Gegenstände der Geometrie

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1 Gegenstände der Geometrie

2 Inhalt Quadrat Kreis Würfel Das Das Pentagramm Parkette Seite 2

3 1. 1. Das Quadrat Gerade Linien in in der der Natur? Lichtstrahlen, fallende Körper, Wasseroberfläche, Faltkanten. Rechte Winkel in in der der Natur? Schwerkraft zu zu Oberfläche : Fallende Wassertropfen, ruhendes Pendel, (daher der der Name Lot Lot bzw. bzw. lotrecht ). Spiegelbild, auf auf sich sich selbst gefaltete gerade Linie Seite 3

4 Das Quadrat Durch Falten erhält man man ein ein Rechteck Aus Aus einem Rechteck erhält man man durch Falten ein ein Quadrat, dessen Seite gleich der der kürzeren Seite des des Rechtecks ist. ist. Seite 4

5 Symmetrien eines Quadrats Man Man kann Spiegelsymmetrie dadurch entdecken, dass man man entlang der der Spiegelachse faltet und und die die Figur mit mit sich sich selbst zur zur Deckung bringt. Ein Ein Quadrat hat hat 4 Symmetrieachsen: 2 Diagonalen und und 2 Verbindungen gegenüberliegender Seitenmitten. Seite 5

6 Aus einem Quadrat ein anderes Das Das Quadrat über über der der Diagonale hat hat die die doppelte Fläche ( ist ( ist doppelt so so groß ). Das Das Quadrat über über der der halben Diagonale hat hat die die halbe Fläche ( ist ( ist halb halb so so groß ). Seite 6

7 Fact sheet Quadrat Definition. Ein Ein Quadrat ist ist ein ein Viereck mit mit gleichlangen Seiten und und gleichgroßen Winkeln. Alle Alle Winkel eines Quadrats sind sind rechte Winkel. Wir Wir betrachten ein ein Quadrat der der Seitenlänge a. a. A = a 2 2,, U = 4a. 4a. Länge der der Diagonale: a 2. Insbesondere: Bei Bei einem Quadrat der der Seitenlänge 1 hat hat die die Diagonale die die Länge Seite 7

8 2. 2. Der Kreis Runde Dinge in in der der Welt? Durch Wachsen: Pflanzen, Bäume (Jahresringe), Äpfel, Pilze, Durch Physik : Stein fällt fällt ins ins Wasser, Schleuderbewegung, Sonne, Planeten, Durch Abrollen: Rad, Lawine, Durch den den Herstellungsprozess: Vasen, Teller, Flaschen, Dosen, Pizzateig, Sowie: Pupillen, Brillengläser, Fingerringe, Rundtanz, Seite 8

9 Wie kann man einen Kreis herstellen? Durch Übertragen eines schon vorhandenen Kreises (Teller, ) ) Dazu braucht man man den den Mittelpunkt nicht zu zu kennen Durch Abrollen (Teig, Knete, ) ) Punkte gleichen Abstands um um den den Mittelpunkt: Schnur, Zirkel,,, Hammerwurf, Mond um um Erde, Seite 9

10 Durchmesser Die Die längste Strecke, die die zwei zwei Punkte einer Kreislinie verbindet, ist ist der der Durchmesser; er er geht geht durch den den Mittelpunkt des des Kreises. Jeder Durchmesser ist ist eine eine Symmetrieachse des des Kreises. Der Der Kreis hat hat unendlich viele viele Symmetrieachsen. Seite 10

11 Fact sheet Kreis Definition. Ein Ein Kreis ist ist der der Ort Ort aller aller Punkte, die die den den gleichen Abstand von von einem festen Punkt ( Mittelpunkt ) haben. A = πr πr 2 2,, U = 2πr. 2πr. π ist ist transzendent. Das Das bedeutet insbesondere, dass man man mit mit Zirkel und und Lineal zu zu einem Kreis kein kein flächengleiches Quadrat konstruieren kann (Unmöglichkeit der der Quadratur des des Kreises ). Seite 11

12 3. 3. Der Würfel Vorkommen in in der der Natur: Kristalle Vorkommen in in der der Kultur: Mekka Herstellung einer Ebene Das Das Wort Würfel kommt von von würfeln. Wenn man man nur nur das das entsprechende geometrische Objekt meint, spricht man man oft oft auch von von einem Hexaeder (= (= Sechsflächner). (Man kann auch mit mit einem Tetraeder würfeln.) Seite 12

13 Würfelnetze Ein Ein Netz ist ist ein ein zusammenhängender Bastelbogen. D.h. D.h. ein ein Netz Netz ist ist eine eine ebene Figur, deren Teile die die Seitenflächen sind, so so dass man man sie sie zu zu dem dem räumlichen Objekt (hier: Würfel) zusammenfalten kann. Es Es gibt gibt genau verschiedene Würfelnetze. Wenn man man einen Würfel konkret baut, braucht man man auch Klebefalze. Wie Wie viele? Seite 13

14 Fact sheet Würfel Ein Ein Würfel hat hat 6 Flächen, 8 Ecken, Kanten. (Es (Es gilt gilt die die Eulersche Polyederformel: Anz. Anz. Ecken Anz. Anz. Kanten + Anz. Anz. Flächen = 2.) 2.) Ein Ein Würfel der der Kantenlänge a hat hat das das Volumen V = a 3 3 und und die die Oberfläche O = 6a 6a Ein Ein Würfel hat hat Symmetrieebenen. Der Der Würfel hat hat eine eine dreizählige Drehsymmetrie um um die die Raumdiagonalen. Es Es gibt gibt 4 Raumdiagonalen; diese haben die die Länge a 3. a 3. Seite 14

