11a. Der. und erster COMPUTERBEWEIS. Flächenornamente Zwei- und Vierfarbenproblem

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1 IV. BUCH RAUM MIT n-dimensionen 11a. Der und erster COMPUTERBEWEIS Flächenornamente Zwei- und Vierfarbenproblem

2 Der Zweifarbensatz 2

3 Eine Gerade teilt die Ebene in zwei Teile, zwei Geraden in vier und drei Geraden in bis zu 7 Teile. Egal wie viele Geraden die Ebene auch teilen, stets lässt sich durch Einfärbung ein Muster aus schwarz und weiß bilden, so dass nie zwei gleiche Farben an einer gemeinsamen Strecke angrenzen. Dieser Zweifarbensatz gilt auch noch, wenn nur geschlossenen Linien sich immer durchkreuzen. Oft kann man mit zwei Farben (schwarz-weiß) auskommen Zwei-Farben Fraktale Dabei können Singularitäten (unendliche Punkte) innern oder außen liegen. VI Kap. 11c. unter Aufgabe 1.b) fraktale Parkettierungen 3

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5 Der Vierfarbensatz Nehmen wir aber statt nur Geraden oder Kreisen beliebige Formen, etwa die Begrenzungen von Ländern, dann kommen wir immer mit einem Vier-Farben-Druck (CMYK) aus um die Landkarte einzufärben, wobei keine Landesgrenzen an gleiche Farben treffen. Die Länder auf einer Landkarte können immer so mit 4 Farben gefärbt werden, dass niemals benachbarte Länder dieselbe Farbe bekommen Schon 1852 beobachtete Francis Guthrie, dass nie mehr als vier Regionen miteinander in Kontakt kommen Der Satz wurde erstmals 1852 von Francis Guthrie als Vermutung aufgestellt, als er die Counties von England färben wollte. Es war offensichtlich, dass drei Farben nicht ausreichten und man fünf in keinem konstruierten Beispiel brauchte. In einem Brief des Londoner Mathematikprofessors Augustus De Morgan vom 23. Oktober 1852 an den irischen Kollegen William Rowan Hamilton wurde die Vermutung diskutiert und veröffentlicht. Der englische Mathematiker Arthur Cayley stellte das Problem 1878 der mathematischen Gesellschaft Londons vor. Innerhalb nur eines Jahres fand Alfred Kempe einen Beweis für den Satz. Elf Jahre später, 1890, zeigte Percy Heawood, dass Kempes Beweis fehlerhaft war. Ein zweiter fehlerhafter Beweis, 1880 von Peter Guthrie Tait veröffentlicht, konnte ebenfalls elf Jahre lang nicht widerlegt werden. Erst 1891 zeigte Julius Petersen, dass auch Taits Beweis nicht korrekt war Vierfarbensatz Der 4-Farben-Satz Vier-Farbenproblem Vom Vierfarbenproblem zum Vierfarben- satz eine Analyse mit

6 Das Einfärben geographischer Karten ist im Wesentlichen ein topologisches Problem, weil man nur die Grenzen zwischen den Ländern betrachtet. Das Land kann man dann auch als einen Punkt repräsentieren und die Angrenzungen als verbindende Linien betrachten, die sich aber nicht überkreuzen dürfen, was einen ebenen Graphen ergibt (Graphentheorie). Dieser bereits 1852 bekannte Vier-Farben-Satz ist der erste, der mit Computerhilfe 2 bewiesen wurde. Und zwar 1976 von Appel and Haken, die sich auf Vorarbeiten von Kempe, Heawood, Birkhoff und anderen stützen konnten!. Zwei Farben zur Bemalung des Oktaeders Links sein Schlegel-Diagramm (der Hintergrund blau entspricht der verdeckten Begrenzungsfläche) Zur Verwendung von Computerprogrammen Maschinengestütztes Beweisen Wikipedia 6

