Modulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie

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1 FB 3: Mathematik/Naturwissenschaften Prof. Dr. R. Frank/ Dr. D. Habeck Modulprüfung BA 04 Mathematik: Grundlagen der Mathematik C: Geometrie, Elementare Algebra und Zahlentheorie Name: Vorname: Matrikel-Nr.: Studiengang: Besuchte Übungsgruppe (bitte ankreuzen): Frau Hupp (Di., 10-12) Frau Hupp (Di., 12-14) Herr Frank (Di., 14-16) Herr Habeck (Di., 14-16) Herr Habeck (Do., 10-12) keine Übungsgruppe Aufgabe Punkte Erz. Punkte Erreichte Punktzahl: von max. 50 Punkten Die Modulprüfung ist bestanden ja / nein Note: Technische Hinweise: 1. Taschenrechner sind nicht zugelassen! 2. Handys bitte ausschalten. 3. Eigenes Papier ist nicht zugelassen, bitte verwenden Sie zum Ausprobieren das Blatt am Ende der Arbeit oder die Rückseiten. 4. Steht eine Lösung nicht unmittelbar unter der Aufgabe, ist ein Querverweis unbedingt erforderlich. 5. Die Heftklammer darf nicht entfernt werden, auch das Notizblatt darf nicht von der Arbeit getrennt werden. 6. Nicht mit Bleistift schreiben!

2 Aufgabe 1: a) Wie ist die Euler-Funktion ϕ(n) definiert? ϕ(n) ist die Anzahl der zu n N teilerfremden Zahlen, die kleiner gleich n sind. b) Berechnen Sie ϕ(45) und ϕ(ϕ(35)). ϕ(45) = 24 und ϕ(ϕ(35)) = 8 Nebenrechnung: ϕ(45) = ϕ(3 2 5) = ϕ(3 2 ) ϕ(5) = = 24 ϕ(ϕ(35)) = ϕ(ϕ(5 7)) = ϕ(4 6) = ϕ(2 3 3) = 4 2 = 8 c) Bestimmen Sie drei Zahlen n N mit ϕ(n) = Zahl: n = 13 2.Zahl: n = 26 3.Zahl: n = 21 Insgesamt erfüllen alle n {13, 21, 26, 28, 36, 42} die Gleichung ϕ(n) = 12, denn es gilt: ϕ(13) = 13 1 = 12 ϕ(21) = ϕ(3 7) = ϕ(3) ϕ(7) = 2 6 = 12 ϕ(26) = ϕ(2 13) = ϕ(2) ϕ(13) = 12 ϕ(28) = ϕ(2 2 7) = ϕ(2 2 ) ϕ(7) = 2 6 = 12 ϕ(36) = ϕ( ) = ϕ(2 2 ) ϕ(3 2 ) = 2 6 = 12 ϕ(42) = ϕ(2 3 7) = ϕ(2) ϕ(3) ϕ(7) = = 12 2

3 Aufgabe 2: a) Für welche m N mit m > 1 gilt [4] m [7] m = [3] m? Begründen Sie Ihre Antwort. m {5, 25} Begründung: [3] m = [4] m [7] m = [28] m [0] m = [25] m m 25. b) Wie lautet der Satz von Euler-Fermat? Sind a Z und m N mit ggt (a, m) = 1, so gilt a ϕ(m) m 1. c) Berechnen Sie die beiden letzten Ziffern der Zahl Die letzten beiden Ziffern von sind 21. Begründung/Berechnung: Da ggt (11, ) = 1 ist, liefert der Satz von Euler-Fermat (mit a = 11 und m = ) 11 ϕ() 1. Mit ϕ() = ϕ( ) = = 40 folgt also Dann erhält man = ( 11 40) (Alternativ kann auch mit Kongruenzrechnung jeweils der Rest von 11 k bei Division durch berechnet werden. Dabei findet man , , ,..., , Wie im obigen Lösungsweg folgt durch Zerlegung von 242 dann = ( 11 10) ) 3