15 Berühmtes Problem: Verdoppelung des Würfels Kann man man nur nur mit mit Zirkel und und Lineal zu zu einem gegebenen Würfel einen Würfel mit mit genau doppeltem Volumen konstruieren? Antwort: Nein! Das Das kann man man mathematisch beweisen! Seite 15

16 Würfel: Aufgaben Wenn man man einen Würfel mit mit einem geraden Schnitt durchschneidet, welche der der folgenden Schnittflächen können dann auftreten? Gleichseitiges Dreieck, Gleichschenkliges, aber aber nicht gleichseitiges Dreieck, Quadrat, Rechteck (kein Quadrat), reguläres Sechseck? Seite 16

17 4. 4. Das Pentagramm Pentagramm = 5-zackiger, regelmäßiger Stern (griech.) penta = fünf fünf Auftreten: Weihnachtssterne Sterne auf auf Flaggen (U.S.A., ) ) Symbol für für Pythagoräer, RAF, San San Pellegrino, Seite 17

18 Pentagramm: Eigenschaften Zeichnen: Achte auf auf durchgehende Linien! Wenn man man die die Spitzen verbindet, erhält man man ein ein reguläres Fünfeck. Falten eines Fünfecks Umgekehrt: Wenn man man in in ein ein reguläres Fünfeck seine Diagonalen zeichnet, erhält man man ein ein Pentagramm. Im Im Innern eines Pentagramms erkennt man man ein ein reguläres Fünfeck, in in diesem wieder ein ein Pentagramm, in in diesem wieder ein ein Fünfeck usw. usw. usw. usw. Seite 18

19 Fact sheet Pentagramm Das Das Pentagramm ist ist in in enger Weise mit mit dem dem goldenen Schnitt verbunden. (Dieser ist ist als als Zahl Zahl etwa gleich 0,618 D.h. D.h. ein ein Punkt teilt teilt eine eine Strecke im im goldenen Schnitt, wenn er er bei bei etwa 61,8% der der Strecke liegt.) Die Die inneren Ecken teilen die die Strecke Spitze zu zu Spitze im im goldenen Schnitt. Das Das Verhältnis einer Strecke Spitze zu zu Spitze zu zu der der Verbindungsstrecke von von zwei zwei nebeneinander liegenden Spitzen ist ist der der goldene Schnitt. Usw. Seite 19

20 5. 5. Parkette Vorbilder: Bienenwaben, Schachbrett, Fliesen, Pflastersteine, Idee: Man Man möchte die die ein ein beliebig großes Stück der der Ebene überdecken. Definition: Ein Ein Parkett besteht aus aus Parkettsteinen, die die insgesamt die die gesamte Ebene lückenlos und und überschneidungsfrei überdecken. Seite 20

21 Reguläre Parkette Wir Wir betrachten nur nur Parkette aus aus Vielecken, bei bei denen je je zwei zwei Parkettsteine überhaupt nicht, in in einer Ecke oder oder eine eine ganzen Kante übereinstimmen. Definition. Ein Ein Parkett heißt regulär, wenn jeder Parkettstein ein ein reguläres n-ecke ist ist (jeweils dasselbe n). n). Beispiele von von regulären Parketten: n = 6 (Typ (Typ Bienenwaben ), n = 4 (Typ (Typ Schachbrett ), n = 3 (Typ (Typ Halmabrett ). Seite 21

22 Charakterisierung regulärer Parkette Satz Satz (Kepler). Die Die einzigen regulären Parkette sind sind die die aus aus Dreiecken, Quadraten oder oder Sechsecken. Beweis. Idee: Betrachte die die Situation an an einer Ecke. Dort Dort müssen mindestens 3 Parkettsteine zusammenkommen. n = 5: 5: Drei Drei Steine sind sind zu zu wenig, vier vier schon zuviel. n > 6: 6: Schon drei drei Steine an an einer Ecke sind sind zu zu viel. viel. Bemerkung: Im Im allgemeinen gibt gibt es es unglaublich viele viele verschiedenen Parkette. Ihre Ihre Entdeckung und und Beschreibung ist ist ein ein blühendes mathematisches Forschungsgebiet. Seite 22

23 4. 4. Die Pyramide Eine EinePyramide hat hat eine einespitze und und eine einegrundfläche. Die Die Grundfläche ist ist (meist) ein ein reguläres n-eck. Man Man spricht von von einer n-seitigen Pyramide. Bei Bei den den ägyptischen Pyramiden ist ist die die Grundfläche ein ein Quadrat. Die Die Seitenflächen sind sind n kongruente gleichschenklige Dreiecke. Seite 23

24 Daten Cheopsyramide Erbaut ca. ca v. v. Chr. Chr. Grundseite m, m, Höhe m (jetzt m) m) 2,5 2,5 Millionen m 3 3 Mauerwerk Seite 24

25 Fact Sheet Pyramide Oberfläche = Fläche der der Grundseite + n Fläche der der Seitendreiecke Volumen = 1/3 1/3 Grundfläche Höhe Aufgaben: Welche Maße muss ein ein gleichschenkliges Dreieck haben, damit es es Seitenfläche einer Pyramide mit mit gegebener Grundseite sein sein kann? Entwerfen Sie Sie einen Bastelbogen für für eine eine 5-seitige Pyramide. Seite 25