Musterlösung Serie 3. ITET Diskrete Mathematik WS 02/03 R. Suter. d) Für beliebige a, b G gilt

Transkript

1 ITET Diskrete Mathematik WS 2/3 R. Suter. a) r s = r + )s + ). Assoziativität: Ist erfüllt, denn Musterlösung Serie 3 r s) t = r + )s + ) + ) t + ) = r + )s + )t + ) = r + ) s + )t + ) + ) = r s t) Neutrales Element existiert:. s = s = s INVERSES existiert keines zum Element, denn: R, ) ist keine Gruppe. r ) = r + r = = ist nicht lösbar. Bemerkung: Die Verknüpfung definiert allerdings eine Gruppenstruktur auf der Menge der reellen Zahlen, die ungleich sind. Dazu müsste man auch noch zeigen, dass aus r und s folgt, dass r s.) b) =, x = c) Z 2 2 ggtx,2) für x Z 2 {}. ={,,,, 3,,, 23}={,,,,,,, } hat Ordnung. Jedes andere Element hat Ordnung 2: ±) 2 = ±) 2 = ±) 2 = ±3) 2 = in Z 2 Bemerkung: Alternativ kann man feststellen, dass die zu 2 teilerfremden Zahlen gerade die nicht durch 2 oder 3 teilbaren Zahlen sind, um dann zu beweisen, dass wenn n nicht durch 2 oder 3 teilbar ist, n 2 durch 2 = 3 teilbar ist z. B. indem man n 2 = n )n + ) benutzt). d) Für beliebige a, b G gilt a b = b a) b a) a b = b a b }{{}}{{} a a b = b a }{{} b b = b a = = = e) x =inf { n Z > x n = } und x n = yx n = y yx n y = yy = yxy ) n =. Die letzte Äquivalenz ergibt sich aus der Gleichheit yxy ) n = yx n y : yxy ) n = yxy yxy...yxy yxy = yxy y)xy...y)xy y)xy = yxx...xxy = yx n y 2. a) I) Identität II) Rotationen um Achsen durch eine Ecke und den gegenüberliegendenseitenmittelpunkt 2, 2 ) III) Rotationen durch zwei gegenüberliegende Kantenmittelpunkte ) IV) Spiegelungen an Ebenen, die durch eine Kante und den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Kante verlaufen V) Drehspiegelungen: Spiegelungen an Ebenen, die durch jeweils 2 Paare gegenüberliegender Kantenmitten verlaufen und anschliessende Drehung um ± ) um die Achse, die senkrecht auf der Spiegelungsebene steht und durch den Mittelpunkt des Tetraeders verläuft Anzahl Typ I) Typ II) 2 = Typ III) 3 Typ IV) Typ V) 3 2 = Die Ordnung der Gruppe ist also = 2. Dies lässt sich auch folgendermassen bestimmen: Ordnung = Bahnx) Stab x = = 2. Der Orbit einer Ecke x unter allen Symmetrien besteht aus allen Punkten des Tetraeders, da jede Ecke in jede andere überführt werden kann. Der Stabilisator dieser Ecke x ist isomorph zur Symmetriegruppe des gegenüberliegenden gleichseitigen) Dreicks, die aus Elementen besteht. Drehungen des Dreicks entsprechen Drehungen des Tetradeders um die Achse durch den Dreicksmittelpunkt und x; Spiegelungen des Dreiecks an einer Achse entsprechen Spiegelungen des Tetraeders an der Ebene, die durch diese Achse und x verläuft.

