6.4 Homomorphismen 6.4. HOMOMORPHISMEN 175. das Σ-Erzeugnis von M.

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1 6.4. HOMOMORPHISMEN 175 das Σ-Erzeugnis von M. Wenn wir die Signatur nicht explizit machen, so reden wir einfacher vom Erzeugnis der Menge M und schreiben M. Eine notationelle Verwechslung mit Einertupeln wird nachfolgend stets ausgeschlossen sein. Beispiel 6.31 Wir betrachten die Struktur der reellen Zahlen mit der Addition,,+ und der Null 0 als ausgezeichnetem Element. Als Ausgangsmenge nehmen wir die Menge M := {2}. Damit wird F(M {0}) = {0,2,4}, F 2 (M {0}) = {0,2,4,6,8}, F 3 (M {0}) = {0,2,4,6,8,10,12, 14, 16}, Das Erzeugnis {2} besteht also aus allen geraden natürlichen Zahlen. Beispiel 6.32 Es sei A ein Alphabet. Es bezeichne A die Menge aller Wörter über A,,, die Konkatenation und,,ǫ das leere Wort. Auf A betrachten wir für jedes a A die,,a-nachfolgerfunktion succ a : w w a. Bezüglich dieser Menge von ausgezeichneten Funktionen ergibt sich Damit gilt {ǫ} = A. F({ǫ}) = {ǫ} A, F 2 ({ǫ}) = {ǫ} A A 2, F 3 ({ǫ}) = {ǫ} A A 2 A 3, Bemerkung 6.33 Die Abbildung, die jeder nichtleeren Teilmenge B der Grundmenge einer Struktur A ihr Erzeugnis zuordnet, ist eine Hüllenabbildung im Sinn von Definition Homomorphismen Als wir Funktionen zwischen Mengen eingeführt hatten, hatten wir darauf hingewiesen, daß Abbildungen oft verwendet werden, um eine Korrespondenz zwischen den Elementen zweier Mengen zu formalisieren. Wenn man

2 STRUKTUREN UND ALGEBREN nun weitergehend eine Korrespondenz zwischen zwei Strukturen festhalten möchte, so sollte eine entsprechende Abbildung auch die Beziehungen der Elemente untereinander erhalten. Dies führt uns auf den Begriff des Homomorphismus. Kurz gesagt ist ein Homomorphismus eine,,strukturerhaltende Abbildung. Bevor wir eine formale Definition geben, zunächst ein motivierendes halbformales Beispiel, mit dem wir versuchen, die grundlegende Bedeutung des Begriffs,,Strukturerhaltung lebensnah wiederzugeben. Beispiel 6.34 Sie, Frau, nett, sind in Las Vegas, jung verliebt, und erwarten von Ihrem Partner, schwerreich, Drillinge. Die Hochzeit ist beschlossene Sache, ebenso die baldige Auswanderung in ein anderes Land. Ihr Partner schlägt vor, auf der Stelle zu heiraten. Es gibt nun Auswanderungsländer X, wo Ihr Ortswechsel strukturerhaltend ist in dem Sinn, daß die Ehe aus Las Vegas in X juristisch anerkannt ist. Ein solcher Ortswechsel wäre unter dem Gesichtpunkt des Ehebündnisses,,homomorph. Wenn jedoch im Land X Ehen aus Las Vegas juristisch bedeutungslos sind, so wäre der Ortswechsel genau nicht strukturerhaltend oder homomorph. Definition 6.35 Es seien A und B zwei Strukturen derselben Signatur Σ. Eine Abbildung h: A B heißt Homomorphismus von A nach B genau dann, wenn gilt: 1. für alle R Σ R, m-stellig und für alle a 1,,a m A: R A (a 1,,a m ) R B (h(a 1 ),,h(a m )), 2. für alle f Σ F, n-stellig und für alle a 1,,a n A: h(f A (a 1,,a n )) = f B (h(a 1 ),,h(a n )), 3. für alle e Σ E gilt h(e A ) = e B. Bemerkung 6.36 Die so eingeführten Homomorphismen werden manchmal auch als schwache Homomorphismen bezeichnet. Für starke Homomorphismen fordert man als Eigenschaft 1 weitergehend, daß R A (a 1,,a m ) stets zu R B (h(a 1 ),,h(a m )) äquivalent ist. Man beachte, daß für Algebren diese Unterscheidung irrelevant ist!

