Wenn wir die vorstehenden Kugelteile abschruppen, erhalten wir einen Würfel.

Transkript

1 Hans Walser, [ a] Kugeln als Baumaterial 1 Worum geht es? Es werden einige bekannte Figuren als Kugelpackungen dargestellt. Dabei wird die dichteste Kugelpackung verwendet. Statt Kugeln können auch Rhombendodekaeder verbaut werden. Bei Berechnungen arbeiten wir mit Einheitskugeln, also r = 1. 2 Einfachste Kugelpackung Die zum Beschreiben einfachste Kugelpackung besteht aus Kugeln, deren Zentren ein Würfelgitter bilden. Sieben mal sieben mal sieben Kugeln Wenn wir die vorstehenden Kugelteile abschruppen, erhalten wir einen Würfel. Abgeschruppt. Minimalmodell

2 Hans Walser: Kugeln als Baumaterial 2/16 Diese Kugelpackung hat relativ viel Hohlraum. Im Minimalmodell sehen wir acht Achtelkugeln, insgesamt also eine Kugel, eingepackt in einen Würfel der Seitenlänge 2. Für den Ausnützungsgrad erhalten wir: = = 52.36% 6 Fast die Hälfte ist Hohlraum. 3 Beste Kugelpackung Eine bessere (die best mögliche) Raumausnützung haben wir bei den im folgenden beschriebenen Kugelpackungen. Der Ausnützungsgrad ist: = 74.05% Die Herleitung des Ausnützungsgrades folgt später. 3.1 Tetraeder Tetraeder als Kugelpackung Die folgende Abbildung zeigt ein Tetraeder mit 7 Kugeln längs einer Kante. Dreiecksbasis. Tetraeder

3 Hans Walser: Kugeln als Baumaterial 3/16 Abgeschruppt. Minimalmodell Das Minimalmodell des Tetraeders ist allerdings nicht sehr geeignet, den Ausnützungsgrad zu berechnen. Die vier angeschnittenen Kugelteile lassen sich nicht zu einem schönen Kugelteil zusammenfügen Anzahl Kugeln Wie viele Kugeln enthält ein Tetraeder mit n längs einer Kante? In der untersten Schicht bilden die Kugeln ein Dreieck der Kantenlände n. Die Anzahl A Dreieck n ( ) der Kugeln ist: Unterste Schicht ( ) A Dreieck ( n)= n + ( n 1)+ + 1 = 1 2 nn+ ( 1)= n+1 2 Für die Anzahl A Tetraeder ( n) der Kugeln im Tetraeder erhalten wir daher (Induktion): n A Tetraeder ( n)= A Dreieck ( k) = 1 2 k( k+ 1) = 1 6 nn+ ( 1) ( n + 2)= 3 k=1 n k=1 n+2 ( )

4 Hans Walser: Kugeln als Baumaterial 4/ Rhombendodekaeder Die Voronoi-Regionen der (unendlich groß gedachten) Kugelpackung ist das Rhombendodekaeder. Das Rhombendodekaeder ist von zwölf kongruenten Rhomben mit dem Diagonalenverhältnis 2 berandet. In der Position der folgenden Abbildung ist der Umriss, von oben gesehen, ein Sechseck. Rhombendodekaeder Die folgende Abbildung zeigt die in Rhombendodekaeder verpackten Kugeln des Tetraeders. Tetraeder aus Rhombendodekaedern

5 Hans Walser: Kugeln als Baumaterial 5/16 Die folgende Abbildung zeigt die unterste Schicht, genau von oben gesehen. Unterste Schicht Es fällt schwer, das von Würfeln zu unterscheiden. 3.2 Pyramide Pyramide als Kugelpackung Die Abbildung zeigt eine Pyramide mit quadratischer Grundseite. Wir haben n = 7 Kugeln sowohl an den Grundkanten wie an den Schrägkanten. Aufbau der Pyramide

6 Hans Walser: Kugeln als Baumaterial 6/ Anzahl Kugeln Für die Anzahl A Pyramide n ( ) der Kugeln finden wir: n A Pyramide ( n)= k 2 = 1 6 nn+ 1 k=1 ( )( 2n + 1) Rhombendodekaeder Die Rhombendodekaeder müssen jetzt anders im Raum ausgerichtet sein. Der Umriss ist, von oben gesehen, ein Quadrat. Andere Ausrichtung des Rhombendodekaeders Damit lässt sich die Pyramide bauen. Pyramide aus Rhombendodekaedern

7 Hans Walser: Kugeln als Baumaterial 7/16 Die unterste Schicht von oben: Kölsch 3.3 Oktaeder Die Pyramide ist sozusagen ein halbes Oktaeder Oktaeder als Packungen von Kugeln und Rhombendodekaedern Oktaeder Die einzelnen Rhombendodekaeder sind natürlich gleich orientiert wie bei der Pyramide Anzahl Kugeln Für die Anzahl A Oktaeder n ( ) der Kugeln finden wir: n 1 A Oktaeder ( n)= n k 2 = 1 3 n 2n2 + 1 k=1 ( )

8 Hans Walser: Kugeln als Baumaterial 8/ Link mit dem Tetraeder Wir markieren die mittlere Kugel auf jedem der acht Seitendreiecke des Oktaeders abwechslungsweise mit magenta und cyan. Eine solche mittlere Kugel gibt es allerdings nur für n = 1, 4, 7,10,, also für n = 1 + 3k, k 0. Es hat dann vier magenta und vier cyan Kugeln. Die vier magenta Kugeln sind Ecken eines regelmäßigen Tetraeders, e- benso natürlich die cyan blauen Kugeln. Nun zerschneiden wir mit Ebenen durch die Zentren der magenta Kugeln. Es entsteht ein abgeschrupptes Tetraeder. Tetraeder im Oktaeder

9 Hans Walser: Kugeln als Baumaterial 9/ Würfel Würfel als Kugelpackung Wir zeigen schichtweise den Aufbau des Würfels. Aufbau des Würfel Diese Anordnung der Kugel wird als flächenzentriert bezeichnet. Die grauen Kugeln bilden die Knoten eines Würfelgitters, die weiteren Kugeln sitzen jeweils in den Flächenmitten.