2 b) DieSymmetriegruppedes Fussballs wirktz. B. auf den Seitenflächen des Balles. Jede der 2 fünfeckigen Seitenflächen des Fussballs lässt sich durch eine Drehung des Balles in jede andere überführen. Die Drehungen, die eine Fünfeckfläche des Balles auf sich selbst abbilden, bilden auch die gegenüberliegende fünfeckige Seitenflächeinsichabundmüssen deshalb die Verbindung der Mittelpunkte dieser beiden Flächen als Drehachse haben. Es gibt insgesamt solche Drehungen wenn man Identität als Drehung um dazuzählt.) Damit ist Ordnung der Symmetriegruppe = Anzahl Bahnen einer -Eck-Fläche) Ordnung der Stabilisatorgruppe) = 2 =. Alternativer Lösungsweg: Wenn man auf jede fünfeckige Seite des Fussballs eine Pyramide aufsetzt, erhält man ein regelmässiges Ikosaeder, muss auch der x diametral gegenüberliegende Eckpunkt fixiert bleiben, weil er der einzige Eckpunkt ist, der mit keinem der Nachbarn von x eine Kante gemeinsam hat und da die Nachbarpunkte von x wieder in zu x benachbarte Punkte abgebildet werden müssen). Das bedeutet dann, dass die ganze Achse durch x und den gegenüberliegenden Punkt bei der Rotation fixiert bleiben muss und damit die Drehachse der Rotation sein muss. Tatsächlich gibt es genau Rotationen um diese Achse, die das Ikosaeder in sich überführen mit Winkeln, ±2 und ± ). Damit gilt: I = I x I x =2 =. c) S = Symmetriegruppevon T. S operiert auf den Ecken {,...,} von T. 2 3 Betrachte zum Beispiel die Ecke : S = und S =2 S ={e,). Also gilt S = 2 =. DieElementevonS sind als Permutationen der Ecken in Zyklenschreibweise): e Identität), ), ), 23))), )), 23)), 23)), 23))). d) Behauptung: Die Symmetriegruppe des Graphen hat die Ordnung 2 = 33. Seien die Ecken mit den Nummern,...,3 bezeichnet wie im Bild: 3 2 und jede Symmetrie des Fussballs wird auch das Ikosaeder symmetrisch auf sich abbilden. Umgekehrt kann man aus einem regelmässiges Ikosaeder wieder einen Fussball konstruieren, indem man alle 2 Spitzen abschneidet, so dass sämtliche Kantenlängen der abgeschnittenen Pyramiden ein Drittel der Kantenlängen des Ikosaeders betragen. Dadurch kann man sich überzeugen, dass jede Symmetrie des Ikosaeders auch den abgeschnittenen) Fussball symmetrisch auf sich abbildet. Deshalb sind die Symmetriegruppen von Fussball und regelmässigem Ikosaeder gleich besser gesagt, isomorph), aber die des Ikosaeders lässt sich etwas einfacher berechnen: Wir nennen die Gruppe der Rotationssymmetrien des Ikosaeders I.Seix ein Eckpunkt des Ikosaeders. Die Gruppe I operiert transitiv auf der Menge der Ecken des Ikosaeders, so dass I x =2. Wenn eine Rotation den Punkt x festlässt, 3 2 Die Symmetriegruppe des Graphen wirkt auf den Ecken transitiv, d. h. jede Ecke liegt in der Bahn eines einzigen Eckpunktes. Z. B. lässt sich der Punkt durch die Bijektion im Bild eine Drehung um den Winkel 3 2k ) f n) := n + 2k mod,

