2.1 Zyklische Gruppen, Ordnung von Elementen, ggt und kgv

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1 Algebra und Zahlentheorie c Rudolf Scharlau, Zyklische Gruppen, Ordnung von Elementen, ggt und kgv Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie aus den Potenzen eines festen Elementes besteht. Solche Gruppen tauchen in ganz unterschiedlichen Kontexten auf, von der elementaren Zahlentheorie bis zu geometrischen Situationen verschiedener Art, und als Untergruppen von beliebigen Gruppen. Trotz verschiedenartigen Aussehens etwa der Drehgruppe eines regulären Polygons und der multiplikativen Gruppe der Reste modulo einer Primzahl haben alle zyklischen Gruppen die gleiche Struktur. Der Prototyp einer endlichen zyklischen Gruppe ist die aus der Linearen Algebra bekannte additive Reste-Gruppe bzw. Restklassen-Gruppe (Z/mZ, + m )bzw.(z/mz, +). Im unendlichen Fall hat man die Gruppe Z als im wesentlichen einzige zyklische Gruppe. Im Zusammenhang mit der Untersuchung zyklischer Gruppen steht der Begriff der Ordnung eines Elementes. Er wird in diesem Abschnitt eingeführt und in einigen wichtigen Situationen studiert. Er spielt eine grundlegende Rolle für jegliche Untersuchung endlicher Gruppen, sei es in der abstrakten Gruppentheorie, der Zahlentheorie oder der Geometrie. Als eine Anwendung des Konzeptes der zyklischen Gruppen geben wir eine neue Charakterisierung eines bekannten Begriffs, nämlich des größten gemeinsamen Teilers (ggt) zweier ganzer Zahlen. Wir ergänzen ihn an dieser Stelle um den Begriff des kleinsten gemeinsamen Vielfaches (kgv) zweier ganzer Zahlen. Abgesehen von der Analogie zum ggt wird das kgv für die gruppentheoretischen Inhalte dieses Abschnitts tatsächlich gebraucht, nämlich für das Studium von Elementordnungen in bestimmten Gruppen. Vor der folgenden Definition erinnern wir der Vollständigkeit halber an die Potenzschreibweise a n aus sowie ihre Variante n.a für den Fall der Verknüpfung +. Bemerkung und Definition a) Es sei G eine beliebige Gruppe und a G. Definiere a := {a n n Z}, bzw. a := {n.a n Z} bei additiver Schreibweise der Verknüpfung. Dieses ist eine Untergruppe von G. b) Eine Gruppe G heißt zyklisch, fallseina G existiert mit a = G. In diesem Fall heißt a Erzeuger oder erzeugendes Element von G. Die drei Eigenschaften einer Unterguppe prüft man unmittelbar anhand der Potenzgesetze nach. Man kann sich auch auf a) berufen: die Teilmenge a ist das Bild eines Homomorphismus, nämlich der Abbildung n a n, Z G und als solches eine Untergruppe von G.

2 Algebra und Zahlentheorie c Rudolf Scharlau, Ebenfalls aus den Potenzgesetzen ergibt sich folgende allgemeine Bemerkung: Bemerkung Jede zyklische Gruppe ist abelsch. Denn wenn x und y zwei beliebige Elemente aus G = a sind, so schreibe x = a n, y = a m.esist x y = a n a m = a n+m = a m+n = a m a n = y x. Auch in diesem Beweis können wir wieder einen etwas allgemeineren Standpunkt einnehmen: Bemerkung Wenn ϕ : A G ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist und A abelsch, so ist auch G abelsch. Den leichten Beweis lassen wir als Übung. Beispiele (Zyklische Gruppen) (1) Die Gruppen (Z, +) und (Z/mZ, +) sind zyklisch mit Erzeuger 1 bzw. 1:= [1] m.einerzeugeristnichteindeutigbestimmt.für Z ist die einzige weitere Möglichkeit 1; bei Z/mZ hängt die Antwort natürlich von m ab: so gilt etwa für m =10genaudanna = Z/10Z, wenna {1, 3, 7, 9} ist. (2) Allgemein gilt für beliebiges m N,m>1unda Z [a] m = Z/mZ [a] m (Z/mZ), d.h. eine Restklasse ist Erzeugendes der additiven Restklassengruppe genau dann, wenn sie Einheit (invertierbar) im Restklassenring ist. Siehe für die Einheiten in Z/mZ. (3) Die Vielfachenmenge mz = {mz z Z} ist die von m erzeugte (zyklische) Untergruppe von Z (insbesondere überhaupt eine Untergruppe, siehe Beispiel (1)). (4) Die (multiplikative) Gruppe (Z/5Z) ist zyklisch mit Erzeuger g = 2, denn (Z/5Z) = {2, 4, 3, 1} = {g, g 2,g 3,g 4 = e}. (5) Die Gruppe (Z/8Z) = {1, 3, 5, 7} ist nicht zyklisch, denn für jedes Gruppenelement g gilt g 2 = 1=e; für einen Erzeuger g müsste aber g 2 = e gelten. Aus ähnlichen Gründen ist auch die (additive) Gruppe Z/2Z Z/4Z nicht zyklisch; siehe unten (6) Entgegen dem ersten Anschein ist die Gruppe Z/2Z Z/3Z zyklisch. Als Erzeuger kann man das Paar (1, 1) nehmen (wobei natürlich 1=[1] 2,,1 = [1] 3 ist). Fortgesetztes Addieren dieses Elementes liefert nämlich alle sechs Elemente von Z/2Z Z/3Z.

