe H, wenn für alle a 1,a 2,b 1,b 2 H gilt: (a 1,b 1 ) R (a 2,b 2 ) R (a 1 a 2,b 1 b 2 ) R Kongruenzrelationen sind strukturverträgliche Äquivalenzrelationen. Beispiel: Durch a b (mod n) ist eine Kongruenzrelation in der Halbgruppe (N, +) definiert.

4 Kongruenzrelationen in Gruppen Es sei (G, ) eine Gruppe und R eine Äquivalenzrelation auf der Menge G. R heißt Kongruenzrelation in der Gruppe G, wenn für alle a 1,a 2,b 1,b 2 G gilt: (a 1,b 1 ) R (a 2,b 2 ) R (a 1 a 2,b 1 b 2 ) R Kongruenzrelationen sind strukturverträgliche Äquivalenzrelationen. Beispiel: Durch a b (mod n) ist eine Kongruenzrelation in der Gruppe (Z,+) definiert.

5 Rückblick: Faktorhalbgruppen Es sei (H, ) eine Halbgruppe und R eine Kongruenzrelation in H. Die Menge H wird durch R in Äquivalenzklassen [a] R := {b H (a,b) R} (a H) zerlegt. H/R := {[a] R a H} heißt Faktormenge (von H nach R). Die durch a,b H : [a] R R [b] R := [a b] R definierte Verknüpfung R ist eine Operation in H/R. (H/R, R ) ist eine Halbgruppe und wird Faktorhalbgruppe genannt.

6 Faktorgruppen Es sei (G, ) eine Gruppe und R eine Kongruenzrelation in R. Die Menge G wird durch R in Äquivalenzklassen [a] R := {b G (a,b) R} (a G) zerlegt. G/R := {[a] R a G} heißt Faktormenge (von G nach R). Die durch a,b G : [a] R R [b] R := [a b] R definierte Verknüpfung R ist eine Operation in G/R. (G/R, R ) ist eine Gruppe und wird Faktorgruppe genannt.

7 Eigenschaften von Faktorgruppen Ist e das neutrale Element der Gruppe G, dann ist [e] R das neutrale Element der Faktorgruppe G/R. g G : [g] 1 R = [g 1 ] R Ist die Gruppe G abelsch, dann ist die Faktorgruppe G/R abelsch. In Gruppen ist (im Unterschied zu Halbgruppen) die Charakterisierung von Kongruenzrelationen durch spezielle Teilstrukturen (Normalteiler in Gruppen) möglich.

8 Normalteiler in Gruppen Sei (G, ) eine Gruppe und sei (N, ) eine Untergruppe von (G, ) mit folgender Eigenschaft: g G : gn = Ng Dann wird (N, ) ein Normalteiler in (G, ) genannt. Für eine Gruppe G mit dem neutralen Element e und einer Kongruenzrelation R bildet die Äquivalenzklasse [e] R einen Normalteiler in G. Ist G eine Gruppe und N ein Normalteiler in G, dann ist durch (a,b) R : an = bn eine Kongruenzrelation in G definiert.

9 Eigenschaften von Normalteilern (N, ) in (G, ) N ist Normalteiler in G genau dann, wenn g G n N : g 1 n g N. Die trivialen Untergruppen {e} und G sind Normalteiler in G. Ist die Gruppe G abelsch, dann ist jede Untergruppe von G ein Normalteiler. Jede Untergruppe der Ordnung 1 2 G ist ein Normalteiler.

10 Faktorgruppe (G/N, N ) der Gruppe (G, ) nach einem Normalteiler (N, ) Es sei (N, ) ein Normalteiler in der Gruppe (G, ). Faktormenge G/N := {gn g G} (g 1 N) N (g 2 N) := (g 1 g 2 )N Die Menge G/N der Nebenklassen eines Normalteilers (N, ) in einer Gruppe (G, ) bildet mit der Verknüpfung N eine Gruppe, die Faktorgruppe (G/N, N ) von (G, ) nach (N, ).

11 Beispiel: eine Faktorgruppe der zyklischen Gruppe (Z 12, ) Z 12 = a a 12 = e = {e,a,a 2...,a 11 } mit a 0 = e und a i a j := a (i+j) mod 12 für alle i,j {0,1,...,11} (N, ) = ({e,a 4,a 8 }, ) ist ein Normalteiler in (Z 12, ). Zerlegung von Z 12 in Nebenklassen: {{e,a 4,a 8 },{a,a 5,a 9 },{a 2,a 6,a 10 },{a 3,a 7,a 11 }} Faktorgruppe (Z 12 /{e,a 4,a 8 }, ): {e,a 4,a 8 } {a,a 5,a 9 } {a 2,a 6,a 10 } {a 3,a 7,a 11 } {e,a 4,a 8 } {e,a 4,a 8 } {a,a 5,a 9 } {a 2,a 6,a 10 } {a 3,a 7,a 11 } {a,a 5,a 9 } {a,a 5,a 9 } {a 2,a 6,a 10 } {a 3,a 7,a 11 } {e,a 4,a 8 } {a 2,a 6,a 10 } {a 2,a 6,a 10 } {a 3,a 7,a 11 } {e,a 4,a 8 } {a,a 5,a 9 } {a 3,a 7,a 11 } {a 3,a 7,a 11 } {e,a 4,a 8 } {a,a 5,a 9 } {a 2,a 6,a 10 }

12 Rückblick: (Halb)Gruppenhomomorphismen (H 1, 1 ) und (H 2, 2 ) seien (Halb)Gruppen. Eine Abbildung h : H 1 H 2 wird ein Homomorphismus von der (Halb)Gruppe H 1 in die (Halb)Gruppe H 2 genannt, wenn gilt: a,b H 1 : h(a 1 b) = h(a) 2 h(b) Isomorphismen sind bijektive Homomorphismen. Homomorphismen sind strukturverträgliche Abbildungen.

13 Homomorphiesatz für Gruppen Jeder surjektive Homomorphismus h einer Gruppe (G, ) auf eine Gruppe (G, ) bestimmt einen Normalteiler Ker(h) := {g G h(g) = ē} von (G, ). (G, ) ist isomorph zur Faktorgruppe (G/Ker(h), ). G h h(g) = G nat Ker(h) = G/Ker(h)

14 Beispiel: Drehgruppe (D, ) des Würfels (a) 5 8 (b) 5 8 (c) 5 Es gilt D = 24 (Id., 3 3 mal Typ (a), 6 mal Typ (b), 4 2 mal Typ (c)). Jedes Element von D induziert eine Permutation auf der Menge der vier Raumdiagonalen des Würfels. Die Abbildung h, die jedes Element von D auf die induzierte Permutation der Raumdiagonalen abbildet, ist ein Homomorphismus, dessen Kern nur die Identität enthält, d.h. Ker(h) = 1. Die Faktorgruppe D/Ker(h) ist zur Gruppe D und zur Gruppe der induzierten Permutationen auf der vierelementigen Menge der Raumdiagonalen isomorph und es gilt D/Ker(h) = 24 = 4!. Die Drehgruppe des Würfels ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S 4.

15 Homomorphiesatz A h h(a) nat Ker(h) = A/Ker(h)