II. BUCH VIERECKE. 6. Das VARINGNON INKREISMITTEN VECTEN

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1 II. BUCH VIERECKE 6. Das VARINGNON INKREISMITTEN VECTEN

2 Die Seitenmitten eines beliebigen Vierecks bilden ja immer ein sog. Varignon-Parallelogramm 1 der halben Fläche, denn die Mittelparallelen der beiden durch eine Diagonale gebildeten Dreiecke sind ja beide parallel zur Diagonalen. Das vierte Fußpunktviereck bezüglich eines beliebigen inneren Punktes P liefert ein zum Ausgangsviereck ähnliches Viereck. Ist insbesondere P das Umkreiszentrum M u eines Sehnenvierecks, dann ist das erste Fußpunktviereck das Seitenmittenviereck, das ein Parallelogramm bildet. Anders als beim Dreieck (Mittendreieck) kann man die Fußpunktviereckseitenlängen nicht aus den Seitenlängen und den Eckabständen (der hier konstant 10 sind) berechnen, wobei noch durch 2R (R ist hier 10) dividiert werden müsste (vgl. Buch I Kapitel 16). 1 Pierre Varignon ( ) Halbiert übrigens eine Diagonale die andere, dann halbiert sie auch die Fläche

3 Die supplementären Diagonalenschnittwinkel sind die Winkel dieses Parallelogramms, und sein Umfang ist gleich der Vierecksdiagonalensumme: u V = e+f. Gleichlange Diagonalen - wie beim Rechteck oder Achsentrapez - liefern eine Varignon-Raute. Stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander (vier rechtwinklige Teildreiecke), dann und nur dann bilden die Seitenmitten ein Rechteck. Die Diagonalen stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn die Summe der Quadrate der Gegenseiten gleich ist: a² +c² = b² +d² Das Diagonalenprodukt ist dann die doppelte Vierecksfläche. Varignon's Theorem und Umkreismitten-Parallelogramm

4 Wann bildet sich aber ein Seitenmittenquadrat? Dazu müssen die Diagonalen nicht nur senkrecht aufeinander stehen, sondern auch noch die gleiche Länge haben, was z.b. auch diverse Drachen gewährleisten, deren Diagonalen ja immer senkrecht aufeinander stehen. Alle Vierecke derselben senkrechten Diagonalenlängen (analoges gilt für solche mit gleichem Schnittwinkel) haben auch denselben Flächeninhalt A=½Diagonalenlängenprodukt. Abb. 42a: Das Rechteck der Inkreismitten Ein Sehnenviereck liefert ein Inkreismittenrechteck (Abb. 42a). Dabei ist die Summe der Gegenradien 2 gleich: r a + r c = r b + r d 2 Sangako Problem

5 Wann das Sehnenviereck sogar ein Inkreismittenquadrat besitzt, d. h. wann das Inkreismittenrechteck (das symmetrisch zu den Diagonalen des Bogenmitten-Vierecks ist) ein Quadrat wird, untersucht Eckhart Schmidt 3 : Das Produkt der Bogenmittenabstände gegenüberliegender Seiten muss gleich sein! 3 U. Ansorge >>Eine interessante Eigenschaft für Sehnenvierecke<<, Alpha 10/1995. W. Dörnband >>Das konvexe Sehnenviereck als Pendant zum Dreieck<< PM 3/

6 Abb. 42b: Das Inkreismittenquadrat für Sehnenvierecke (hier zusätzlich mit dem Seitenmittenquadrat). Bei jedem Viereck lässt sich ein inneres Vecten-Quadrat bilden. Das Vecten-Viereck (oder auch Van Aubel Viereck 4 ) erhält man ja durch die Zentren der aufgesetzten Quadrate: Trägt man auf den Mittelsenkrechten der Seiten eines Vierecks nach außen (oder stets nach innen) die halbe Seitenlänge ab, und verbindet diese Zentren gegenüberliegender Quadrate, so sind die Verbindungsstrecken gleichlang und zueinander 4 Kreisviereck mit aufgesetzten Quadraten: Van Aubel's Theorem: Quadrilateral with squares <vanaubel.html> Interessant ist auch

7 senkrecht. Jedes Vecten-Viereck hat daher ein Seitenmittenquadrat (Senkrechte gleichlange Diagonalen liefern stets ein Seitenmittenquadrat). Trägt man auf den Mittelsenkrechten der Seiten eines Vierecks nach außen (oder stets nach innen) die halbe Seitenlänge ab, so bilden die Mittelpunkte der Diagonalen des Vectenvierecks zusammen mit den Mittelpunkten der Diagonalen des Ausgangsvierecks ein Quadrat. Die Mitte der Verbindung der Diagonalenmittelpunkte des Ausgangsvierecks ist das Zentrum dieses inneren Quadrates. Seitenmittenquadrat (mit Achtpunktekreis des Vectenvierecks) und zentrisch symmetrisches Vecten-Quadrat (mit Umkreis) der Diagonalenmitten des Ausgangsdrachens und seines gleichschenkligen Vecten-Trapezes. Vermutlich erhält man nur bei symmetrischen Vierecken konzentrische Quadrate