3 Algebra und Zahlentheorie c Rudolf Scharlau, Der folgende Satz beantwortet im Anschluss an Beispiel (2) die naheliegende Frage, ob es in Z noch weitere Untergruppen gibt. Satz Jede Untergruppe von (Z, +) ist zyklisch, also von der Form mz für ein m Z. Beweis: siehe Vorlesung. Beachte: Für eine gegebene Untergruppe von Z ist das erzeugende Element m eindeutig bestimmt, wenn wir noch m 0verlangen.Dennfür zwei Erzeuger m, n gilt m n m. Wir geben nun zwei Anwendungen von Satz Die erste Anwendung ist eine Beschreibung der von einem Gruppenelement a erzeugten Untergruppe a von G. Im Hinblick auf den diesbezüglichen Satz treffen wir zunächst die folgende Definition. Definition Sei (G, ) einegruppeunda G. Dannheißt ord(a) := min{n N a n = e} die Ordnung von a. Wir setzen ord(a) =, fallskeinsolchesn existiert. Der folgende Satz beinhaltet insbesondere, dass die Ordnung eines Elementes genau die Ordnung, d.h. die Anzahl der Elemente der davon erzeugten Untergruppe ist. Satz Es sei (G, ) eine Gruppe, a G, m =ord(a) die Ordnung von a. a) Es sei m < angenommen. Für n Z gilt a n = e m n und allgemeiner für k, l Z Weiter ist a k = a l k m l. a = {e = a 0, a, a 2,...,a m 1 }, und die angegebenen Elemente sind paarweise verschieden. Insbesondere ist a = m. b) Es sei m =. Dann sind die Elemente a n, n Z alle voneinander verschieden. Beweis: siehe Vorlesung. Korollar Eine endliche Gruppe G mit n Elementen ist dann und nur dann zyklisch, wenn sie ein Element der Ordnung n enthält. Genauer gilt für a G die Äquivalenz: a erzeugt G ord(a) =n.

