Die transzendente Zahl π; normal?

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1 Fakultät Grundlagen Richard Mohr Die transzendente Zahl ; normal? Die Zahl als Kreisumfangszahl ist sowohl in Naturwissenschaft und Technik als auch in der Mathematik allgegenwärtig. Bereits die Babylonier und Agypter benötigten aus praktischen geometrischen Gründen eine Näherung. Die Griechen behäftigten sich in der Antike mit dem Problem, die Kreisfläche durch ein flächengleiches Quadrat darzustellen. Archimedes fand die erste Methode zur systematischen Berechnung von Näherungen der Kreisumfangszahl mittels regelmäßiger n-ecke. Eine wesentlich effizientere Methode entwickelte sich aus der Reihenentwicklung der Arcustangensfunktion. Parallel dazu wurde bewiesen, dass nicht nur irational (766) sondern auch tranzendent(88) war. Damit konnte das uralte Problem der Kreisquadratur, eines der klassischen Probleme der Antike, im negativen Sinne geklärt werden. Als klassiche Probleme der Antike bezeichen wir das Problem der Würfelverdoppelung, Winkeldreiteilung und Quadratur des Kreises unter ausschließlicher Zuhilfenahme von Zirkel und Lineal. Parallel zur Entwicklung der Rechenmaschinen wurde immer effizientere Algorithmen zur Berechnung gefunden. Der derzeitige Rekord liegt bei, Billionen Stellen und wird von Yasumasa Kanada (Hitachi-Supercomputer) gehalten. Die rasch steigende Möglichkeit fast beliebig viele Stellen der Zahl berechnen zu können, erhöhte das Interesse an den Eigenschaften dieser Dezimalbruchdarstellung. Es wird vermutet, dass normal ist. Dies bedeutet, dass alle Ziffern, Ziffernpaare, Zifferntripel, Ziffernquadrupel etc. mit derselben Wahrscheinlichkeit in der Ziffernfolge vorkommen. Die Ziffernfolge wird deshalb auch mit Erfolg zur Konstruktion von Zufallszahlen benutzt. Diese Methode ist zwar etwas aufwendiger als die von den meisten Softwarepaketen benutzte Methode der linearen Kongruenzen, bestitzt aber etwas bessere Eigenschaften bzgl. der Gleichverteilung. Ebenso kommt jede Ziffernfolge also auch ein individuelles Geburtsdatum an irgend einer Stelle der Dezimaldarstellung vor. Hingegen weiß man, dass bei kryptographischen Anwendungen nicht als Zufallszahlengenerator benutzt werden darf, da es sehr effiziente Techniken zur Indentifizierung seiner Dezimalen gibt. Im Folgenden werden einige Beispiele zur Bestimmung von Näherungen der Zahl vorgestellt. Dabei wurde ebenfalls eine zufällige Auswahl getroffen.

2 Näherungskonstruktion Immer wieder wurden Näherungkonstruktionen für die Zahl und für die Quadratur des Einheitskreises gesucht und gefunden. Exemplarisch seien hier die Konstruktionen von Kochanski aus dem Jahre 685 und von Hobson aus dem Jahre 93 beschrieben. Kochanski A B M X C Y r r r Z Man zeichnet einen Einheitskreis und zwei senkrecht stehende Kreisdurchmesser, die den Kreis in den Punkten A, B, C schneiden. Vom Punkt B trägt man den Radius auf der Kreislinie ab und erhält den Punkt X. Die Gerade MX (Winkel zum Durchmesser AC beträgt 6 ) schneidet die durch C verlaufende Kreistangente im Punkt Y. Vom Punkt Y trägt man den Radius r dreimal auf der Tangente ab und erhältden Punkt Z. Die blaue Strecke AZ ist ein guter Näherungswert für. [ ( )] 0 AZ = 3 tan + = , Der Wert ist etwas zu klein; allerdings beträgt der Fehler nur ungefähr Adam Adamandy Kochanski, Ernest William Hobson,

3 Hobson G B A C D E F J I H Längen: AB = AC = ; AD = 0, 6; AE = 0.5; AF =, 5; IH =. Kreise: Kreis mit Durchmesser BC; Halbkreis mit Durchmesser DE; Halbkreis mit Durchmesser BF. Die Punkte G und H ergeben sich als Schnittpunkte des Lotes auf die Grundlinie mit den beiden Halbkreisen. Anschließend zeichnen wir eine Parallele zur Grundlinie durch den Punkt H. Den Punkt I erhalten wir als Schnitt des Lotes auf die Grundlinie durch B mit der soeben konstruierten Parallelen. Das Lot auf die Gerade GI ergibt den Schnittpunkt J. Wie man leicht nachrechnen kann (Pythagoras) ergibt sich für die blaue Strecke GJ GJ = = Aus dem Höhensatz folgt, dass GH eine Näherungslösung für die Quadratur darstellt. Der Fehler bei der Berechnung von beträgt

4 Exhaustionsverfahren Ausgehend vom regelmäßgen, in einen Kreis vom Radius einbeschriebenen Sechseck gewinnen wir Näherungen für den Umfang des Kreises durch fortgesetzte Verdoppelung der Eckenzahl. Die nachfolgende Skizze zeigt den ersten Schritt des Algorithmus, den Übergang vom Sechs- zum Zwölfeck. r = ϕ ϕ Mit s n bezeichnen wir die Näherung für den Umfang des Kreises bei der Eckenzahl n. Die zur Approximation des Umfangs benutzte Dreieckseite hat dann die Länge s n. Halbieren wir ein zur Approximation benutztes gleichschenkliges Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke, so gilt in diesem Dreieck (in oberer Skizze schraffiert) der Zusammenhang: sin(ϕ) = s n n r = s n (r =!) Analog gilt für die nächste Approximation s n mit der doppelten Eckenzahl sin(ϕ/) = s n n r = s n n.

