Zuerst soll untersucht werden, wie die Koeffizienten einer Polynomfunktion mit ihren Ableitungen zusammenhängen. +Q 1/ cccccccccccccccccccc. folgt.

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1 7D\ORU3RO\RPH Materialien zur Vorlesung, Wintersemester 3 / 4 Zuerst soll untersucht werden, wie die Koeffizienten einer Polynomfunktion mit ihren Ableitungen zusammenhängen. Für [ ± 5 sei also mit reellen D,,,,, und D œ, S+[/ : D [ D D [ D [ D [. Dann gilt S+/ D. Nun wird S einmal abgeleitet: S'+[/ : D D [ 3D 3 [ D [ und S'+/ D. S wird zweimal abgeleitet: S''+[/ : D 3 º D 3 [ 4 º 3[ º + /D [, S''+/ D. nduktiv folgt leicht für N S +[/ N º +N / º º º +N N / º D º [ + º + / º º º + N /D [, º + / º º º + N /D [, woraus sofort S +/ N º +N / º º º º D bzw. D S +/ cccc N folgt. Dies ist der gesuchte Zusammenhang zwischen den Ableitungen einer Polynomfunktion und ihren Koeffizienten. Satz 7. Für [ ± 5 sei mit reellen D,,,,, und D œ, Dann gilt D S +/ S+[/ : D [ D D [ D [ D [. und damit S+[/ : S +/ [. Von dieser Beobachtung ausgehend soll nun entsprechend analysiert werden, wie bei anderen Funktionen Beziehungen zwischen den Ableitungen und sogenannten Näherungspolynomfunktionen hergestellt werden können. Also: n welcher Beziehung stehen für eine geeignete Funktion die Zahlen / +[/ und [. muss dann selbstverständlich -mal differenzierbar sein und etwa auf einem ntervall, : D, E' definiert sein. Es seien nun D, E ±, und D E. Wir betrachten für [ ±, die Funktion K mit +E [/ +E [/ K+[/ : +[/ +[/ cccc +[/ +E [/ ccccc +[/ +E [/ ccccc +[/ + / + / und leiten K fleißig ab: Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 / 4

2 7D\ORU3RO\RPH K +[/ L M N +E [/ cccc +[/ \^ +E [/ ] - cccc +[/ +E [/ cccc +[/ º+E [/ cccc +[/ +E [/ cccc +[/ +E [/ ccccccccc + / +[/ +E [/ cccc +[/ +E [/ cccc +[/ +E [/ cccc +[/ +E [/ ccccc +[/. + / Jetzt werde V : +E/ K+D/ ccccccccccc gesetzt. Dann gilt mit J+[/ : +E/ K+[/ V º +E [/ +E D/ +E/ K+D/ J+D/ +E/ K+D/ ccccccccccc +E D/ +E D/ und da K+E/ +E/, auch J+E/ +E/ +E/ V º +E E/. Also ist mit auch J differenzierbar, und da -mal differenzierbar ist, folgt mit dem Satz von Rolle: Es gibt ein J ± 'D, E ', so dass J +J/ K +J/ º V º +E J/, woraus nun K J/ V cccccccccccc +E J/ K +J/ º+E J/ cccccccc J/ + /ºº+E J/ cc folgt. Also ist J+[/ +E/ K+[/ J/ ccc +E [/. Nun war J+D/, und damit folgt +E/ K+D/ J/ cc +E D/, d.h. +E D/ +E D/ +E D/ +E/ +D/ cc +D/ +D/ +D/. Um nun zu den üblichen Bezeichnungen zu kommen, seien, : D, E', :, 5, + /-mal differenzierbar. Es werde also durch, E durch [, D durch [ und J durch [ ersetzt. Dann gilt der berühmte Satz 7.: Satz von Taylor (75) (Brook Taylor, 85-73, englischer Mathematiker) Es seien, : D, E', :, 5, + /-mal differenzierbar und [, [ ±,. Dann gilt mit einem [ zwischen [ und [ Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 / 4

3 7D\ORU3RO\RPH 3 +[/ +[ / +[ [ cccccc / +[ / +[ [ cccccccc / +[ / +[ [ / +[ / +[ [ / ccccccc + / +[/. +[ [ / ccc +[ / heißt das -te Taylor-Polynom von.! Nun soll für einige wichtige Funktionen die jeweiligen Taylor-Polynome bzw. die Taylor-Reihen berechnet werden. Man spricht auch von Taylor-Entwicklungen. Früher wurde schon bewiesen: Für [ œ gilt [ [ [ [ bzw. [ [ [ [. Gilt nun noch «[ «, so ist lim " - [ [. Daher folgt Satz 7.: Für «[ «gilt [ [ [ [ [ [ 3, +/ [ [ [ [ Satz 7.3: Es seien, : D, E', :, 5, beliebig oft differenzierbar auf,. Es existiere eine Konstante!, so dass ƒ +W/ für alle W ±, und alle ±. Dann gilt für jedes betrachtete [ ±, und alle [ ±, Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 / 4

