11b. Die

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1 IV. BUCH RAUM MIT n-dimensionen 11b. Die

2 Auf einen Oktaeder kann man ein bis acht Tetraeder aufsetzen Eine Raumfüllung ist mit Tetra- und Oktaedern möglich

3 Oktaederstümpfe sind archimedische Selbstfüller Es existieren abgeschnittenen archimedische Oktaeder kann Selbstfüller1, man den Raum denn mit dem vollständig füllen (Abbildung). 1 Auch der Dualkörper der Kuboktaeders, der Rhombendodekaeder (übrigens mit den Ecken (±1, ±1, ±1) (±2, 0, 0) (0, ±2, 0) (0, 0, ±2) ) ist ein Selbstfüller Es gibt nur 5 konvexe Selbstfüller: Dreiecksprisma, Sechsecksprisma, Würfel und Oktaederstumpf > P. Engel fand 1980 insgesamt weitere 172 Raumfüller mit 17 bis 38 Grenzflächen

4 Kuboktaeder (Mittelkristall) und Rhombenkuboktaeder (quadr. Dikuppel) Aneinandergereihte Rhombenkuboktaeder (verlängerte quadratische Dikuppeln) ergeben Würfellücken Archimedische Zweikörperfüllungen sind Oktaeder und Würfelstümpfe oder Oktaeder und Kuboktaeder im Verhältnis 1:1. Ansonsten braucht man zum Archimedischen noch zumindest einen Platonischen, jeweils im Verhältnis 1:1. Archimedische Zweikörperfüllungen: Tetraederstümpfe u. Tetraeder 1:1 (hier abgebildet) oder Würfelstümpfe u. Oktaeder

5 Links: Gehörnter Oktaeder (Raumfüller) Rechts: Gehörnter Doppeltetraederstumpf Es existieren vermutlich auch Füllungen mit archimedischen Körpern und platonischen Körpern kleinerer Kantenlänge (etwa Oktaeder und Tetraeder mit einem Drittel der Kantenlänge oder doppelte gehörnte Tetraederstümpfe liefern 99,5% Packungsdichte 2 ) 2 Spektrum der Wissenschaft 2/2012: >>Kollektive Verklemmung und der gehörnte Oktaeder<< von Christoph Pöppe (vgl. VI.10b)

6 Archimedische Dreikörperfüllung Tetraederstümpfe, Oktaederstümpfe und Kuboktaeder (Mittelkristall) Man kann auch noch mit maximal drei 3 verschiedenen archimedischen Körpern den kompletten Raum aufbauen: Abgeschnittener Tetraeder, abgeschnittener Oktaeder und Kuboktaeder, oder abgeschnittener Tetraeder, abgeschnittener Würfel und Halbriese (dessen Oberfläche `alternierend nur aus Quadraten, Sechsecken und Achtecken besteht) jeweils im Verhältnis 2:1:1. Dreikörperfüllung mit Würfel und zwei Archimedischen: Kuboktaeder & Rhombenkuboktaeder + Würfel = 1:1:3 3 Keine Packung mit vier verschiedenen halbregelmäßigen Körpern (auch wenn regelmäßige darunter sind nicht) ist bekannt! Mit vier verschiedenen gelingt es nur, wenn man etwa noch das kantengleiche achteckige Prisma dazu nimmt: Würfel, abgeschnittener Würfel, die verlängerte quadratische Doppelkuppel und das Achteckprisma gleichlanger Kanten (im Verhältnis 3:1:1:3). Robert Williams, The geometrical Foundation of natural structure; DOVER

7 Man kann zwei verlängerte quadr. Dikuppel an einem Quadrat aufeinander setzen, dann passen an der Verbindung vier Mittelkristalle (Kuboktaeder an die vier Dreiecke aufsetzen), die gerade vier Würfeln einschließen. Halbriesen & Oktaederstümpfe & Würfel = 1:1:3 Man setzte die Halbriesen an ihren Achtecken zusammen. In die entstehenden Lücken passen Oktaederstümpfe (die abgeschnittenen quadratischen Doppelpyramiden, an deren Sechsecken die Halbriesen verbunden werden), wobei an den Quadraten noch Würfel dazwischen reinpassen. Auch mit zwei regelmäßigen Platonischen und einem halbregelmäßigen Archimedischen kann der Raum gefüllt werden: Tetraeder, Würfel und Mittelkristall im Verhältnis 2:1:1 Raumfüllung mit Körpern, die regelmäßige Fünf- oder Zehnecke in ihrer Oberfläche haben (der Riese oder der Dodekaederstumpf aber z.b. auch der Fußball) sind eher selten. Es existiert allerdings auch eine Raumfüllung mit DODEKAEDERN, Würfeln und dem 91. Johnsonkörper, der vier Fünfecke enthält

8 J91 ist der vorletzte Johnsonkörper Letzterer, die sog. Bilunadoppelrotunde 4 hat vierzehn Ecken, 26 Kanten. und 14 Flächen (vier regelmäßigen Fünfecke, zwei Quadrate und acht gleichseitige Dreiecke). Raumfüllung mit Dodekaedern, Würfeln und J91 ( 1 : 1 :6 ) Jeder Dodekaeder berührt acht andere an einer Kante und den Würfel berühren sie nur in seinen 8 Ecken

9 Bei dem gelben Dodekaeder ist blau, was von den J91 noch sichtbar ist 5 5 Spektrum der Wiss. Mai 2012 S

10 Die in höheren Dimensionen vorhandenen Selbstfüller nennt man als Honigwaben-Verbundkonstruktion (honeycomb 6 ). Die einzige regelmäßige Honigwabe im 3D-Raum ist der Würfel; trivialerweise ist der Hyperwürfel ein Selbstfüller im nd-raum. Vergleiche auch die 1987 von Coxeter und Ball gefundenen Schwämme (sponges 7 ). Rechts: Menger-Schwamm nach der 4. Iterationsstufe Ab der Dimension n=5 gibt es allerdings auch keine regelmäßigen Hyper- Dodekatope oder Hyper-Ikosatope mehr, sondern nur noch 3 reguläre konvexe Körper! vgl Waclaw Sierpinski ( ) Sierpinski-Schwamm und als Java Applet und Tipp für 3dimensionale Drucke aus Stahl zb. Kleinsche Flasche:

11 Gehen wir nun einmal andersherum, nämlich absteigend, von Dimension 3 auf Dimension 2 der Ebene. Während nur der Würfel von allen Regulären vollständig raumfüllend ist, sind es deren nun drei: Das regelmäßiges Dreieck und Sechseck, sowie das Quadrat sind regelmäßige Selbstfüller 8. {6, 3} heißt, dass 6=Sechsecke 3 mal an einer Ecke zusammen stoßen, {4, 4}4=Quadrate stoßen 4 mal an einer Ecke zusammen und {3, 6} 3=Dreiecke sechs mal

12 Die 12 archimedischen Parketts 9 (oder 11, wegen der beiden Dreiecks-umrandenden-Sechseck-Parketts) -> Weiterlesen: Die Parkettierungen 9 Tilings and Patterns; Grünbaum, Shephard; Freeman & Company