1 a) Überschlag: Rechnung: 2 Berechnet wird zuerst r, dann d.

Transkript

1 6 Kreis Schülerbuchseite Kreis Auftaktseiten Seiten 18, 19 Seite 18 1 Individuelle Lösungen, zum Beispiel: Reifendurchmesser: 70 cm Abrollumfang: Die Strecke, die das Fahrrad zurücklegt, wenn sich das Vorderrad einmal dreht, kann auf dem Boden gemessen werden; dieser beträgt etwa 0 cm. Man kann den Reifendurchmesser etwas mehr als 3-mal auf dem Umfang des Rads abtragen. 3,1,51 = 7,78 Wenn sich das Vorderrad einmal dreht, dann legt die Laufmaschine eine Strecke von knapp 8 m zurück. Seite 19 3 Die eingezeichneten Quadrate haben eine Seitenlänge von 100 m. Damit kann man die Länge und Breite der Altstadt Nördlingen schätzen. Länge: 9,7 100 = 970 m Breite: 7,3 100 = 730 m Schätzung der Fläche: Man zählt 50 vollständige (oder fast vollständige) Quadrate. Weitere 7 können aus Teilquadraten zusammengesetzt werden, insgesamt erhält man 57 Quadrate. Die Fläche der Innenstadt kann man auf ungefähr 57 ha schätzen. 1 Kreisumfang Seiten 130, 131 Seite 130 Einstieg Den Durchmesser der Gegenstände kann man am einfachsten mit der Schieblehre messen; mit dem Geodreieck geht es aber auch, wenn man darauf achtet, dass man durch den Kreismittelpunkt misst. Der Umfang lässt sich am besten mit einem flexiblen Maßstab messen. Individuelle Lösungen Individuelle Lösungen Tabelle: Individuelle Lösungen u Das Verhältnis d ist bei allen Messungen gleich groß. Es beträgt etwa 3. Seite a) Überschlag: Rechnung: u = π d u = π d u 3 16,0 u = π 16,0 u 8,0 cm u = 50,3 cm b) Überschlag: Rechnung: u = π d u = π d u 3 3,0 u = π 3,0 u 9,0 m u = 9, m c) Überschlag: Rechnung: u = π r u = π r u 3 1, u = π 1, u 7, dm u = 77,9 dm d) Überschlag: Rechnung: u = π r u = π r u 3 31,8 u = π 31,8 u 190,8 cm u = 199,8 cm Berechnet wird zuerst r, dann d. a) u = π r 31,5 = π r 15,75 = π r π r = 5,0 cm d = r = 10,0 cm b) 108,0 = π r 5,0 = π r π r = 17, cm d = r = 3, cm c) 0,0 = π r 10,0 = π r π r = 38, dm d = r = 76, dm d),0 = π r,0 = π r π r = 7,0 m d = r = 1,0 m 3 Glas: r =,0 cm u = π,0 u = 5,1 cm Münze: d = 5,75 mm u = π 5,75 u = 80,90 mm Reifen: d = 61,8 cm u = π 61,8 u = 19, cm A a) u = π r b) u = π d u = π 3,5 u = π 9 u =,0 cm u = 8,3 cm 11