4 7D\ORU3RO\RPH 4 +[/ +[ / +[ [ /. Beweis: Für [ [ ist die Behauptung trivial. Es sei also nun [ œ [. Nach Satz 7. gilt für jedes ± mit einem [ zwischen [ und [ +[/ +[ / +[ [ / +[ [ / ccccccc + / +[/. Nach Voraussetzung ist ƒ +[/. Es bleibt also zu zeigen, dass L N M +[ [ / \ ccccccc ] eine Nullfolge ist. + / ^ Diese Behauptung kann elementar bewiesen werden! Hier soll sie aber nach einer Manier bewiesen werden, die dem gleicht, was üblicherweise bezeichnet wird als: Mit Kanonen auf Spatzen schießen. Doch dieses Verfahren ist hier bequem und zusätzlich lehrreich: +[ [ Die Reihe / wird mit dem uotientenkriterium auf Konvergenz untersucht: Es sei also D : +[ [ /. Dann ist D ccccccccccccc D +[ [ / ccccccc º cccccccc [ [ + / +[ [ / c. Nun gibt es nach Archimedes ein ± mit +E D/, also E D cccc Damit folgt für alle D ccccccccccccc D ˆ [ [ ˆ E D cccc, +[ [ was jetzt die absolute Konvergenz der Reihe / beweist. Nun bilden aber bekanntlich nach Satz..3 die Summanden einer konvergenten Reihe eine Nullfolge; also ist - +[ [ / eine Nullfolge und der Satz ist bewiesen.. Satz 7.4: Für [ ± 5 gilt exp+[/ ccccccc [. Beweis: Es sei, : D, E'. Dann gilt für alle [ ±, und alle ± auch exp+d/ exp+[/ exp +[/ exp+[/!, da die Exponentialfunktion monoton wachsend ist und nur positive Werte annimmt. Wird nun das in Satz 7.3 geforderte als exp+d/ gewählt, so folgt mit Satz 7.3 und der Wahl [, dass für alle [ ±, gilt exp+[/ ccccccc [. Da D, E beliebig waren, gilt diese Darstellung auf ganz 5. Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 / 4

5 $ $ $ $ 7D\ORU3RO\RPH Æ 4 3 Æ 3 4 Mit ln+[/ ¼ GW cccccc W ln+ [/ ¼ folgt ln+ [/ ¼ $ ccccccccccccc GW W ¼ GW ccccccccccccc W 4 +/ W GW. Üblicher Weise wird dann die Taylor-Reihe von ln+ [/ so hergeleitet: ¼ +/ W +/ GW [. Das Problem liegt in der Vertauschung von ntegration und Summation, die mit den in dieser Vorlesung zur Verfügung stehenden Mitteln nicht direkt geleistet werden kann. Daher ein etwas längerer Beweis zu Satz 7.5: Für [ mit [ gilt ln+ [/ nsbesondere folgt für [ : +/ [ [ cccccc [ cccccc [3 3 [4 cccccc 4. +/ ln+/ ccccc ccccc 3 ccccc 4. Beweis: +/ Für ± und [! sei +[/ : ln+ [/ [. Damit gilt +/. Dann ist +[/ [ +/ + / º [ [ [ L N M [ +[/ \ cccccc ] +[/ ccc [ ^ [ und +/. Nun sei ungerade, etwa P. +/ [ Dann ist +[/ +[/ cccccccccccc % für [, also mit +/ und dem sog. KRUVHWUDFNSULFLSOH (siehe Übungsaufgabe) [ Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 / 4

6 7D\ORU3RO\RPH folgt +[/ für [, % d.h. +/ [ ln+ [/. st dagegen gerade, etwa P, so ist +[/ +[/ cccccccccccc % für [ und wieder folgt [ % +/ [ also insgesamt ln+ [/, % +/ [ % +/ ln+ [/ [. Die Differenz zwischen der linken und rechten Summe beträgt +/ cccccccccccc % P [ % [ % cc P. Für ƒ [ gilt lim % " - [ % ccccc P. +/ Damit folgt ln+ [/ [ Satz 7.: Für [ ± 5 gilt Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 / 4