8 Inneres Vecten-Quadrat eines beliebigen Vierecks

9 Schon Viktor Thebault ( ) entdeckte 1934 beim Parallelogramm das Zentrenquadrat der aufgesetzten Quadrate. Aber auch die Mitten der Außeneckverbindungen ergeben ein Quadrat, dessen Mitten das Thebaultquadrat bilden Nimmt man die 4 Verbindungsmitten (blau) der äußersten Quadratecken, dann bilden diese - wie die der Quadrat-Zentren (gelb) - ein weiteres Viereck mit gleichlangen und senkrecht aufeinander stehenden Diagonalen; die Seitenmitten bilden ebenfalls ein Quadrat (rot)

10 Beide Vierecke mit gleichlangen und sich senkrecht schneidenden Diagonalen haben einen gemeinsamen Diagonalenschnittpunkt. Nach außen aufgesetzte Quadrate bei symmetrischen Vierecken: Das Quadrat der vier Quadratzentren ist gerade das Mittenquadrat des blauen Seitenmittenquadrats der vier Verbindungsmitten der äußersten Quadratecken

11 Nach innen aufgesetzte Quadrate beim selben Kreistrapez

12 Zu einem Dreieck mit einem Teilpunkt entartetes Viereck: Übergang zum Dreieck (SCHWARZ DICK UMRAHMT): Jedes Dreieck kann auch als Viereck angesehen werden. Hier wird eine Seite halbiert (die zwei gelben Quadrate)

13 Dasselbe mit nach außen aufgesetzten Quadraten (aber seitenverkehrt) Übergang zum zu einer Strecke mit zwei Teilpunkten entarteten Viereck: Wie man zuvor zwei Vierecksseiten zu einer (mit einem Teilpunkt) verschmelzen ließ, kann man nun auch im Grenzfall die anderen zwei Vierecksseiten zu einer Seite mit (Teilung) verschmelzen, oder anders gesagt, eine Strecke mit zwei Teilpunkten als ein ganz besonders extremes Viereck auffassen, deren vier Ecken also kollinear sind! Das Aufsetzen der Quadrate von innen oder außen ist ununterscheidbar

14 Die Strecke AC von 10 cm wird durch B in 3+7 und durch D in 4+6 (bzw. unten 6+4) aufgeteilt!

15 Übungsaufgaben 1.) Vergleiche diese zwei Abbildungen mit den letzteren beiden! 2.) Beweise, dass die durch das Inkreiszentrum bildbaren vier großen Teildreiecke eines Sehnevierecks auf einem Kreis liegende Inkreismitten haben, dessen Mitte der Schnittpunkt der Diagonalen des aus diesen Inkreiszentren gebildeten Rechtecks ist. Zusatz: Wenn die Diagonalen orthogonal sind, wird es dann ein Quadrat? 5 5 Eckart Schmidt: Sehnenviereck mit Inkreismittenquadrat

16 3.) Welche Vierecke haben als Seitenmittenquadrat der Zentren aufgesetzter Quadrate das Mittenquadrat des äußeren Seitenmittenquadrats, das wiederum das Seitenmittenquadrat des Quadrats der Verbindungsmitten der äußersten Quadratecken ist (siehe Abbildung)? Dass die einem Parallelogramm aufgesetzten Quadratzentren ein Quadrat bilden, wird bewiesen auf Seite 35 in

17 4.) Sind die Ecken des kleineren inneren (einbeschriebenen) Quadrats vielleicht gar noch die Schnittpunkte des großen Quadrats mit den Zentrenverbindungsviereckseiten oder liegen diese womöglich gar nicht auf den großen Mittenquadratseiten?

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19 5.) Setzte die Quadrate nach außen und nach innen auf. Wann liegt das innere Zentrenquadrat zentrisch symmetrisch zum äußeren (wenn die Quadrate nach außen aufgesetzt wurden) Zentrenquadrat?

20 Zeige: Während man beim Parallelogramm (oder Rechteck Abb. unten) beim Aufsetzten der Quadrate auf die vier Seiten nach außen (rechts oben) das Zentrenquadrat gerade als das Mittenquadrat des Verbindungsmittenquadrats erhält, ist das beim Aufsetzen nach innen nicht mehr der Fall (links oben)!