3. Vorlesung. Die Existenz des Pentagons. (*)

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1 3. Vorlesung. ie Existenz des Pentagons. (*) In dieser Vorlesung werden wir sehen wie die Griechen bewiesen haben, dass es das Pentagon wirklich gibt. ieser eweis ist schon recht anspruchsvoll. So anspruchsvoll, dass den Griechen hier Zweifel an den geometrischen Tricks gekommen sein mögen, die man hier angewendet hat. Es kann eigentlich nicht darum gehen - so werden sie bald gedacht haben - nach immer cleveren geometrischen Tricks zu suchen, wenn die geometrischen Grundlagen auf denen diese Tricks beruhen nicht geklärt sind. Was also an dieser Stelle gebraucht wird ist nicht, wie bisher, eine nwedung von solchen mehr oder weniger schwierigen geometrischen Tricks, sondern vielmehr eine systematische, theoretisch einwandfreie Grundlegung der Geometrie, die von einigen, wenigen geometrischen Sätzen ausgeht, die so selbstevident sein sollten, dass man für sie keinen eweis braucht und daraus alle geometrischen Grundsätze logisch einwandfrei entwickelt. ies ist die Forderung nach einer axiomatischen Grundlegung der Geometrie, die hier erstmals in der Geschichte der Mathematik aufkommt. Mit dieser Forderung beschäftigen wir uns in der nächsten Vorlesung. Ihr Resultat ist die historisch erste axiomatische Theorie: die Euklidische Geometrie. Hier also die Konstruktion des Pentagons. (*) iese Vorlesung kann beim ersten Lesen übersprungen werden

2 Einige Winkel-Sätze im Kreis. 3 Pythagoräische Geometrie 21 Neben den eigentlichen Konstruktionsaufgaben wie oben wurden auch Eigenschaften von geometrischen Objekten studiert. esonders beliebt waren dabei Eigenschaften des Kreises. Um anzudeuten woran die Griechen interessiert waren, beweisen wir drei Hilfssätze über Winkel im Kreis, die wir später brauchen werden: ehauptung. [Euklid, III 20] In der folgenden Figur ist E = 2. E F er Mittelpunktswinkel ist das oppelte aller Umfangswinkel Wir haben lso und so E + EF = 2R 2 E + E = E + E + E = 2R 2 E = EF und ebenso 2 E = FE. 2 = E. ies beweist die ehauptung. ehauptung. [Euklid, III, 21] Umfangswinkel über derselben Sehne sind gleich. lle Umfangswinkel sind gleich

3 22. Geometrie (L2) ie Umfangswinkel und ) sind beide halb so groß wie der Mittelpunktswinkel über derselben Sehne. amit sind die Umfangswinkel gleich, d.h. =. amit ist die eh. bewiesen. ehauptung. [Euklid, III 22] Für jedes Viereck im Kreis ist die Summe von gegenüberliegenden Winkel = 2R = 2 Rechte. Winkelsummen gegenüberliegender Winlel sind gleich zwei Rechte Wir haben + + = 2R Weiter gilt (nach obiger eh.) = = weil dies jeweils zwei Winkel über derselben Sehne sind, und somit = + = + + = + + = 2R ies war zu zeigen.

4 Konstruktion des Pentagons. 3 Pythagoräische Geometrie 23 Es stellt sich heraus, dass die gefragte Konstruktion des Fünfecks äquivalent ist zur Konstruktion eines gewissen asisdreicks, d.h. zur Konstruktion eines gleichschenkligen reiecks (,, ) dessen asiswinkel an den Ecken, beide doppelt so groß sind wie der Winkel an der Spitze : as asisdreieck für das Fünfeck us dem asisdreieck lässt sich aber nun sofort das Fünfeck mit Zirkel und Lineal konstruieren [Euklid, IV 11]: E Konstruktion des Fünfecks ie Strecken und E seien Winkelhalbierende. ann sind die Winkel, E, E,, alle gleich und somit auch alle Seiten des Fünfecks (denn im Kreis sind die Sehnen gegenüber gleichen Winkeln gleich [Euklid, III, 29]. amit ist das Pentagon aus dem asisdreieck konstruiert. Konstruktion des asisdreiecks. Man ziehe zunächst den Kreis mit Radius. Sei der Punkt auf mit = 2 (siehe oben) und sei die Sehne mit =.