7 7D\ORU3RO\RPH 7 sin+[/ & +/ +/ [ +/ cos+[/ +/ [., Beweis: Ein Beweis verläuf analog zu dem Beweis des Satzes 7.4, wenn beachtet wird, dass die Ableitungen von sin und cos bis auf Vorzeichen wieder cos oder sin sind und sowohl ƒ sin+[/ als auch ƒ cos+[/ gilt. Taylorentwicklung von sin : S ccccc 5 S Taylorentwicklung von cos : S ccccc 5 S Zum Schluss wird die Taylor-Reihe des arctan hergeleitet. Damit ergibt sich eine neue Möglichkeit S numerisch zu berechnen. Satz 7.7: +/ Für [ ± 5 mit ƒ [ gilt arctan+[/ [. Beweis: m Beweis wird hier ähnlich verfahren wie bei der Entwicklung von ln([ + ) in Satz 7.5. Für [ ± 5 und ± sei Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 / 4

8 7D\ORU3RO\RPH 8 +[/ : arctan+[/ - ccccc [ ccccccc [3 3 +/ [ Also ist +/ und : arctan+[/ +/ [. +[/ : ccc [ + [ [ 4 +/ [ / : : ccc [ +/ [ ccc [ - ccc [ +/ [ cccc [ : +[ / cccc [. Es sei nun gerade, etwa P. Dann ist +/, gilt +[/ für [, +[/ für [ und damit für diese [ monoton wachsend. Da % +/ d.h. arctan+[/ [. Nun sei ungerade, etwa P. Dann ist % +/ arctan+[/ [. '+[/ für [ und analog zum vorigen Ergebnis folgt Also gilt für [ % +/ ccc [ % +/ arctan+[/ ccc [. Die Differenz zwischen der rechten und linken Seite beträgt Gilt nun noch [, so folgt mit lim - [4 % ccccc % " 4P [ 4 % cc 4P. +/ arctan+[/ ccc [. Nun ist arctan eine ungerade Funktion und auch ist ungerade, d.h. +[/ +[/. Für [ gilt lim + +[// und damit gilt auch lim + +[//. " " Beide Ergebnisse zusammen bedeuten: Für [ mit «[ «gilt arctan+[/ +/ [. Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 / 4

9 7D\ORU3RO\RPH 9 Bekanntlich gilt tan+[/ sin+[/ ccc cos+[/ und sin+ cccc 4 / cos+ cccc 4 /, d.h. tan+ cccc /, bzw. arctan+/ cccc 4 4. Also gilt cccc 4 arctan+/ cccc 3 cccc 5 cccc 7. (James Gregory, 7, Gottfried Wilhelm Leibniz, 74) Diese Reihe konvergiert VHKU langsam, und es ist nicht ratsam damit einen numerischen Wert von S berechnen zu wollen. Es ist jedoch lange darüber nachgedacht worden, wie die obige Formel für eine numerische Berechnung von S benutzt werden kann. Aus dem Additionstheorem für den Tangens tan+[ \/ folgt tan+[/ tan+[/ tan+\/ tan+[/ºtan+\/ tan+[/ tan +[/. Nun sei D : arctan+ cccc 5 / Dann folgt tan+d/ tan+d/ tan +D/ cccc 5 cccc ccccc 5 5 cccccccc und tan+4d/ tan+d/ cccc tan +D/ ccccc cccc cccccccc 5 44 cccccccccccc 9. Nun seien E : arctan+ cccccccc /, [ : 4D und \ : E. 39 tan+[/ tan+\/ cccccccc Dann ist tan+4d E/ 9 cccccccc 39 tan+[/ºtan+\/ cccccccc cccccccc 9 º 39 º39 9 ccccccccccc 9º39 ccccccccccc 9º39 39 cccccccccccccc 9 9º39. Also gilt 4D E S ccccc 4 bzw. S D 4E. Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 / 4

10 7D\ORU3RO\RPH Nun ist D ccccc 5 ccccc 3, ccccc 5 3 ccccc 5, ccccc 5 5, E cccccccccccc 39 ccccc 3, cccccccccccc 39 3 ccccc 5, cccccccccccc Mit diesen Formeln läßt sich S gut berechnen. Sie wurden von John Machin (englischer Astronom, 8-75) 7 gefunden. n der folgenden Tabelle sind einige Werte eingetragen. in der ersten Spalte gibt dabei jeweils an, wieviele Summanden für D bzw. E berechnet wurden. Die ersten Dezimalstellen von S lauten: s s s s s Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester 3 / 4