7 Die sechs Flächen eines in die Ebene projezierten Würfels 3 Bemalen wir nun die Oberfläche eines Polyeders mit möglichst wenig Farben, und zwar so, dass keine Kante an gleiche Farben stößt, dann kommen wir z.b. beim Oktaeder mit zwei Farben aus, während wir beim Ikosaeder (oder Würfel) bereits drei Farben benötigen und beim Dodekaeder (oder Tetraeder) bereits vier. Aber auch hier kommen wir immer mit höchstens vier Farben 4 aus, was durch die Kompaktifizierung der Ebene beweisbar ist 5. Dies gilt aber nicht mehr für Bemalungen auf Körpern anderen Geschlechts: Beim Torus (Donuts, Rettungsring 3 This film is part of IMAGINARY through the eyes of mathematics Nine chapters, two hours of maths, that take you gradually up to the fourth dimension. Mathematical vertigo guaranteed!cfor more information and to see and download all chapters of the film please look at: or 4 Die Frage, ob man jede beliebige Karte mit 4 oder 5 Farben einfärben könnte, stammt von Cayley. Er war es auch, der als erster den Gruppenbegriff präzise einführte. Zu jener Zeit zogen aus ihm überhaupt nur noch Schläfli, Möbius und Grassmann die Möglichkeit in Betracht, Geometrie auch in mehr als nur drei Dimensionen betreiben zu können. 5 Alle unendlich-fernen Punkte werden zu einem ergänzenden Pol zusammengefasst stereographische Projektion der Kugel auf die Ebene 7

8 oder Schwimmreifen, Teetasse) kann man mit sieben Farben auskommen, das Brezel benötigt noch mehr Farben 6. Drei bzw. vier Farben beim Ikosa- bzw. Dodekaeder 7 Links die Schlegel-Diagramme: Der einer verdeckten Begrenzungsfläche entsprechende Hintergrund muss gelb sein, beim Ikosaeder kann er auch weiß sein! Die 12 bzw. 20 Flächen des Dodeka- bzw. Ikosaeders 6 Mathematik und Muster; >>Ordnungsgesetzte des Geistes und der Natur<<; Keith Devlin; Spektrum Akademischer Verlag Kann man einen Dodekaeder als Spielwürfel verwenden, d.h. ihn so mit zweimal sechs Ziffern beschriften, dass die Gegenseitensumme wie beim Würfel sieben ist, wobei alle Ziffern gleichwertig sein müssen, also etwa gleiche Ziffern immer oder niemals nebeneinander liegen sollen? 8

9 Der Satz von Ringel-Youngs (oder Heawood-Vermutung) fragt nach der maximal benötigten Farbanzahl für ganz allgemeine Oberflächen, wie dem einseitigen Möbiusband oder der Projektiven Ebene, wozu man ebenso höchstens sechs Farben benötigt (wie auch für die nicht-orientierbare Kleinsche Flasche. 8 ) ( [] ist die Gaußklammer, größtes Ganzes) (7+1):2 = 4 Farben für die Euler-Charakteristik E-K+F = 2 (IV.5b EULERSCHE POLYEDERFORMEL) Der Torus hat χ = 0 und kann daher mit höchstens sieben Farben eingefärbt werden 7 Farben reichen beim Torus (Schwimmreifen) 9 Und wie viele Farben brauchen wir zur entsprechenden Einfärbung der Begrenzungen vierdimensionaler Körper? Ebenso viele wie wir brauchen, um den Raum derartig mit abwechselnd anders gefärbten Körpern so aufzuteilen, dass keine Grenzflächen mit derselben Farbe aneinander stoßen. 8 statt der 7 vorhergesagten Farben von einer falschen Formel, was Philip Franklin 1930 bewies. 9 Siehe auch Titelbild. Das 7-Farbenproblem der Reifenbemalung war viel einfacher zu lösen (wurde auch zuerst gelöst) 9