2 6 Kreis Schülerbuchseite 131 B a) u = π d b) u = π r 11 = π d π 7, = π r π 3,5 = d 7,5 = r d = 3,5 cm r = 7,5 dm Seite 131, links a) r = cm b) r = 1 cm u = π u = π 1 u = 1,6 cm u = 6,3 cm c) r = cm d) d = 5,5 cm u = π 1,5 u = π 5,5 u = 9, cm u = 17,3 cm 5 a) 5,6 = π r,8 = π r π r = 0,9 cm d = r = 1,8 c),0 = π r 11,0 = π r π r = 3,5 dm d = r = 7,0 dm b) 37,7 = π r 18,85 = π r π r = 6,0 cm d = r =1,0 cm 6 a) Der Umfang der Figur besteht aus einem halben Kreisumfang und dem Durchmesser des Kreises. u Kreis + d π + u = 10,3 cm b) Der Umfang der Figur besteht aus zwei halben Kreisumfängen und den Längen von zwei Durchmessern. u Kreis + d + u Kreis + d u = u Kreis + d u = π 1 + u = 10,3 cm c) Der Umfang der Figur besteht aus den Umfängen von zwei Viertelkreisen und den Längen von zwei Radien. u Kreis + r + u Kreis + r u = u Kreis + r u = π + u = 10,3 cm d) Der Umfang der Figur besteht aus den Umfängen von drei Viertelkreisen und der Längen von zwei Radien. u = 3 u Kreis + r u = 3 π + u = 13, cm Seite 131, rechts a) b) c) d) e) r 35,0 cm 0,75 m 0,16 m 3,8 dm 0,1 dm d 70,0 cm 1,5 m 0,3 m 7,6 dm 0,81 dm u 19,9 cm,7 m 1,0 m 19,5 dm,56 dm Beispielrechnung für c): u = π d 1,0 = π d π d = 0,3 r = 0,16 5 a) u Kreis1 + 0,5 + u Kreis + 0,5 π 1,5 + 0,5 + π 1 + 0,5 9, + 0,5 + 6,8 + 0,5 u = 8,9 cm b) Die zwei Viertelkreise sind hier gleich groß. Für den Umfang der Figur u gilt: u Kreis u Kreis u = u Kreis + 6 u = π + 6 u = 1,3 cm c) u Kreis1 + 0,5 + u Kreis + 0,5 π + 0,5 + π 1,5 + 0,5 1,57 + 0,5 + 9, + 0,5 u = 1,0 cm 6 a) Durchmesser des großen Rads: d groß = 0,5 d groß = 50,8 cm Umfang des großen Rads: u groß = π 50,8 u groß = 159,6 cm gefahrene Strecke nach 15 Umdrehungen: ,6 = cm = 3,9 m Nach 15 Radumdrehungen ist man etwa m gefahren. b) 1 km = 1000 m = cm Anzahl der Radumdrehungen beim großen Rad (u = 159,6 cm): ,6 = 66,6 Das große Rad macht bei einer Weglänge von 1 km etwa 67 Umdrehungen. Um die Anzahl der Umdrehungen beim kleinen Rad zu berechnen, muss man zuerst seinen Umfang berechnen. u klein = π d klein u klein = π (6,5) u klein = 7,9 cm 1

3 6 Kreis Schülerbuchseite Anzahl der Umdrehungen beim kleinen Rad: ,9 = 087,7 Das kleine Rad macht bei einer Weglänge von 1 km etwa 088 Umdrehungen. 1 Kreisumfang Seite 13 Seite 13, links 7 Berechnen des Durchmessers: 0 = π d π d = 6, m Damit der Kreis in das Klassenzimmer passt, muss dieses mindestens 6, m breit und lang sein. Bei den meisten Klassenzimmern wird das der Fall sein. 8 Umfang des Vorderrads: u Vorderrad = π 1,0 u Vorderrad =,0 m Umfang des Hinterrads: u Hinterrad = π 0,5 u Hinterrad = 1,1 m Vergleich:,0 1,1 3,1 Wenn sich das Vorderrad einmal dreht, dreht sich das Hinterrad etwas mehr als 3-mal. Hinweis: Man kann auch die Durchmesser beider Räder miteinander vergleichen, ohne zuerst die Umfänge zu berechnen, denn es gilt: u Vorderrad u Hinterrad = (π 1,0) (π 0,5) = 1,0 0,5 3,1 9 a) Die Spitze des Minutenzeigers beschreibt in einer Stunde einen Kreis mit r = 3,0 m. Umfang des Kreises: u = π 3,0 = 1, Die Zeigerspitze legt in einer Stunde 1, m zurück. b) Die Spitze des Stundenzeigers beschreibt nach 9 Stunden einen Dreiviertelkreis mit Radius r =,0 m. Umfang des Kreises: u = π,0 = 13,8 Umfang des Dreiviertelkreises: 3 13,8 = 10,35 Die Spitze des Stundenzeigers legt in 9 Stunden etwa 10, m zurück. 10 u Erde = π u Erde = 0 07, km Um 1 kg Honig für eine Person im Jahr zu produzieren, muss die Biene -mal so lang wie für 50 g Honig fliegen (also 3-mal um die Erde). Um den jährlichen Verbrauch einer -köpfigen Familie zu decken, muss sie noch mal das Vierfache fliegen ( 3-mal um die Erde) , = ,6 Mio. Eine Biene muss theoretisch knapp Mio. km fliegen, um den jährlichen Bedarf einer -köpfigen Familie an Honig zu decken. Seite 13, rechts 7 Umfang des Schmuckstücks: u = 10 cm 10 = π d π d = 3, Der Durchmesser des Schmuckstücks beträgt 3, cm. 8 a) Individuelle Lösungen Bei Erwachsenen und älteren Jugendlichen geht man im Allgemeinen davon aus, dass die Armspanne etwa so lang wie die Körpergröße ist. b) Durchmesser des Baums: 1 m u = π 1 =,0 Der Umfang des Baums beträgt etwa,0 m. Geht man von einer durchschnittlichen Armspanne von 1,65 m aus, dann erhält man:,0 1,65 = 6,7. Man braucht also ungefähr 7 Personen um den Baum zu umarmen. 9 a) Individuelle Lösungen, zum Beispiel: Bei einem Umfang der Dose von 16 cm (also r =,5 cm) hat der Faden eine Länge von 116 cm und dementsprechend einen Radius von etwa 18,5 cm. Der Abstand zwischen beiden Kreislinien beträgt etwa 16 cm. b) Berechnung des Abstands a zwischen Erdoberfläche und Seil: u Erde = π 6378 u Erde = 0 07,156 km = m Länge des Seils: m Berechnung des neuen Radius: = π r Seil π r Seil = ,16 Der Radius des Seils ist um 0,16 m = 16 cm länger als der Erdradius. Also beträgt der Abstand des Seils zur Erdoberfläche etwa 16 cm. Eine Katze kann unter dem Seil durchschlüpfen. Hinweis: Wenn man die Ergebnisse in a) und b) vergleicht, stellt man fest, dass die Abstände zwischen beiden Kreislinien gleich sind (16 cm). Allgemein kann man zeigen: Legt man um einen beliebigen Kreis ein Seil, dass um 1 m länger als der Umfang des Kreises ist, dann beträgt der Abstand zwischen Seil und Kreislinie immer 16 cm. 13