4 Algebra und Zahlentheorie c Rudolf Scharlau, Beweis: a besteht aus m := ord(a) Elementen,istalsogenaudanngleichganz G, wennm = n ist. Dieses Korollar liefert auch die prinzipielle Methode zu begründen, dass eine vorgelegte Gruppe G nicht zyklisch ist: wenn man eine Zahl m< G angeben kann mit a m = e für alle a G, dannkanng nicht zyklisch sein, denn alle Ordnungen von Elementen von G sind dann kleiner gleich m (sogar Teiler von m). In dem oben unter (5) erwähnten Fall Z/2Z Z/4Z kann man m =4 nehmen (man beachte die additive Schreibweise: die Bedingung lautet 4.a =0, was offenbar zutrifft). Die Frage, wann ein allgemeines Produkt Z/mZ Z/nZ zyklisch ist, wird unten unter abschließend geklärt. Im Spezialfall der zyklischen Gruppe (Z/mZ, +) mit Erzeuger a =[1] m ist der Homomorphismus ϕ aus dem Beweis von Satz einfach die Restklassenabbildung ϕ(n) =[n] m. Die Aussagen aus diesem Satz reduzieren sich dann auf grundlegende Tatsachen über die Kongruenzrelation und Gleichheit von Restklassen. Im allgemeinen Fall kann man den Satz so verstehen: in einer zyklischen Gruppe rechnet man am besten mit Exponenten (bezüglich eines fest gewählten Erzeugers); die Exponenten werden entsprechend den Potenzgesetzen einfach addiert (bzw. negativ genommen, subtrahiert), jedoch muss man sie modulo m betrachten, also wie mit Resten bzw. Restklassen rechnen. Strukturell formuliert: eine (endliche) zyklische Gruppe mit m Elementen ist isomorph zu Z/mZ. Der folgende Satz (der im wesentlichen schon bewiesen ist), hält dieses genau fest: Satz Es seien wie eben (G, ) eine Gruppe, a G, a die von a erzeugte Untergruppe und m =ord(a) die Ordnung von a. a) Für m< ist a = Z/mZ. Ein Isomorphismus ist gegeben durch n a n, Z/mZ a. b) Für m = ist a = Z. Ein Isomorphismus ist gegeben durch n a n, Z a. Beweis: siehe Vorlesung. Wir werden bald sehen, dass die Definition von ψ sowie die Eigenschaften dieser Abbildung Spezialfall eines ganz allgemeinen Sachverhaltes, nämlich des sog. Homomorphiesatzes sind. Hier wird Z/mZ durch eine allgemeinere sog. Faktorgruppe ersetzt. Wir kommen nun zu der zweiten Anwendung des obigen Satzes Wir benutzen ihn, um den aus bekannten Begriff des größten gemeinsamen Teilers (ggt) zweier natürlicher Zahlen neu zu begründen. Der folgende Hilfssatz bereitet dieses vor. Hilfssatz a) Für a, b Z ist Za + Zb = {xa + yb x, y Z} eine Untergruppe von Z.

5 Algebra und Zahlentheorie c Rudolf Scharlau, b) Allgemeiner ist für eine abelsche Gruppe (G,+) und Untergruppen A, B G auch A + B = {a + b a A, b B} eine Untergruppe. Der Beweis ist reine Routine und kann als Übung überlassen werden. Man muss einfach die drei Untergruppen-Eigenschaften mit der Definition von A + B zusammenbringen. Wir erinnern daran, dass der entsprechende Sachverhalt für Vektorräume dem Leser vermutlich bekannt ist. Wir erinnern an die folgende Kennzeichnung des größten gemeinsamen Teilers g =ggt(a, b) zweierganzerzahlena, b mit Hilfe der Teilbarkeitsrelation auf Z: (1) g a und g b (2) c Z, c a und c b = c g. Satz Seien a, b Z. Eine Zahl g Z hat die Eigenschaften des größten gemeinsamen Teilers von a und b genau dann, wenn g ein Erzeugendes der Gruppe Za + Zb ist. Beweis: siehe Vorlesung. Wir werden nun den Begriff des größten gemeinsamen Teilers durch den Begriff des kleinsten gemeinsamen Vielfachen ergänzen. Dieses geschieht auch im Hinblick auf gleich folgende Überlegungen zur Ordnung von Gruppenelementen, Definition Gegeben seien zwei ganze Zahlen a und b. EineganzeZahl k heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches von a und b, wenn sie folgende Eigenschaften hat: (1) a k und b k, (2) l Z, a l und b l = k l. In Worten: k ist ein Vielfaches von a und von b, undjedezahl,diegleichzeitig Vielfaches von a und b ist, ist ein Vielfaches von k. Der Begriff des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, kurz kgv, ist dual zum Begriff des größten gemeinsamen Teilers in dem Sinn, dass die Definition die gleiche Struktur hat, aber alle Teilbarkeitsbeziehungen umgedreht werden. Es ist kein Problem, analog zu Satz eine Kennzeichung des kgv durch eine gewisse Erzeugendeneigenschaft anzugeben: Hilfssatz Gegeben seien a, b Z. EineZahlk Z ist genau dann ein kgv von a und b, wennza Zb = Zk ist.