10 Hans Walser: Kugeln als Baumaterial 10/16 Würfelecken und Flächenmitten Der Würfel, dessen Ecken die Mittelpunkte der grauen Kugeln sind, hat eine Seitenlänge 2 2 und enthält acht Achtelkugeln und sechs Halbkugeln, insgesamt also vier Kugeln. Für den Ausnützungsgrad erhalten wir: ( 2 2) = = Anzahl Kugeln Bei der Berechnung der Anzahl A Würfel n = 74.05% ( ) der Kugeln orientieren wir uns an den Farben. Für die Kantenlänge n haben wir zunächst n 3 graue Kugeln. Dann gibt es zum Beispiel nn ( 1) 2 rote Kugeln und eben so viele grüne und blaue Kugeln. Somit haben wir: A Würfel ( n)= n 3 + 3n( n 1) 2 = 4n 3 6n 2 + 3n

11 Hans Walser: Kugeln als Baumaterial 11/ Rhombendodekaeder Zunächst der Würfel: Würfel aus Rhombendodekaeder Das einzelne Rhombendodekaeder ist nochmals in einer anderen Ausrichtung. Ausrichtung des Rhombendodekaeders

12 Hans Walser: Kugeln als Baumaterial 12/16 Die beiden folgenden Abbildungen zeigen zunächst die unterste Schicht und dann darüber gelagert die zweitunterste Schicht. Unterste und zweitunterste Schicht. Die dritte Schicht ist dann wieder gleich wie die unterste Schicht Link mit dem Tetraeder Wir markieren die Würfelecken abwechslungsweise magenta und cyan. Es hat dann vier magenta und vier cyan Kugeln. Die vier magenta Kugeln sind Ecken eines regelmäßigen Tetraeders, ebenso natürlich die cyan blauen Kugeln. Nun zerschneiden wir mit Ebenen durch die Zentren der magenta Kugeln. Es entsteht ein abgeschrupptes Tetraeder. Linke mit dem Tetraeder

13 Hans Walser: Kugeln als Baumaterial 13/ Sechskantprisma Sechskantprisma als Kugelpackung Prisma Interessant ist, dass die drei durch verschiedene Farben angedeuteten Schichten auch verschieden Form haben. Dazu sehen wir uns die drei untersten Schichten von oben her an. Unterste Schicht Die unterste Schicht ist ein regelmäßiges Sechseck.

14 Hans Walser: Kugeln als Baumaterial 14/16 Nun geben wir die zweitunterste Schicht dazu sowie in einem weiteren Bild auch noch die drittunterste Schicht. Die zwei und drei untersten Schichten Wir sehen, dass diese beiden Schichten keine regelmäßigen Sechseck mehr sind. Die Seitenlängen wechseln zwischen 6 und 5. Zudem ist die blaue Schicht gegenüber der grünen Schicht verdreht Anzahl Kugeln Wir berechnen die Anzahlen der Kugel schichtweise. Die unterste Schicht können wir in sechs Sektoren zerlegen, wobei eine zentrale Kugel übrig bleibt. Für die Anzahl A unterste Schicht n Unterste Schicht, Zerlegung in Sektoren ( ) der Kugeln gilt daher: n 1 A unterste Schicht ( n)= 1+ 6 k = 1+ 3n( n 1)= 3n 2 3n + 1 k=1

15 Hans Walser: Kugeln als Baumaterial 15/16 Die zweitunterste Schicht kann wie folgt zerlegt werden. Zweitunterste Schicht In der Mitte haben wir keine Kugel, sondern ein Loch. Die Sektoren haben unterschiedliche Größe. Wir finden: n 1 A zweitunterste Schicht ( n)= 3 k + 3 k = 3 2 nn ( 1 )+ n 1 k=1 n 2 k=1 ( ( )( n 2) ) = 3( n 1) 2 Mit etwas Phantasie hätten wir das auch ohne Rechnung sehen können. Für die drittunterste Schicht gilt dieselbe Formel. Für ein Prisma der Höhe h (gezählt werden die roten Schichten) erhalten wir: A Prisma ( n,h)= ha unterste Schicht ( n)+ 2( h 1)A zweitunterste Schicht ( n) = h( 3n 2 3n + 1)+ 6( h 1) ( n 1) 2 = 7h + 12n + 9hn 2 6n 2 15hn 6

16 Hans Walser: Kugeln als Baumaterial 16/ Rhombendodekaeder Die Rhombendodekaeder sind gleich ausgerichtet wie beim Tetraeder. Rhombendodekaeder Literatur [Leppmeier 1997] Leppmeier, Max: Kugelpackungen von Kepler bis heute. Braunschweig: Vieweg ISBN