4 Aufgabe 3: Für alle x, y R sei x y := x y. a) Beweisen oder widerlegen Sie: (1) (R, ) ist kommutativ. Die Aussage ist FALSCH Beweis durch Gegenbeispiel: 2 ( 3) = 2 3 = 6, aber ( 3) 2 = 3 2 = 6. (2) (R, ) ist assoziativ. Die Aussage ist WAHR Beweis: Für alle x, y, z R berechnet man (x y) z = (x y ) z = x y z x (y z) = x (y z ) = x y z = x y z (3) (R, ) besitzt mindestens ein linksneutrales Element. Die Aussage ist FALSCH Beweis: Angenommen, e ist linksneutral, d.h. e y = y für alle y R. Dann folgt für y = 1 sofort 1 = y = e 1 = e. Andererseits berechnet man dann aber für y = 1 auch e y = 1 ( 1) = 1 1 = 1 1. Dies ist ein Widerspruch und daher existiert kein linksneutrales Element. (4) (R, ) besitzt mindestens ein rechtsneutrales Element. Die Aussage ist WAHR Beweis: e = ±1 ist rechtsneutral, denn x e = x (±1) = x ± 1 = x für alle x R. b) Beweisen oder widerlegen Sie, dass die folgenden Abbildungen verknüpfungstreu sind. (1) f 1 : (Z, ) (Z, ), f 1 (x) = 3x Die Abbildung ist nicht verknüpfungstreu Beweis durch Gegenbeispiel: Für x = y = 1 erhält man f 1 (x) = f 1 (y) = 3, und damit f 1 (1) f 2 (1) = 9. Aber: f 1 (x y) = f 1 (1) = 3 9 = f 1 (x) f 1 (y). (2) f 2 : (Z, +) (Z, +), f 2 (x) = 3x Die Abbildung ist verknüpfungstreu Beweis: Für alle x, y Z gilt f 2 (x + y) = 3(x + y) = 3x + 3y = f 2 (x) + f 2 (y). 4

5 Aufgabe 4: a) Bestimmen Sie jeweils g für... (1) g = [6] 8 in (R 8, +) g = {6, 4, 2, 0} (2) g = [5] 12 in (R 12, ) (3) g = g = {5, 1} in (S 3, ) g = (4) g = i in (C \ {0}, ) {, g = {i, 1, i, 1}, ( 1 2 )} Nebenrechnungen: Für (1): Modulo 8 rechnet man: = 4, = 2 und = 0. Für (2): Modulo 12 rechnet man: 5 5 = 1. Für (3): =, = ( 1 2 ) Für (4): In C gilt i i = i 2 = 1, i 3 = i 2 i = i und i 4 = i 2 i 2 = ( 1) 2 = 1. b) Wie lautet der Satz von Lagrange? Sei G eine endliche Gruppe und U eine Untergruppe von G. Dann ist die Ordnung von U ein Teiler der Ordnung von G. 5

6 Aufgabe 5: a) Geben Sie die Matrix an, die die Spiegelung σ y an der y-achse darstellt. Begründen Sie Ihre Aussage. ( ) 1 0 Die gesuchte Matrix ist 0 1 Begründung: Die Spalten der Darstellungsmatrix ( ) ( ) sind die ( Bilder ) der( Einheitsvektoren. ) Unter dieser Spiegelung wird auf und auf abgebildet ( ) x b) Welche Kongruenzabbildung f : R 2 R 2 ist durch f( ) = y gegeben? Begründen Sie Ihre Aussage. ( ) ( x y ) f ist die Spiegelung an der Geraden durch die Punkte (0, 0) und ( 1, 1). Begründung: Eine Kongruenzabbildung ist durch ( die Bilder ) dreier ( ) nicht ( kolinearer ) ( Punkte ) eindeutig festgelegt. Man berechnet f( ) =, f( ) = und ( ) ( ) f( ) =. Damit ist, wie man an einer Skizze sieht, f die Spiegelung an 1 0 der Geraden durch (0, 0) und ( 1, 1). ( ) 0 1 c) Berechnen Sie das Matrizenprodukt 2 3 ( ) ( ) ( ) = ( )

7 Aufgabe 6: a) Definieren Sie den Begriff Diedergruppe und geben Sie die Ordnung dieser Gruppe an. Die Diedergruppe D n ist die Symmetriegruppe eines regelmäßigen n-ecks. Sie hat D n = 2n Elemente. b) Eine Figur X R 2 besitzt 2 Spiegelsymmetrien σ a und σ b, deren Achsen a und b sich in einem Winkel von 10 schneiden. Beweisen Sie, dass die Figur X mindestens 17 Drehsymmetrien besitzt. Beweis: Da die Symmetrien einer Figur (mit der Verkettung als Verknüpfung) eine Gruppe bilden, ist mit den Spiegelungen σ a und σ b auch die Verkettung σ b σ a eine Symmetrie der Figur X. Die Verkettung σ b σ a ist aber eine Drehung um den doppelten Schnittwinkel, also eine 20 -Drehung. Wegen 360 = hat diese Drehung Ordnung 18, somit liegen in der Symmetriegruppe mindestens 17 echte Drehungen, d.h. X besitzt mindestens 17 Drehsymmetrien. 7