3 6.4. HOMOMORPHISMEN 177 Bedingung 1 aus Definition 6.35 kann wie folgt ausgedrückt werden: wenn wir ein n-tupel von Elementen aus A (resp. B), das zur Relation R A (resp. R B ) gehört, als ein R-Tupel aus A (resp. B) bezeichnen, so müssen R-Tupel aus A durch h in R-Tupel aus B abgebildet werden. Bei starken Homomorphismen ist jedes Urbild eines R-Tupels aus B auch ein R-Tupel aus A. R A A h B R B Eigenschaft 2 aus Definition 6.35 kann in verschiedener Weise gelesen werden: analog wie für Relationen können wir von f-tupeln aus A und B reden, die Bedingung besagt dann, daß f-tupel aus A durch h in f-tupel aus B abgebildet werden. Aus anderer Sicht besagt die Bedingung, daß es dasselbe Resultat liefert, wenn man die Elemente zuerst mit f A in der Struktur A verknüpft und dann mit h abbildet, oder wenn man zunächst die Argumente einzeln mit h abbildet und dann die Bilder mittels der korrespondierenden Funktion f B in B verknüpft. f A A h B f B Beispiel 6.37 Sei Σ die Signatur, die nur das einstellige Funktionssymbol N enthält. Es sei A eine Menge von Personen, die in einem Raum an Zweiertischen sitzen. An jedem Tisch sollen zwei Personen sitzen. Wenn wir N durch die Funktion auf A interpretieren, die jeder Person ihren Nebensitzer zuordnet, so wird hierdurch eine Σ-Algebra A = A,N A erklärt. Nun sei

4 STRUKTUREN UND ALGEBREN Natürliche Zahlen mit Addition Natürliche Zahlen mit Nachfolgerfunktion Natürliche Zahlen mit Ordnungsrelation Homomorphismen Abbildung 6.4: Abhängigkeit des Homomorphiebegriffs von der Signatur. B eine zweite Menge von Personen, die in einem anderen Raum an Zweiertischen sitzen. Wir führen analog die Σ-Algebra B = B,N B ein. Eine (nicht notwendigerweise injektive oder surjektive) Abbildung h: A B erfüllt Bedingung 2 aus Definition 6.35 und ist ein Homomorphismus genau dann, wenn sie Paare von Nebensitzern in Paare von Nebensitzern überführt. Äquivalent: ausgehend von Person a A erhalten wir stets dieselbe Person, wenn wir zunächst den Nebensitzer von a nehmen und dessen Bild betrachten, oder andererseits den Nebensitzer des Bilds von a betrachten. Da man mit einer festen Grundmenge verschiedene Strukturen verbinden kann, ist zu beachten, daß der Begriff des Homomorphismus von den durch die gewählte Signatur ausgezeichneten Funktionen, Relationen und Elementen abhängig ist. Dies ist in Abbildung 6.4 illustriert und wird auch vom nachfolgenden Beispiel unterstrichen.

5 6.4. HOMOMORPHISMEN 179 Beispiel 6.38 Es sei A und f: A B eine Funktion. Wir betrachten die Strukturen mit Grundmengen P(A) und P(B) (vgl. Definition 2.26) mit der Vereinigung,, als jeweils einziger Funktion. Gemäß Definition 3.37 (a) können wir f auch als Funktion von P(A) nach P(B) auffassen, indem wir jedem X P(A) die Menge f(x) P(B) zuordnen. Lemma 3.40 (i) besagt gerade, daß die so betrachtete Funktion ein Homomorphismus ist. Wenn wir den Durchschnitt,, als zusätzliche Funktion in den Strukturbegriff mitaufnehmen, so definiert f im obigen Sinn genau dann einen Homomorphismus, wenn f injektiv ist, wie Lemma 3.53 zeigt. Lemma 6.39 Es seien A, B und C Strukturen derselben Signatur. Es sei f ein Homomorphismus von A nach B und g ein Homomorphismus von B nach C. Dann ist f g ein Homomorphismus von A nach C. Beweis. Übung (vgl. Aufgabe 6.18). Definition 6.40 Ein injektiver Homomorphismus wird Monomorphismus genannt, ein surjektiver Homomorphismus heißt auch Epimorphismus. Ein Isomorphismus ist ein bijektiver und starker Homomorphismus. Beispiele 6.41 Einige Illustrationen zu den Begriffen Monomorphismus, Epimorphismus, Isomorphismus. 1. Ist A eine Teilstruktur von B, so ist die identische Abbildung Id A ein Monomorphismus von A nach B. 2. Es sei A = {Jo,Jack,Susanne} und liebt A = { Jo,Susanne }. Weiter sei B = {Georg,Sigrid} und liebt B = { Georg,Sigrid }. Dann ist die Abbildung f: Jo Georg Jack Georg Susanne Sigrid ein schwacher Epimorphismus von A,liebt A auf B,liebt B. Offenkundig ist f surjektiv, und mit liebt A (Jo,Susanne) gilt auch liebt B (Georg,Sigrid). Jo Susanne Jack Sigrid Georg