3 die eine Symmetrie des Graphen ist Überprüfen!), in jeden Punkt mit gerader Nummer 2k abbilden, und er lässt sich durch die Bijektion im Bild eine Spiegelung des Ecks) f n) := 2k + n mod, die auch eine Symmetrie des Graphen ist Auch überprüfen!), in jeden Punkt mit ungerader Nummer 2k + abbilden. Die Bahn von besteht somit aus Punkten. Das ist der erste Faktor in 33 = 2. Jetzt bleibt noch zu zeigen, dass die Isotropiegruppe des Punktes aus 2!) Elementen besteht, d. h., dass genau 2 Symmetrien des Graphen existieren, die den Punkt unbewegt lassen. Waswissenwirüber solche Abbildungen f?wenn{, k} eine Kante des Graphen ist, muss auch { f ) =, f k eine Kante sein, d. h. jedes solche f muss die drei Nachbarecken, und 3 von untereinander permutieren. Mit der gleichen Begründung muss f auch die Ecken 2,,,, und 2, die von aus im Graph Abstand 2 haben untereinander permutieren, und f muss die vier Ecken 3,,,, die von aus den Abstand 3 haben und damit von am weitesten entfernt liegen) untereinander permutieren. Hier ein Bild des Graphen, das diese Abstände besser wiedergibt: muss f 2) gleichzeitig Nachbar von f 3) und f ) sein, wodurch f 2) eindeutig bestimmt ist. Damit sind die Werte f 2), f ), f ), f 2), f ), f ) eindeutig durch die Werte f 3), f ), f ), f ) bestimmt. Analog zeigt man, dass auch die Werte f ), f 3) und f ) durch die Werte f 2), f ), f ), f 2), f ), f ) und damit indirekt durch die Werte f 3), f ), f ), f ) eindeutig bestimmt sind und f ) muss sein). Allerdings muss dafür z. B., da sowohl Nachbar von 2 als auch von ist, der Wert f ) gleichzeitig Nachbar von f 2) und f ) sein,d.h. f 2) UND f ) MÜSSEN EINEN GEMEINSAMEN NACHBARN IM GRAPHEN BESITZEN. Dass dies für jede beliebige Wahl von f 3), f ), f ), f )) als Permutation der Punkte 3,,, ) so ist, ist allerdings ÜBERHAUPT NICHT KLAR und muss deshalb als erster Teil der obenstehenden Behauptung beweisen werden: Dazu bedienen wir uns eines Tricks. Wir zeichnen die Ecken des Graphen als Teile eines regulären Tetraeders auf, und zwar 3,,, als Ecken des Tetraeder, 2,,,2,, als Kanten des Tetraeders,,, 3 als Verbindungsstrecken der Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten des Tetraeders und als Mittelpunkt des Tetraeders, und zwar so, dass zwei dieser Teile des Tetraeders sich genau dann treffen, wenn im ursprünglichen Graphen eine Kante zwischen ihnen lag siehe Bild): Behauptung Jede der! = 2 Permutationen der Punkte 3,,, kann durch eine Symmetrie des Graphen, die den Punkt fest lässt, realisiert werden. Umgekehrt gibt es zu jeder Permutationen der Punkte 3,,, auch nur genau eine derartige Symmetrie des Graphen gibt. Wenn diese Behauptung bewiesen ist, sind wir fertig 2 ist der zweite Faktor in 33 = 2). Der zweite Teil der Behauptung, dass f durch die Wahl der Bilder f 3), f ), f ), f ) von3,,,eindeutig bestimmt ist, ist der einfachere: Jedes Paar {x, y} von Punkten aus der Menge {3,,, } und damit auch aus der Menge { f 3), f ), f ), f ) bestimmt eindeutig einen Punkt aus der Menge {2,,, 2,, }, der gleichzeitig im Graphen Nachbar von x und von y ist. Z. B. ist 2 gleichzeitig der Nachbar von 3 und siehe Abbildung), deshalb 3 2 Wie wir in Teil a) gesehen haben, bestimmt jede der 2 Permutationen der Eckpunkte 3,,, eindeutig eine der 2) Symmetrien des Tetraeders, und bei einer Symmetrie des Tetraeders werden Kanten in