Sudoku und Mathematik

Transkript

1 Sudoku und Mathematik Ulrich Görtz September 2010

2 1 Einführung 2 Lösungsstrategien 3 Färben von Graphen

3 Sudoku

4 Sudoku erfunden 1979 als number place von Howard Garns ( ),

5 Sudoku erfunden 1979 als number place von Howard Garns ( ), ab 1986 erst in Japan, später weltweit populär.

6 Sudoku erfunden 1979 als number place von Howard Garns ( ), ab 1986 erst in Japan, später weltweit populär. Ähnlich: Eulers ( ) lateinische Quadrate.

7 Sudoku erfunden 1979 als number place von Howard Garns ( ), ab 1986 erst in Japan, später weltweit populär. Ähnlich: Eulers ( ) lateinische Quadrate.

8 Aufgabe: Zahlen einfüllen, so dass in jeder Zeile, jeder Spalte und jeder 3x3-Box jede Zahl von 1 bis 9 genau einmal auftritt.

9 Einfu hrung Lo sungsstrategien Fa rben von Graphen Anwendung: Landwirtschaft : Foto aus [Bailey, Cameron, Connelly: Sudoku, gerechte designs, resolutions,.... Amer. Math. Monthly].

10 Sudoku und Mathematik?

11 Sudoku und Mathematik? Independent: no mathematics involved

12 Sudoku und Mathematik? Independent: no mathematics involved Mathematische Fragen über Sudoku: Abzählfragen, Komplexität, Strategie.

13 Sudoku und Mathematik? Independent: no mathematics involved Mathematische Fragen über Sudoku: Abzählfragen, Komplexität, Strategie. Mathematisches Argumentieren beim Lösen eines Sudoku-Rätsels:

14 Sudoku und Mathematik? Independent: no mathematics involved Mathematische Fragen über Sudoku: Abzählfragen, Komplexität, Strategie. Mathematisches Argumentieren beim Lösen eines Sudoku-Rätsels: Existenzbeweis,

15 Sudoku und Mathematik? Independent: no mathematics involved Mathematische Fragen über Sudoku: Abzählfragen, Komplexität, Strategie. Mathematisches Argumentieren beim Lösen eines Sudoku-Rätsels: Existenzbeweis, Eindeutigkeitsbeweis.

16 Abzählfragen (ca. 6,7 Trilliarden) verschiedene (vollständig ausgefüllte) Standard-Sudokus (9x9 Felder) [Felgenhauer, Jarvis, 2006].

17 Abzählfragen (ca. 6,7 Trilliarden) verschiedene (vollständig ausgefüllte) Standard-Sudokus (9x9 Felder) [Felgenhauer, Jarvis, 2006]. Symmetrie!

18 Abzählfragen (ca. 6,7 Trilliarden) verschiedene (vollständig ausgefüllte) Standard-Sudokus (9x9 Felder) [Felgenhauer, Jarvis, 2006]. Symmetrie! Offen: Wie viele Sudoku-Rätsel gibt es?

19 Abzählfragen (ca. 6,7 Trilliarden) verschiedene (vollständig ausgefüllte) Standard-Sudokus (9x9 Felder) [Felgenhauer, Jarvis, 2006]. Symmetrie! Offen: Wie viele Sudoku-Rätsel gibt es? Was ist die Mindestanzahl von Vorgaben, so dass die Eindeutigkeit der Lösung garantiert werden kann?

20 1 Einführung 2 Lösungsstrategien 3 Färben von Graphen

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24 Eindeutiges Feld (hidden single)

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30 8 1 3?

31 Eindeutiger Wert (naked single)

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33 ? ? 7

34 Eindeutiges Paar (naked pair)

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47 1 Einführung 2 Lösungsstrategien 3 Färben von Graphen

48 Sudoku als Färbeproblem

49 Sudoku als Färbeproblem

50 Sudoku als Färbeproblem

51 Sudoku als Färbeproblem

52 Sudoku als Färbeproblem Der 2 2-Sudokugraph.

53 Theorem (Vierfarbensatz) Jede Aufteilung der Ebene in zusammenhängende Gebiete kann mit vier Farben so eingefärbt werden, dass je zwei benachbarte Gebiete eine unterschiedliche Farbe haben.

54 Theorem (Vierfarbensatz) Jede Aufteilung der Ebene in zusammenhängende Gebiete kann mit vier Farben so eingefärbt werden, dass je zwei benachbarte Gebiete eine unterschiedliche Farbe haben. Viele falsche Beweise, zum Beispiel Kempe 1879, Tait 1880.

55 Theorem (Vierfarbensatz) Jede Aufteilung der Ebene in zusammenhängende Gebiete kann mit vier Farben so eingefärbt werden, dass je zwei benachbarte Gebiete eine unterschiedliche Farbe haben. Viele falsche Beweise, zum Beispiel Kempe 1879, Tait Beweis: Appel, Haken 1976 (... ), mit Computerhilfe. Nach wie vor ist kein Beweis bekannt, der praktikabel von Hand nachvollzogen werden kann.

56 Theorem (Vierfarbensatz) Jede Aufteilung der Ebene in zusammenhängende Gebiete kann mit vier Farben so eingefärbt werden, dass je zwei benachbarte Gebiete eine unterschiedliche Farbe haben. Viele falsche Beweise, zum Beispiel Kempe 1879, Tait Beweis: Appel, Haken 1976 (... ), mit Computerhilfe. Nach wie vor ist kein Beweis bekannt, der praktikabel von Hand nachvollzogen werden kann. Erlaubt man fünf Farben, so ist der Satz viel einfacher zu beweisen, [Heawood 1890].

57 Theorem (Vierfarbensatz) Jede Aufteilung der Ebene in zusammenhängende Gebiete kann mit vier Farben so eingefärbt werden, dass je zwei benachbarte Gebiete eine unterschiedliche Farbe haben. Viele falsche Beweise, zum Beispiel Kempe 1879, Tait Beweis: Appel, Haken 1976 (... ), mit Computerhilfe. Nach wie vor ist kein Beweis bekannt, der praktikabel von Hand nachvollzogen werden kann. Erlaubt man fünf Farben, so ist der Satz viel einfacher zu beweisen, [Heawood 1890]. Andererseits: Hadwigers Vermutung (1943), eine weitreichende Verallgemeinerung, ist offen.

58 Deutschlandkarte von Wikimedia, Stefan-Xp/ug, GFDL/CC BY-SA.

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