6 STRUKTUREN UND ALGEBREN Da liebt A (Jack,Susanne) nicht gilt, ist f kein starker Homomorphismus. 3. Es sei A das Alphabet mit dem einzigen Zeichen a. Es sei nun M := A, wo,, die Konkatenation bezeichnet. Die Abbildung h: IN A, die jede Zahl n IN auf das eindeutig bestimmte Wort a a der Länge n abbildet, ist ein Isomorphismus zwischen IN, + und M. Für ein einelementiges Alphabet kann man die Konkatenation daher als eine Form der Addition ansehen. 4. Die Exponentiation exp: IR IR >0,x e x ist ein Isomorphismus von IR,+,0 in IR >0,,1 (hierbei ist wieder IR >0 die Menge der positiven reellen Zahlen). Es gilt nämlich x,y IR: exp(x + y) = e x+y = e x e y = exp(x) exp(y) sowie exp(0) = e 0 = 1. Außerdem ist exp eine Bijektion (ohne Beweis). 5. Die Abbildung f: IN Z { n/2 falls n gerade ist f(n) = (n + 1)/2 falls n ungerade ist stellt eine Bijektion zwischen IN und Z dar. Es ist f jedoch kein Isomorphismus von IN, nach Z, : es gilt nämlich 0 1 aber f(0) = 0 1 = f(1). Man kann leicht sehen (vgl. Aufgabe 6.20), daß es zwar einen Monomorphismus von IN, nach Z, gibt, aber keinen Epimorphismus. Die nachfolgenden zwei Lemmas stellen zwei wichtige Beobachtungen über Homomorphismen zusammen. Lemma 6.42 Es seien A und B zwei Σ-Strukturen und h ein Homomorphismus von A nach B. Dann bildet das Bild h(a) die Grundmenge einer Σ-Teilstruktur von B. Beweis. Wir verifizieren die Voraussetzungen von Lemma Offenkundig ist mit A auch h(a) nichtleer. Aus Bedingung 3 von Definition 6.35 folgt sofort, daß h(a) alle ausgezeichneten Elemente e B enthält (e Σ E ). Seien nun f Σ F mit Stelligkeit n und Elemente b 1,,b n h(a) gegeben. Dann existieren Elemente a 1,,a n A mit b i = h(a i ), 1 i n. Aufgrund Bedingung 3 aus Definition 6.35 ist damit f B (b 1,,b n ) = f B (h(a 1 ),,h(a n )) = h(f A (a 1,,a n )) in h(a). Die Behauptung folgt nun mit Lemma 6.27.

7 6.4. HOMOMORPHISMEN 181 Lemma 6.43 Es sei h: A B ein Isomorphismus zwischen den Σ-Strukturen A und B. Dann ist auch h 1 : B A ein Isomorphismus und es gilt h h 1 = Id A und h 1 h = Id B. Beweis. Es sei h: A B ein Isomorphismus zwischen A und B. Gemäß Lemma 3.54 ist h 1 : B A eine Bijektion und es gilt h h 1 = Id A und h 1 h = Id B. Es bleibt noch nachzuweisen, daß h 1 ein starker Homomorphismus ist. Sei R Σ R ein m-stelliges Relationssymbol und b 1,,b m B. Weiter sei a 1 := h 1 (b 1 ),,a m := h 1 (b m ), wodurch b 1 = h(a 1 ),,b m = h(a m ) folgt. Da h als Isomorphismus nach Voraussetzung ein starker Homomorphismus ist, gilt R B (b 1,,b m ) R B (h(a 1 ),,h(a m )) R A (a 1,,a m ) R A (h 1 (b 1 ),,h 1 (b m )). Dies zeigt, daß h 1 Eigenschaft 1 aus Definition 6.35 erfüllt. Es sei f Σ F ein n-stelliges Funktionssymbol und b 1,,b m B. Weiter sei a 1 := h 1 (b 1 ),,a n := h 1 (b n ). Da h ein Homomorphismus ist, gilt h 1 (f B (b 1,,b n )) = h 1 (f B (h(a 1 ),,h(a n ))) = h 1 (h(f A (a 1,,a n ))) = f A (a 1,,a n ) = f A (h 1 (b 1 ),,h 1 (b n )). Dies zeigt, daß h 1 Eigenschaft 2 aus Definition 6.35 erfüllt. Die Überprüfung, daß h 1 auch Eigenschaft 3 erfüllt, ist einfach und wird dem Leser überlassen. In der mathematischen Literatur gibt es noch weitere Namen für spezielle Homomorphismen. Ein Homomorphismus von einer Struktur in sich selbst heißt Endomorphismus. Ein Isomorphismus von einer Struktur in sich selbst heißt Automorphismus. Wir wollen nun den Begriffen Isomorphismus, Monomorphismus und Epimorphismus eine anschauliche Interpretation geben. Diese Aufgabe wird erleichtert, wenn wir uns hierbei auf starke Homomorphismen beschränken. Gibt es einen Isomorphismus h zwischen den Strukturen A = A,I und B = B,J, so bedeutet dies, daß A und B genaue Kopien voneinan-

