2.4A. Reguläre Polyeder (Platonische Körper)

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1 .A. Reguläre Polyeder (Platonische Körper) Wie schon in der Antike bekannt war, gibt es genau fünf konvexe reguläre Polyeder, d.h. solche, die von lauter kongruenten regelmäßigen Vielecken begrenzt sind: das Tetraeder mit Ecken, 6 Kanten und Dreiecksflächen, das Hexaeder mit 8 Ecken, 1 Kanten und 6 Quadratflächen, das Oktaeder mit 6 Ecken, 1 Kanten und 8 Dreiecksflächen, das Dodekaeder mit 0 Ecken, 0 Kanten und 1 Fünfecksflächen, das Ikosaeder mit 1 Ecken, 0 Kanten und 0 Dreiecksflächen. In der Natur treten sie u.a. häufig bei kristallinen Strukturen auf. Tetraeder sind als Milchverpackung etwas aus der Mode gekommen, spielen aber bei Zerlegungen komplizierterer Polyeder eine ähnlich fundamentale Rolle wie die Elementarteilchen in der Physik: Jedes Polyeder läßt sich in Tetraeder zerlegen! Das Volumen eines beliebigen (nicht nur eines regulären) Tetraeders mit den Seitenvektoren a,b,c beträgt genau ein Sechstel des Volumens, das ein von a,b und c aufgespannter Spat hat: = (axb)c/6. Wir betrachten jetzt ein reguläres Tetraeder mit Seitenlänge 1. Es hat (bei geeigneter Position) folgende Ecken: A =, 0, 0, B = 1,,,, 6 0 C = -1,, 6 0 H = 0, 0, 6

2 Prüfen Sie nach, daß je zwei Ecken tatsächlich den Abstand 1 haben! Zweimalige Anwendung des Satzes von Pythagoras ergibt: Die Ecken einer Dreiecksfläche haben den Abstand 1/ vom Mittelpunkt (=Schwerpunkt) dieses Dreiecks. Deshalb beträgt die Höhe des Tetraeders h = = 6, und das Grunddreieck hat den Flächeninhalt F Dreieck =. Die Oberfläche des Tetraeders ist das Vierfache der Fläche des Grunddreiecks, also O Tetraeder ( 1) = bei Seitenlänge 1 O Tetraeder ( s) = s bei Seitenlänge s. Das Volumen des Tetraeders mit Seitenlänge 1 ist gleich einem Drittel Grundfläche mal Höhe, also F Dreieck h 1 ( 1 ) = = 6. Das bekommt man auch mit Hilfe des Spatprodukts dreier Seitenvektoren heraus: ( 1 ) = 1 ((A-C) x (B-C))(H-C) = 6 = 1 6 ((, 1, 0) x ( 0, 1, 1 6 0) )(,, 6 ) = = 1 6 ( 0, 0, )(, 1 6, 6 ) = 1 6. Bei einer variablen Seitenlänge s ergibt sich somit ( s ) = s 6. Der Schwerpunkt eines beliebigen Tetraeders mit den Ecken A, B, C, H hat die Koordinaten A + B + C + H, im Falle des obigen regulären Tetraeders mit Seitenlänge 1 also (,, 0 0 h ) = (,, ).

3 Hexaeder sind besser unter dem Namen Würfel bekannt. Natürlich hat ein Würfel der Seitenlänge s die Oberfläche O Hexaeder ( s ) = 6 s und das Volumen V Hexaeder ( s) = s. Ist ein Würfel volumengleich zu einem Tetraeders der Seitenlänge 1, so hat er die Seitenlänge = also etwa die halbe Seitenlänge wie das Tetraeder. Oktaeder Ein regelmäßiges Oktaeder ("Achtflach") der Seitenlänge (mit 8 gleichseitigen Dreiecken als Begrenzungsflächen) ergibt sich als konvexe Hülle der Punkte Lv = ( 1, 1, 0 ), Rv = ( 1, 1, 0 ), Lh = ( 1, 1, 0 ), Rh = ( 1, 1, 0 ), Ob = ( 0, 0, ), Un = ( 0, 0, ).

4 Bei Seitenlänge s ist die Höhe des Oktaders: h = s Fläche eines Seitendreiecks: s F ( s ) = Oder mittels Vektorprodukt (Seitenlänge 1): F ( 1 ) = ( Ob Lv ) x ( Ob Rv ) = ( 1, 1, ) x ( 1, 1, ) /8 = ( 0,, 1) / = = Oberfläche des Oktaeders: O Oktaeder ( s ) = 8 F ( s ) = s.. Das Volumen des Oktaeders ist das doppelte Volumen der quadratischen Pyramide: F Quadrat h s V Oktaeder ( s ) = V Pyramide ( s ) = = = s also etwas weniger als das halbe Volumen eines Würfels der gleichen Seitenlänge. Alternative Volumenberechnung mit dem Spatprodukt: Volumen des Oktaeders = mal Volumen der halben Pyramide (Tetraeder): V Oktaeder ( s ) = ( s ) = (axb)c/6