10 Wollen wir nun die ganze Ebene aus mit nur einer Art von regelmäßigen Vielecken erzeugen, dann geht dies nur mit den regelmäßigen Drei-, Vier- und Sechsecken. Denn ganzen Raum können wir analog aber nur mit Würfeln bilden; dies gilt natürlich auch für alle höheren Dimensionen. Aber z.b. bilden Ikosaeder wie die Kugeln Lücken, wenn wir sie aneinander legen. Und mit Dodekaedern geht sowieso nichts, denn mit Pentagonen kann man nicht einmal die Ebene parkettieren. Obwohl die tetraederförmige Kugelpackung die dichteste ist, kann man aber mit Tetraedern nicht den Raum vollständig füllen 10. Wenn auch die Raumwinkelsumme bei Dreieckspyramiden gerade π wäre, könnte man theoretisch vielleicht die vier Winkel zu einem halben Halbraumwinkel ergänzen ( III.5 Die Raumwinkelsumme einer Dreieckspyramide) und daher möglicherweise 16 regelmäßige Tetraeder um ein Spitze gruppieren, so dass ein regelmäßiger Körper entstünde, der von 16 regelmäßigen Dreiecken begrenzt wird. Ein solcher existiert aber nicht (der Ikosaeder hat 20)! 11. Im Vierdimensionalen ist der volle vierdimensionale Raumwinkel 2π² anstatt der 4π des Dreidimensionalen! Und in noch höheren Dimensionen kommen noch höhere Potenzen von Pi vor, so dass es vermutlich unmöglich ist, diese Räume aus regelmäßigen Simplices zu erzeugen. 10 Föppl entdeckte einen raumfüllenden Verbund von Tetraedern and Tetraederstümpfen (Wells 1991). 11 Eine analoge Frage der Ramfüllung mit nicht-regelmäßigen Tetraedern finden Sie im An Amazing, Space Filling, Non-regular Tetrahedron As Simple as 1, 2, 3 (Joyce Frost and Peg Cagle)

11 Aneinandergereihte Tetraeder winden sich Eine Raumfüllung mit Tetraedern alleine ist unmöglich! Aneinander gereihte Tetraeder als Dreifach-Spirale Immerhin kann man diese regelmäßigen Tetraeder dichter packen als die maximal etwa 74%, die man mit gleichgroßen Kugeln erreicht. Ob die dichteste mögliche Packung aber periodisch oder unperiodisch angeordnet ist, weiß noch niemand, wobei ersteres wahrscheinlicher ist. Den derzeitigen Rekord liefert Elisabeth R. Chen (Uni Michigan) mit einer periodischen di-pyramidalen Packung der Dichte von etwa 85,635% (4000/4671) FAZ 10 Feb und Spektrum der Wissenschaft 2/2012: >>Kollektive Verklemmung und der gehörnte Oktaeder<< von Christoph Pöppe (vgl. VI.10b) 11

12 Nur mit Oktaedern zusammen gelingt die Raumfüllung In die Lücken der Oktaeder passen gerade die Tetraeder Das Vakuum könnte statt auf Würfeln auch mit andern Gebilden aufgebaut sein (folgende Abbildungen) 12

13 Ein auf einen Oktaeder aufgesetzter Tetraeder 13

14 Wenn wir nun zwei verschiedene platonische Körperarten verwenden, dann kann man nur mit Tetraedern und Oktaedern 13 zusammen den Raum vollständig überdecken. Oder wir schneiden die Ecken einiger Tetraeder zu einem Drittel der Kantenlängen ab, und verwenden die abgeschnittenen als Tetraeder (wobei aber die Hälfte übrig bleibt), dann können wir den Raum auch ganz dicht damit füllen. An den Ecken eines Oktaeder-Dreiecks und an denen des verdrehten parallelen Dreiecks werden jeweils die Dreieckspyramiden aufgesetzt, die dann so ineinander greifen und zu Säulen stapelbar sind. Diese kann man aneinander schieben (folgendes Bild). 13 Es existieren 257 konvexe Achtflächner. Für diese ist also die Anzahl der Kanten = Ecken+6 Und mit keinem von ihnen kann man den Raum vollständig ausfüllen. Es gibt nur 5 konvexe Polyeder mit regulären Oberflächen: Dreiecksprisma, Sechsecksprisma, Würfel, Oktaederstumpf (Steinhaus 1999, pp ; Wells 1991, pp ), und das Doppeldreicksprisma Gyrobifastigium (Johnson 2000) siehe auch

15 Gehörnter doppelter Tetraederstumpf (Oktaeder und mit Drittelkantenlänge-Tetraeder) füllen den Raum vollständig auch aus -> Weiterlesen: Die Raumfüller 15

16 A U F G A B E N Sei kreativ und konstruiere Muster wie z.b. die Blume des Lebens Entscheide, ob man mit zwei Farben auskommen kann! 16

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