5 Aus den Additionstheoremen für den doppelten Winkel erhalten wir einen Zusammenhang zwischen sin(ϕ) und sin(ϕ/): cos α = cos α = sin α cos α = sin (α/) Aufgelöst nach sin(α/) ergibt sich sin(α/) = ( cos(α)) = ( sin (α) ). Damit lässt sich für die Approximationsfolge eine Rekursionsbeziehung bestimmen: s n n = sin(α/) = ( sin (α) ) s n = n ( ( s n ) ) Ebenso kann die Kreisumfangszahl durch fortgesetztes Halbieren eines regelmäßigen umschriebenen Vielecks gewonnen werden. Beginnt man wieder mit dem regelmäßigen Sechseck als Startwert, so können wir eine analoge Rekursionsbeziehung gewinnen. In obiger Argumentation muss dann die Sinusfunktion durch die Tangensfunktion ersetzt werden. Bezeichnen wir die Glieder der Approximationsfolge mit S n, so erhalten wir: ( ) tan(ϕ) = S n n r = S n, tan(ϕ/) = S n n Für den Zusammenhang zwischen den Tangenswerten des halben Winkels gehen wir wieder vom Additionstheorem des doppelten Winkels aus: cos α = cos (α/) cos(α/) = ( + cos α) 5

6 Damit ergibt sich für tan(α/): tan(α/) = = = = sin(α/) cos(α/) = ( cos α) ( + cos α) sin(α) cos(α cos(α) + = + tan(α) + tan (α) ( cos α) ( + cos α) + cos α + cos α = sin(α) + cos(α) tan(α) cos (α) + sin (α) + cos(α) S n n = tan(α/) = tan(α) + + tan (α) S n = + S n + ( Sn n = + ) ( ) S n + ( S n ) Der Algorithmus ( ) ist instabil, da zwei annähernd gleich große Zahlen voneinander abgezogen werden. Man bezeichnet dies als Auslöscheffekt. Die Iterationsformel lässt sich algebraisch verbessern, indem man unter der Wurzel mit dem Ausdruck [ + ( s n n ) ] erweitert. Wir erhalten so den Algorithmus s n = sn. + ( s n ) In der nachfolgenden Tabelle sind die Werte dieser Iterationsfolgen s n und S n sowie der modifizierten Folge s n (mod.) zusammengestellt. Die Startwerte sind s 6 = 3 und S 6 = 3. Die Zahlenwerte für die Folge s n machen deutlich, dass die ursprüngliche Rekursionsbeziehung numerisch nicht stabil ist. 6

7 Die Zahlenwerte der nachfolgenden Tabelle wurden mit dem Software-Paket MATLAB Version 6. errechnet. Eckenzahl s n s n (mod.) S n

8 3 Quadratrix Die Quadratrix ermöglicht die Teilung des rechten Winkels im Verhältnis c :, wie die folgende Skizze deutlich macht. y x = y tan(y 0.5) c c x Wir bestimmen zunächst die Gleichung der Kurve für die Winkelteilung. Der Schnittpunkt der Gerade y = c mit der Kurve ergibt die Richtung für den Schenkel mit dem Winkel ϕ = c. ( ) y tan = x y y x = ( ) y tan Diese Kurve besitzt für y 0 einen Grenzwert auf der x-achse : lim y 0 ( y ) y = tan Die Quadratrix lässt sich elementar mit Zirkel und Lineal für für alle Dualbrüche zwischen 0 und konstruieren. Die folgende Skizze soll die zu y = gehörende Konstruktion deutlich machen. 8

9 Dazu verlängern wir die zu den Punkten P und P gehörende Strahlen bis zum Schnittpunkt mit dem Einheitskreis. Die Halbierung der Strecke zwischen diesen beiden Hilfspunkten auf dem Einheitskreis ergibt die Richtung für den Ursprungsstrahl mit dem Winkel Dieser Strahl wird dann mit der Parallele zur x-achse im Abstand geschnitten. Der Schnittpunkt ergibt den zum y-wert gehörenden Punkt auf der Quadratrix. y 0.5 P P x Wir konstruieren nun die zu den Winkeln gehörenden Punkte auf der Quadratrix. Dabei soll eine Rekursionsbeziehung zwischen den x-koordinaten dieser Punkte bestimmt werden. Dazu benutzen wir zur Winkelhalbierung nicht den Einheitskreis, sondern wählen einen Kreis um den vorangegangenen Punkt P i. In der nachfolgenden Skizze wurde dieser Kreis nicht eingezeichnet. 9