5 24. Geometrie (L2) Konstruktion des asisdreiecks ehauptung. as reieck ist ein asisdreieck. eweis. [Euklid, IV 10] Wir müssen zeigen, dass = = 2. Wir beweisen diese ehauptung unter der folgenden Winkel-nnahme =. er eweis dieser Winkel-nnahme ist ziemlich technisch und wird gleich nachgeholt (er benutzt die edingung = 2 ). us der Winkel-nnahme folgt: + = + = + = 2R = = = lso und so = = = + = 2 = 2 = 2 und = 2. amit ist mit das gesuchte asisdreieck konstruiert. emerkung. is hierher scheint die Existenz von nicht rationalen Verhältnissen unwiderlegbar zu sein. ber vielleicht - so könnten die Pythagoräer jetzt noch gefragt haben - muß

6 3 Pythagoräische Geometrie 25 man doch noch tiefer gehen und auch noch alle verwendeten geometrischen Grundsätze prüfen, wie etwa die Kongruenzsätze und andere, die vielleicht unbewußt benutzt wurden. Was also an dieser Stelle gebraucht wird ist nicht, wie bisher, eine nwedung von mehr oder weniger schwierigen geometrischen Tricks, sondern vielmehr eine systematische, theoretisch einwandfreie Grundlegung der Geometrie, die von einigen, wenigen geometrischen Sätzen ausgeht, die so selbstevident sein sollten, dass man für sie keinen eweis braucht und daraus alle geometrischen Grundsätze logisch einwandfrei entwickelt. ies ist die Forderung nach einer axiomatischen Grundlegung der Geometrie, die hier erstmals in der Geschichte der Mathematik aufkommt. Mit dieser Forderung beschäftigen wir uns in der nächsten Vorlesung. Ihr Resultat ist die historisch erste axiomatische Theorie: die Euklidische Geometrie.

7 26. Geometrie (L2) Nachtrag. eweis der Winkel-nnahme. Wir müssen jetzt noch den eweis der Winkel-nnahme = nachtragen, von der wir im obigen eweis ausgegangen sind. er eweis der Winkel-nnahme benutzt einen Trick. er Trick besteht darin, die Winkel- nnahme als einen Satz über Winkel im Kreis zu formulieren, aber in einem Kreis der verschieden ist von dem bisher benutzten. Zum eweis konstruieren wir also einen neuen Kreis und zwar den Kreis durch die drei Punkte,, (wie konstruiert man dies mit Zirkel und Lineal? Übung) Zum eweis der Winkel-nnahme ie entscheidende Eigenschaft, die uns weiterbringt, ist die folgende eh. ist Tangente zum Kreis. eweis der eh. Wir haben = 2 = 2 amit ist die ehauptung auf den eweis des folgenden allgemeinen Tangenten Kriteriums reduziert.

8 3 Pythagoräische Geometrie 27 F E as Tangenten Kriterium eh. = 2 ist tangential zum Kreis. eweis. [Euklid III, 37] Wir ziehen, als Hilfslinien, die Tangente von nach E. ann ist EF = 90 o Wir haben weiter lso ist und so = E 2 E 2 = 2 E = ber es ist auch FE = F. Somit sind die Seiten der reiecke FE und F und so auch die reiecke selbst FE = F lso sind auch die Winkel gleich. Insbesondere die Winkel EF = F ber F = 90 o. Somit auch EF = 90 o und muss tangential sein. Nach dem oben ewiesenen, stellt sich die Winkel-nnahme nun als eine ussage über Tangentenwinkel im Kreis dar: E Tangentenwinkel F

9 28. Geometrie (L2) eh. F =. eweis. [Euklid II 32] Es genügt zu zeigen E =. Wir haben = 90 o, da es Winkel über urchmesser als Sehne. lso + = 90 o ber auch F = 90 o. Somit F = + lso F = F = + = Wir haben F + E = 2R und + = 2R. emnach F + E = + = F + und so E = und dies war zu zeigen. amit ist alles bewiesen. as asisdreieck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar und somit auch das Pentagon.

10 3 Pythagoräische Geometrie 29 as odekaeder. as odekaeder ist ein reguläres Polyeder, das aus 12 Pentagonen wie folgt gebildet ist. Ist erst einmal das Pentagon konstruiert, so kann man fragen, ob nicht vielleicht auch ein odekaeder konstruiert werden kann. amit haben sich die Griechen auch beschäftigt und die ntwort ist: Ja. Eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal kann man in [Euklid, XIII] finden. Tatsächlich gibt es noch 4 weitere reguläre Polyeder; insgesamt die folgenden: das Tetraeder, die oppelpyramide, der Würfel, das odekaeder, das Ikosaeder. iese Polyeder heißen heute platonische Körper. In [Euklid, XIII] ist gezeigt, dass alle platonischen Körper (mit Zirkel und Lineal) konstruiert werden können. iese Konstruktionen sind aber z.t sehr aufwendig. Weiter wird gezeigt, dass die Liste von 5 platonischen Körpern vollständig ist - es gibt keine weiteren regulären Polyeder mehr! ies ist, geschichtlich, die erste vollständige Klassifikation einer mathematischen Theorie (der Theorie der regulären Polyeder) überhaupt. ie griechische Klassifikation der platonischen Körper ist heute ein Standardmodell für eine vollständigen Klassifikation einer mathematischen Theorie. Man sagt dabei: efinition. Eine mathematische Theorie ist gewöhnlich eine Theorie von Äquivalenzklassen von Objekten. Eine mathematische Theorie ist klassifiziert, wenn man (1) Modelle für alle Äquivalenzklassen hat und wenn man (2) die Modelle ohne Wiederholung aufzählen kann. Literatur. Euklid, ie Elemente O. ecker, Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher arstellung Sir T. Heath, history of greek mathematics