4.7 Der goldene Schnitt

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1 4.7 Der goldene Schnitt Aus Faust I: MEPHISTO: Gesteh' ich's nur! Dass ich hinausspaziere,verbietet mir ein kleines Hindernis: Der Drudenfuß auf Eurer Schwelle --- FAUST: Das Pentagramma macht dir Pein? Ei, sage mir du Sohn der Hölle: Wenn dich das bannt, wie kamst du denn herein? "Beschauet es recht! Es ist nicht gut gezogen: Der eine Winkel, der nach außen zu, ist, wie du siehst, ein wenig offen." Freiburger Münster Flagge von Marokko Drudenfuß Empirisches Ergebnis Bei den Science-Days im Oktober 09 wurden das Verhältnis Spitze-Bauchnabel : Bauchnabel-Fußsohle an 21 Personen gemessen mit folgendem Ergebnis (Durchschnitt): 0,617, also fast genau φ! Definition Goldener Schnitt Eine Strecke AB wird durch den Punkt T im Goldenen Schnitt geteilt, wenn AT : TB = AB : AT = Φ gilt. Dieses Verhältnis ist die Lösung der quadratischen Gleichung Φ² - Φ - 1 = 0. Dabei ist Φ 1,618 und φ = Φ -1 0,618. φ ist Lösung der quadratischen Gleichung φ ²+φ 1 = 0 Goldener Schnitt am Fünfeck: Gleichschenklige Dreiecke mit Basiswinkel 36 oder 72 sind goldene Dreiecke, bei denen Schenkel und Basis im Verhältnis des goldenen Schnitts stehen.

2 Goldene Kette Eine Folge von Punkten, die alle auf einer Geraden liegen und bei der je 3 aufeinander folgende Punkte ein goldenes Punktetripel bilden ( goldene Kette ), hat die Gesamtlänge 1 + φ + φ ² + = (1 - φ) -1 2,618 Dabei ist AB = 1, φ = BT 1 0,618 und φ + φ ² = Die Kreiszahl π Die Kreiszahl π kommt in G8 bereits in der 5./6. Klassenstufe vor, weil der Umfang (U = 2πr) und der Flächeninhalt eines Kreises (A = πr²) den SuS schon auf dieser Stufe bekannt gemacht werden sollte. Genauere Überlegungen bieten sich zur Definition und Bestimmung der Kreiszahl allerdings erst in Klassenstufe 9 an. Die Herangehensweise an die Kreiszahl im Unterricht kann geschichtlich und experimentell erfolgen: Zunächst experimentell: Man gibt den SuS z. B. als Hausaufgabe und Vorbereitung auf die Einführung der Kreiszahl die folgende Aufgabe: Bestimme mit einer Schnur / einem Maßband bei verschiedenen kreisförmigen Gegenständen den Umfang und den Durchmesser (z. B. Tasse, Kochtopf, kreisrunde Tischdecke u. ä.) und berechne den Quotienten Umfang / Durchmesser. Wichtig ist, dass die Proportionalität von Umfang und Durchmesser entdeckt und der Proportionalitätsfaktor bestimmt wird. Dieser Faktor ist konstant und beträgt etwa 3,14. Eine weitere Proportionalität mit der Konstanten π ist die zwischen Inhalt einer Kreisfläche und dem zugehörigen Radiusquadrat. Dies lässt sich auch direkt im Unterricht durchführen: Statt eines Vollkreises beschränkt man sich auf den Viertelkreis und ein Viertelquadrat. Mit dynamischer Geometrie-Software kann man die SuS den Inhalt des Rechtecks AFDC und damit den Inhalt der Viertelkreisfläche schätzen lassen Historisch sind in den Hochkulturen folgende Näherungswerte gebraucht worden: 1. Ägypten (1700 v. Chr. im Papyrus Rhindt): ,16049

3 Eine Folge von Näherungen für die Zahl π gewinnt man durch einen Kreis mit dem Radius 0,5, dem regelmäßige n-ecke einbeschrieben werden, deren Umfang sich mit höher werdendem n π annähert. 2. Annäherung an den Kreis durch ein-/umbeschriebene Vielecke:

4 3. Archimedes hat ca. 220 v. Chr. durch eine solche n-ecksfolge (bis zum 96-Eck) das sehr gute Intervall [ ;3 1 7 ] [3, ; 3, ] angegeben. 4. Einer der besten Näherungsbrüche gab der chinesische Astronom Chukong im 5. Jahrhundert n. 355 Chr. mit 3, an Der persische Mathematiker Dschamschid Mas'ud al-kaschi berechnete 1427 π mit einem Eck auf 16 Stellen genau. 6. Ludolf van Ceulen: bis zur 35. Dezimale (um 1600! ) 7. Nach 1945 Wettstreit der Computer: Die Dezimalstellen der Kreiszahl π in Form einer Spirale. Neuester Stand: 5 Billionen Dezimalstellen (nach Wikipedia): Experimentelles Vorgehen: Ein paar Formeln mit π:

5 John Wallis um 1700 Es gibt Flächen mit ganzzahligem Inhalt, die von Kreisbögen begrenzt werden! Beispiel: Die Möndchen des Hippokrates: Flächeninhalt der beiden Möndchen (Lunulae Hippocratis) zusammen = Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks! Die Mathematiker haben auf Grund dieses Sachverhalts lange geglaubt, dass das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser und damit auch das Verhältnis von Kreisfläche zu Radiusquadrat, also die Zahl π eine rationale Zahl ist. Damit hängt zusammen, dass man lange geglaubt hat, der Kreis sei rektifizierbar ist (d. h. die Kreislinie könne mit Zirkel und Lineal in eine exakt gleich lange gerade Linie bzw. die Kreisfläche mit Zirkel und Lineal in ein exakt gleich großes Quadrat verwandelt werden. Man vergleicht heute noch die Lösung eines besonders schwierigen Problems mit der Quadratur des Kreises! Es gilt aber: Die Zahl π ist nicht rational, sie ist auch keine algebraische Zahl, d. h. keine Zahl, die Lösung einer ganzrationalen Gleichung n-ten Grades ist., sondern: π ist eine transzendente Zahl. Dies wurde von F. Lindemann 1882 in Freiburg bewiesen! Es gibt eine Näherungskonstruktion des Polen Kochansky (1685) zur Rektifikation des Kreises: Die Abweichung der Streckenlänge BD von der Länge der halben Kreislinie AB liegt unter 0,002%! Kurioses: Am 14. März ist π-tag, ebenso der 22. Juli (wegen der Näherung 22/7).