5 wobei a,b,c drei Vektoren von einer Ecke zu den anderen drei Ecken sind. Bei Seitenlänge ergibt sich: ( ) = (( 1, 1, ) x ( 1, 1, ))( 1, 1, ) /6 = ( 0,, )( 1, 1, )/6 = /6 =. Also ist das Oktaedervolumen in diesem Fall V Oktaeder ( ) = 8. Bei Normierung auf Seitenlänge 1 (also Division durch = 8) kommen wir wieder auf V Oktaeder ( 1 ) =. Der zweite Weg erscheint eher komplizierter - aber er hat einen großen Vorteil: Man kann genauso das Volumen jedes schiefwinkligen Oktaeders berechnen, wenn die Ecken- oder Seitenvektoren bekannt sind. Ikosaeder Das "Zwanzigflach" ist die konvexe Hülle dreier goldener Rechtecke in den Koordinaten-Ebenen! Wir wählen die Kantenlänge 1 als Länge der kürzeren Seite der goldenen Rechtecke. Die längere Seite g verhält sich zur kürzeren wie die Seitensumme zur längeren (goldener Schnitt!), also g : 1 = (1+g) : g, d.h. g = 1 + g. Zur Erinnerung: Der goldene Schnitt explizit und angenähert: g = = Bei Seitenlänge haben die drei goldenen Recktecke aus Symmetriegründen folgende Eckpunkte: A 1 = [ g, 1, 0 ], B 1 = [ g, 1, 0 ], C 1 = [ g, -1, 0 ], D 1 = [ g, -1, 0 ] A = [ 1, 0, g ], B = [ -1, 0, g ], C = [ -1, 0, g ], D = [ 1, 0, g ] A = [ 0, g, 1 ], B = [ 0, g, 1 ], C = [ 0, g, -1], D = [ 0, g, -1 ]...und stehen aufeinander senkrecht:

6 Wir verbinden drei benachbarte Ecken zu einem gleichseitigen Dreieck:... und fahren so fort: Und jetzt wird eingewickelt (also die konvexe Hülle erzeugt):

7 Wir wollen noch begründen, warum die Ecken der drei goldenen Rechtecke tatsächlich ein regelmäßiges Ikosaeder bilden, und betrachten deshalb ein Außendreieck, z.b. A 1 = ( g, 1, 0 ), A = ( 1, 0, g ) und A = ( 0, g, 1 ). Dieses Dreieck ist (wie jedes andere Außendreieck) wirklich gleichseitig: A 1 A = A 1 A = A A = ( g 1 ) g = g g + = wegen g = 1 + g. Der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge s ist s F Dreieck ( s) =. Das Zwanzigfache liefert die Oberfläche des Ikosaeders: O Ikosaeder ( s ) = 5 s. Das Volumen des Ikosaders ist das Zwanzigfache des Volumens von einem der 0 Teil-Tetraeder, die ein Außendreieck als Grundfläche und den Mittelpunkt als Spitze haben. Wir bilden das Spatprodukt von, A und A und erhalten: (( g, 1, 0) x ( 1, 0, g))( 0, g, 1) = ( g, g, 1)( 0, g, 1) A 1 = g 1 = g g 1 = g = 5. Ein Sechstel des Betrages dieser Zahl ist das Tetraedervolumen, und das müssen wir 0 mal nehmen. Insgesamt ergibt sich für die Seitenlänge s = : 0 ( + 5 ) 10 5 V Ikosaeder ( ) = = Bei Seitenlänge 1 muß man noch durch = 8 dividieren. 5 ( + 5 ) V Ikosaeder ( 1 ) = = Allgemein bekommt man für Seitenlänge s: V Ikosaeder ( s ) = 5 ( + 5 ) s 1. Der Radius der Umkugel ist der Abstand der Ecken zum Mittelpunkt, d.h. nach unserer Wahl der goldenen Rechtecke: ( g, 1, 0) = g + 1 = g + = bei Seitenlänge 1 jedoch nur halb so groß, also, r = =

8 Volumen der Umkugel: r π V Kugel ( r) =, V Kugel ( 1) = Das ist deutlich mehr als das Eineinhalbfache des Ikosaeder-Volumens. Dodekaeder Das von 1 regelmäßigen Fünfecken begrenzte "Zwölfflach" ist etwas für Spezialisten. Sowohl für die Oberfläche als auch für das Volumen bracht man den Flächeninhalt eines regelmäßigen Fünfecks: Bei Seitenlänge s beträgt er (vgl. Beispiel in Abschnitt.): F Fünfeck ( s ) = s Daraus bekommt man durch Multiplikation mit 1 sofort die Oberfläche des Dodekaders: O Dodekaeder ( s ) = s Schwieriger ist die Berechnung des Volumens. Dieses ist das Zwölffache des Volumens einer Pyramide mit einem regelmäßigen Fünfeck als Basis und dem Abstand vom Zentrum des Dodekaeders als Höhe. Nach einer längeren Rechnung erhält man so das

9 Volumen des Dodekaeders: V Dodekaeder ( s ) = s ( ). Im Prinzip kennt man das Dodekaeder vollständig, wenn man über das Ikosaeder Bescheid weiß: Die Mittelpunkte der dreieckigen Seitenflächen eines Ikosaeders bilden nämlich ein Dodekaeder, und die Mittelpunkte der fünfeckigen Seitenflächen eines Dodekaeders bilden ein Ikosaeder! Entsprechend bilden die Flächenmittelpunkte eines Hexaeders (Würfels) ein Oktaeder, und die eines Oktaeders bilden wieder ein Hexaeder.