10 P 0 P 8 P P 3 H 0 H H Nun ist der Abstand des Punktes P n und der Abstand des zugehörigen Hilfspunktes H n vom Koordinatenursprung identisch. (Beide liegen auf dem selben Kreisbogen um O.) Der Abstand des Punktes P n vom Nullpunkt beträgt l n = x n + y n. Die Koordinaten des Hilfspunktes H n auf x-achse sind H n = ( x n + y n 0). Die Koordinaten des neuen Punktes P n+ ergeben sich aus dem arithmetischen Mittelwert der Koordinaten von P n und H n. x n+ = x n + x n + yn y n+ = y n Die Rekursion für y n ergibt die explizite Darstellung y n = n. Die Rekursionsbeziehung x 0 = 0 x n + x (x n y n ) y 0 = n+ = (x n+ y n+ ) y n+ = n+ x n + n 0

11 Die rekursiv definierte Folge x n+ =. x n + x n + n konvergiert gegen Die Konvergenzgeschwindigkeit dieser Rekursionsbeziehung ist mit der der Exhaustionsmethode vergleichbar. Im 8. und 9. Jahrhundert wurden effizientere Algorithmen über Reihendarstellungen der Arcustangensfunktion gefunden. Numerische Berechnung der Zahl Für lange Zeit war der Ausgangspunkt zur Berechnung der Zahl die Potenzreihenentwicklung der Arcustangensfunktion. arctan x = x x3 3 + x5 5 x x Diese kann wegen (arctan x) = + x einfach durch gliedweise Integration der geometrischen Reihe + x = x + x x x < gewonnen werden. Die Beziehung = arctan = stellt eine bereits von Gottfried Wilhelm Leibniz (66 76) gefundene Darstellung der Kreisumfangszahl dar. Die Reihe konvergiert jedoch sehr langsam. Grundidee der Verbesserungen im 8. und 9. Jahrhundert war die Benutzung der Additionstheoreme zur Verkleinerung des Arguments der Potenzreihenentwicklung. Aus tan(α + β) = erhält man mittels x = tan α y = tan β die Beziehung tan α + tan β tan α tan β arctan x + arctan y = α = arctan x β = arctan y ( ) x + y arctan xy.

12 Gelingt es nun, kleine Zahlen x und y zu finden, so dass x + y xy = ergibt, dann lässt sich das Argument der Reihentwicklung klein halten und somit die Konvergenzgeschwindigkeit entscheidend verbessern. Für derart gewählte Zahlen x und y gilt dann die Darstellung: = arctan = arctan x + arctan y = x x3 3 + x5 5 x y y3 3 + y5 5 y Im Folgenden sollen hierzu noch einige historische Ansätze vorgestellt werden. 78 wählte Leonhard Euler ( ) x = und y = = = arctan = arctan + arctan 3 = zerlegte Euler das Argument noch einmal durch =. = arctan = arctan 3 + arctan ( 7 = ) erhielt John Machin (680 75) eine sehr effiziente Darstellung durch die nachfolgende Zahlenspielerei. arctan 5 = arctan = arctan 5 arctan 5 = arctan 5 5 = arctan arctan + arctan 39 = arctan = arctan 0 9 = arctan 0 9 = arctan = arctan 5 arctan 39 = ( ) ( )

13 Zur Berechnung von auf Dezimalen benötigt man vom ersten Summanden 0 Glieder, während von der zweiten Reihe nur drei Summanden berücksichtigt werden müssen. Ohne auf die theoretischen Grundlagen einzugehen, geben wir noch einige moderne Algorithmen zur Berechnung von an. Von dem genialen indischen Mathematiker Srinivasa Ramanujan (887 90) stammt die nachfolgende Darstellung für. = [ n=0 (n)!( n) (n!) 396 n Unter Verwendung dieser Formel erhält man mit jedem zusätzlichen Summanden acht exakte neue Dezimalstellen. Die Auswertung ist jedoch ziemlich aufwendig. Heute werden Algorithmen mit mehrgliedriger Rekusionsbeziehung bevorzugt, so z. B. x n+ = y n xn + ( x n + y n ) y n+ = yn + yn p n+ = p n x n+ + y n+ + x n+ ] Startwerte x 0 = 0, y 0 =, p 0 = + Hier genügen zur Bestimmung von auf Dezimalen bereits drei Iterationsschritte. Die Anzahl exakter Dezimalstellen verdoppelt sich bei jedem Schritt. Ein letzter Schritt zur schnellen Berechnung von in der Hexadezimaldarstellung war die 995 von Simon Plouffe (geb. 956) gefundene Darstellung: = ( 6 k 8k + 8k + 8k + 5 8k ) + 6 k=0 Diese Formel ist bemerkenswert, denn sie erlaubt die individuelle Berechnung der Ziffern von zur Basis. Zum Beispiel kann man die 0milliardste Binärziffer von ermitteln, ohne die vorangegangenen Ziffern berechnen zu müssen.. 3