8 STRUKTUREN UND ALGEBREN der sind. Sie unterscheiden sich nur durch die Namensgebung der Elemente der Grundmenge sowie gegebenenfalls durch die Namen der ausgezeichneten Relationen und Funktionen und der ausgezeichneten Elemente. In der Mathematik möchte man oft zwischen isomorphen Strukturen keinen Unterschied machen. Ein häufiges Ziel algebraischer Untersuchungen ist es, alle Strukturen einer bestimmten Art bis auf Isomorphie zu klassifizieren. Gibt es einen starken Monomorphismus h von A = A,I nach B = B,F, so bedeutet dies, daß A in B einbettbar ist. Das Bild h(a) von A, versehen mit den Einschränkungen der ausgezeichneten Relationen und Funktionen von B auf h(a) und mit den ausgezeichneten Elementen von B, ist eine Teilstruktur von B, die zu A isomorph ist (Aufgabe 6.19). Man kann also A bis auf Namensgebung in B als Teilstruktur wiederfinden. Gibt es einen starken Epimorphismus h von A = A,I nach B = B,J, so bedeutet dies, daß B als eine Vergröberung der Struktur A betrachtet werden kann, in der im Prinzip jedoch dieselben Beziehungen gelten, wenn man davon absieht, daß h verschiedene Elemente von A identifizieren kann. Die Bedeutung der Epimorphismen beruht darauf, daß man in der gröberen Struktur oft viel einfacher rechnen kann, ohne daß dabei etwas Entscheidendes an Information verlorenginge. Dies illustriert das folgende Beispiel. Beispiel 6.44 Angenommen, wir möchten natürliche Zahlen addieren und multiplizieren, interessieren uns aber nur für die Frage, wie für das Rechenergebnis der beim Teilen durch 5 übrigbleibende Rest des jeweiligen Rechenergebnisses aussieht. Wir können ähnlich wie in Abbildung 6.2 durch Aufwicklung von IN eine Äquivalenzrelation,, auf IN einführen. Vermöge,, werden genau solche Zahlen identifiziert, zwischen denen wir keinen Unterschied machen wollen. Die Äquivalenzklassen sind in Abbildung 6.5 dargestellt. Die Abbildung, die jeder ganzen Zahl k die zugehörige Stunde oder Äquivalenzklasse [k] zuordnet, ist ein Epimorphismus bezüglich der Addition und Multiplikation. Die Homomorphie-Eigenschaft folgt sofort aus der Definition von Uhrenaddition und Uhrenmultiplikation [i] [j] := [i + j], [i] [j] := [i j], deren Wohldefiniertheit wir in Beispiel 6.14 nachgewiesen hatten. Die Surjektivität ist trivial. Aus der Homomorphie-Eigenschaft ergibt sich sofort, daß sich sich gültige Rechengesetze der Ausgangsstruktur wie die Kommutativität der Addition oder der Multiplikation automatisch auf die epimorphe

9 6.5. KONGRUENZRELATIONEN UND QUOTIENTENSTRUKTUREN183 [0] [4]. [3] [2] [1] Abbildung 6.5: Vereinfachung von Rechenoperationen mittels Epimomorphismus. Bildstruktur Z 5 übertragen. Unter verschiedenen Aspekten ist das Rechnen in Z 5 aber zudem gleichzeitig einfacher und reichhaltiger. Wir können die Operationen,, und,, in endlichen Tabellen darstellen, wie wir das in Bemerkung 6.16 bereits für Z 2 durchgeführt hatten. Es ist dann leichter, [1] [2] zu berechnen, als das Produkt Während IN zusammen mit der Addition oder der Multiplikation keine Gruppe bildet, da wir dort keine negativen Zahlen oder Brüche haben, ist in Z 5 eine Inversenbildung bezüglich der Uhrenaddition und bezüglich der Uhrenmultiplikation möglich. Während also die ursprüngliche Struktur nicht einmal einen Ring darstellte, ist das epimorphe Bild sogar ein Körper. 6.5 Kongruenzrelationen und Quotientenstrukturen Beispiel 6.44 zeigt, daß es unter bestimmten Voraussetzungen möglich ist, ausgehend von einer Struktur A und einer Äquivalenzrelation,, auf der Grundmenge A eine neue Struktur B mit Grundmenge A/ anzugeben, die man als,,vereinfachung von A ansehen kann, und wo die Rechenoperationen sich durch Übertragung der Rechenoperationen von A ergeben. Die Einführung der Äquivalenzrelation,, folgte der Vorstellung, Elemente von A zu identifizieren, zwischen denen wir im aktuellen Kontext keinen Unter-