6 Algebra und Zahlentheorie c Rudolf Scharlau, Der Beweis ergibt sich durch scharfes Hinsehen: Za Zb enthält genau die gemeinsamen Vielfachen von a und b. Der folgende Satz klärt Existenz und Eindeutigkeit des kleinstes gemeinsames Vielfaches und stellt auch ein Beziehung zum ggt her. Satz a) Zu je zwei ganzen Zahlen a und b gibt es ein kleinstes gemeinsames Vielfaches k. Es ist unter der zusätzlichen Forderung k 0 eindeutig bestimmt und wird mit kgv(a, b) bezeichnet. b) Falls a und b nicht beide Null sind, gilt kgv(a, b) =± ab ggt(a, b). Beweis: zu a): Die Existenz eines kgv folgt nun unmittelbar daraus, dass Za Zb eine Untergruppe von Z, also nach Satz zyklisch ist. Die Eindeutigkeit ergibt sich genau wie beim ggt unmittelbar aus der Definition: wenn k und k beide die Bedingungen (1) und (2) erfüllen, so gilt k k und k k, also Gleicheit, wenn beide positiv oder Null sind. zu b): Wir setzen kurz g := ggt(a, b) undk := kgv(a, b). Wir benutzen eine Darstellung g = xa + yb mit x, y Z und schreiben ferner k = aa = bb mit a,b Z. Einsetzenliefertgk = xak + ybk = xabb + ybaa =(xb + ya )ab, also ab gk. Für die umgekehrte Teilbarkeit bemerken wir, dass die obigen Zahlen a und b jedenfalls teilerfremd sind, denn sonst gäbe es einen echten Teiler von k, der immer noch gemeinsames Vielfaches von a und b wäre. Also existieren r, s Z mit ra + sb =1.Esfolgtab = ab(ra + sb )=braa + asbb =(br + as)k = zgk für ein z Z, denng br + as. Also gilt gk ab, wasnochzuzeigenwar. Wir kehren nun zu den Elementordnungen in Gruppen zurück. Bemerkung Wenn zwei Elemente a und b einer Gruppe vertauschbar sind, also ab = ba, undbeideendlicheordnunghaben,danngiltdiesesauchfür das Produkt. Genauer ist ord(ab) ein Teiler von kgv(ord(a), ord(b)). Beweis: Ohne die Vertauschbarkeit ist die Behauptung aus Bemerkung falsch: Die Elemente (1, 2), (2, 3) S 3 haben die Ordnung 2, ihr Produkt die Ordnung 3. In unendlichen Gruppen kann die Ordnung eines Produktes leicht sogar unendlich werden. Dieses sieht man am einfachsten bei der später behandelten unendlichen Diedergruppe (siehe Satz 2.7.8). Die genaue Bestimmung der Ordnung von ab im vertauschbaren Fall gelingt uns im Augenblick nur in einem relativ simplen Fall. In der folgenden Sitation wird der nach Bemerkung größtmögliche Wert angenommen.

7 Algebra und Zahlentheorie c Rudolf Scharlau, Bemerkung Eine Gruppe G sei gegeben als direktes Produkt von zwei Gruppen A und B. Wenna A und b B zwei Elemente endlicher Ordnung sind, so gilt in G = A B ord((a, b)) = kgv(ord(a), ord(b)). In der Tat ist (a, b) m =(e, e) genaudann,wenna m = e und b m = e; wieoben bei den elementfremden Zykeln greift also unmittelbar die Definition des kgv. Satz Es seien m, n N zwei natürliche Zahlen. Die Gruppe Z/mZ Z/nZ ist genau dann zyklisch, wenn m und n teilerfremd sind. Beweis: Nach Korollar ist die in Frage stehende Gruppe genau dann zyklisch, wenn sie ein Element der Ordnung mn enthält. Setze kurz k := kgv(m, n). Das Element ([1] m, [1] n ) hat nach Bemerkung die Ordnung k. Wennm und n teilerfremd, dann ist nach Satz b) k = mn, unddiebehauptungistgezeigt. Seien andererseits m und n nicht teilerfremd, also wieder nach Satz b) jetzt k<mn.einbeliebiges([x] m, [y] n ) hat die Ordnung kgv(m,n ), wobei m =ord([x] m )undn = ord([y] n ). Aus m m und n n folgt leicht k k, also erst recht k <mn. Es gibt also kein Element der Ordnung