Kanten, Verbindungen von Mittelpunkten gegenüberliegender Kanten in ebensolche Verbindungen und der Mittelpunkt des Tetraeders in den Mittelpunkt abgebildet, und die Bilder von Teilen, die sich vorher geschnitten haben, schneiden sich auch wieder, d. h. jede Symmetrie des Tetraeders liefert uns eine Symmetrie des Graphen, die den Mittelpunkt auf den Mittelpunkt abbildet. Das war, was wir zeigen wollten. Beispiel: Nehmen wir die Permutation f 3) =, f ) =, f ) = 3, f ) =, Λ

4 entspricht sie einer Drehung des Tetraeders um 2,für die dann gilt: f 2) =, f ) =, f ) = 2, f ) = 2, f 2) =, f ) =, f ) = 3, f 3) =, f ) = und f ) =. 3. a) Abgeschlossenheit: T a,b T c,d = T ac,ad+b liegt wieder in AffK ) wegen T a,b T c,d x) = acx + d) + b = ac)x + ad + b) x K und da ac. Assoziativität: Die Assoziativität von AffK ), ) ist offensichtlich erfüllt, weill die Elemente von AffK ) Funktionen sind, und die Verknüpfung von Funktionen assoziativ ist. Alternativ kann man die Assoziativität aber auch durch Rechnung zeigen: T a,b T c,d ) T e, f = T ac)e,ac) f +ad+b) = T ace,acf +ad+b = T ace),acf+d)+b = T a,b T c,d T e, f ) Neutrales Element ist T,,dennT, ist als Funktion die identische Abbildung: T, x) = x + = x Alternativ kann man natürlich auch rechnen: x K T, T a,b = T a, b+ = T a,b T a,b T, = T a,a +b = T a,b Inverses Element zu gegebenem T a,b : Zu lösen wäre T c,d T a,b = T, bzw. T a,b T c,d = T, ), d. h.: ca = und cb + d = c = a und d = a b Das inverse Element zu T a,b ist T a, a b) a existiert und liegt in K,weila vorausgesetzt wurde.) Es gilt auch T a,b T a, a b = T aa,a a b)+b = T, Bemerkung: Es ist übrigens nicht schwer zu zeigen, dass AffK ) eine nicht-abelsche Gruppe ist, sobald der Körper K mehr als zwei Elemente hat. b) T a,b T c,d = T ac,ad+b T, T 2, T, T 2, T,2 T 2,2 T, T, T 2, T, T 2, T,2 T 2,2 T 2, T 2, T, T 2,2 T,2 T 2, T, T, T, T 2, T,2 T 2,2 T, T 2, T 2, T 2, T, T 2, T, T 2,2 T,2 T,2 T,2 T 2,2 T, T 2, T, T 2, T 2,2 T 2,2 T,2 T 2, T, T 2, T, Bemerkung: In F 3 ist es meist günstiger, statt mit 2 mit dem äquivalenten Wert ) zu rechnen.. Bemerkung: Dies ist weder die unaufwendigste noch die eleganteste Lösung dieser Aufgabe. A,v) Av ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) {} a) Der Orbit des Punktes ist. Der Orbit jedes anderen Punktes x y mit x oder y ) besteht aus allen { } Punkten ausser : GL 2 F 2 ) x y = ),,. b) Stab GL2 F 2 ) Stab GL2 F 2 ) Stab GL2 F 2 ) Stab GL2 F 2 ) = GL 2 F 2 ), { =, { =, { =,. Aus der zweiten Gleichung folgt: x = y + 3 Einsetzen in die erste Gleichung ergibt: y = 3,,

5 i) In besitzt das Gleichungssystem eine Lösung, die man auch mittels Cramerscher Regel berechnen kann: Q x = = , y = 3 = ii) Z In ergibt die Gleichung y = 3den Widerspruch y = = 3. Z In ist das Gleichungssystem somit nicht lösbar. iii) = 3istinZ y zu lösen. Wegen 3 = 3 = = + = = + = 3 = ist diese Aufgabe äquivalent zur Lösung von y =. Da und teilerfremd sind, darf man durch kürzen: y = x = + 3 = 2 =. Man kann diese Aufgabe auch mittels Cramerscher Regel lösen siehe oben), da Z = F ein Körper ist: x = 3 = 3 3 = 3 = =, y = 3 = ) =.