mn. Der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache werden oft auch für mehr als zwei Zahlen gebraucht. Die von uns gewählte Definition über Teilbarkeitsbeziehungen überträgt sich in offensichtlicher Weise auf den allgemeinen Fall. Ebenso übertragen sich die Existenz- und Eindeutigkeitsaussage sowie die Charakterisierung durch Summen bzw. Durchschnitte von Vielfachenmengen (also gewissen Untergruppen von Z). Dieses wird im folgenden Satz zusammengefasst. Satz und Definition (ggt und kgv von mehr als zwei Zahlen) a) Gegeben seien ganze Zahlen a 1,...,a r. Dann gibt es eine ganze Zahl g mit folgenden Eigenschaften: (1) g a i für i =1,...,r, d.h. g ist ein Teiler aller a i ; (2) c Z, c a i für i =1,...,r = c g, d.h. jeder weitere gemeinsame Teiler aller a i ist ein Teiler von g. Ein solches g ist bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt und heißt größter gemeinsamer Teiler der a i, kurz ggt(a 1,...,a r ). b) Eine Zahl g Z ist ggt von a 1,...,a r genau dann, wenn Za 1 + Za Za r = Zg. c) Gegeben seien ganze Zahlen a 1,...,a r. Dann gibt es eine ganze Zahl k = kgv(a 1,...,a r ) mit folgenden Eigenschaften:

8 Algebra und Zahlentheorie c Rudolf Scharlau, (1) a i k für i =1,...,r, d.h. k ist ein Vielfaches aller a i ; (2) a i l für i =1,...,r = k l; d.h. jedes weitere gemeinsame Vielfache l der a i ist ein Vielfaches von k. Ein solches k ist bis auf das Vorzeichen eindeutig bestimmt und heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches der a i, kurz kgv(a 1,...,a r ). d) Eine Zahl k Z ist kgv von a 1,...,a r genau dann, wenn Za 1 Za 2 Za r = Zk. Wir kehren noch einmal zum Themenkreis der Ordnung von Elementen in einer Gruppe zurück. Wir wollen klären, wie diese Ordnungen in der symmetrischen Gruppe S n aussehen. Die Elemente der symmetrischen Gruppe besitzen bekanntlich eine Art Normalform, nämlich die Zerlegung in elementfremde Zyklen. Es ist nicht überraschend, das sich hieraus die Ordnung leicht ablesen läßt.das Ergebnis ist wie folgt: Satz a) Es sei ρ =(i 1,i 2,...,i ) ein Zyklus der Länge in der symmetrischen Gruppe S n. Dann ist auch die Ordnung von ρ. b) Es sei σ ein beliebiges Element der S n und σ = ρ 1 ρ 2... ρ r seine Zerlegung in elementfremde Zykel; mit i sei die Länge von ρ i bezeichnet. Dann ist die Ordnung von σ das kleinste gemeinsame Vielfache der i. Beweis: Der Teil a) ergibt sich durch Ausschreiben von ρ =(x 0,x 1,...,x 1 ) und scharfes Hinsehen: für 0 m<bildet ρ m das Element x i auf x (i+m) mod ab, also jedenfalls nicht auf sich selbst, und folglich ist ρ m nicht die Identität. Aus dem gleichen Grund gilt ρ =id. Für den Teil b) ist entscheidend, dass die Faktoren ρ i alle miteinander vertauschbar sind: ρ i ρ j = ρ j ρ i für elementfremde Zykel ρ i und ρ j.diesesliegt einfach daran, dass die Wirkungsbereiche in {1, 2,...,n} disjunkt sind. (Mit Wirkungsbereich einer Permutation meinen wir die Menge derjenigen Ziffern, die nicht auf sich selbst abgebildet werden.) Hieraus folgt, dass für jeden Exponenten m gilt σ m = ρ m 1 ρ m 2 ρ m r. Wieder wegen der disjunkten Wirkungsbereiche ist diese Abbildung nur dann gleich der Identität, wenn alle Faktoren ρ m i die Identität sind. Dieses gilt genau dann, wenn m ein Vielfaches der Ordnung von jedem ρ i ist, also i m für i =1,...,r nach Teil a). Nach Definition des kgv gilt dieses genau für kgv( 1,..., r ) m, wiegewünscht.