4 6 Kreis Schülerbuchseite Kreisfläche Seite 133 Seite 133 Einstieg Die grüne Fläche besteht aus (1 6) = 60 kleinen Quadraten. Je vier kleine Quadrate haben die Fläche von 1 cm. 60 = 15 Die grüne Fläche ist 15 cm groß, also ist die Kreisfläche größer als 15 cm. A Quadrat =,5 A Quadrat = 6,5 cm Ein Viertel der Kreisfläche ist kleiner als A Quadrat. Die gesamte Kreisfläche ist also kleiner als A Quadrat. D. h. die Kreisfläche ist kleiner als r = 5 cm. Mögliche Vermutung: Für den Flächeninhalt der Kreisfläche A gilt: A 3 r bzw. A = π r. Individuelle Lösungen 1 a) Überschlag: Rechnung: A = π r A = π r A 3 3 A = π 3 A 7 cm A = 8,3 cm b) Überschlag: Rechnung: A = π r A = π r A 3 7 A = π 7 A 17 cm A = 153,9 cm c) r = dm Überschlag: Rechnung: A = π r A = π r A 3 A = π A 8 cm A = 50,3 cm d) r = 6 m Überschlag: Rechnung: A = π r A = π r A 3 6 A = π 6 A 108 cm A = 113,1 cm a) A = π r 1,0 = π r π 1,0 π = r r = 1,95 cm d = r = 3,9 cm b) A = π r 63,7 = π r π 63,7 π = r r = 1,1 cm d = r = 8, cm c) A = π r 95,0 = π r π 95,0 π = r r = 5,50 dm d = r = 11,0 dm d) A = π r 18,75 = π r π 18,75 π = r r =, m d = r =,8 m 3 Flugscheibe: r =,3 dm A = π r A = π,3 A = 16,6 dm Strohballen: r = 0,85 m A = π r A = π 0,85 A =,3 m Zitrusfrucht (Schnittfläche): r = 5, cm A = π r A = π 5, A = 8,9 cm Kreisfläche Seiten 13, 135 Seite 13 A a) A = π r A = π 9 A = 5,5 cm b) A = π r,6 A = π ( ) A = 16,6 dm B a) A = π r 7 = π r π 7 π = r,9 = r r =,9 cm b) A = π r 75 = π r π 75 π = r,89 = r r =,89 m; also d = 9,8 m Seite 13, links a) r = cm b) r = 1,5 cm c) r = 1 cm A = π A = π 1,5 A = π 1 A = 1,6 cm A = 7,1 cm A = 3,1 cm 1

5 6 Kreis Schülerbuchseite 13 5 a) b) c) d) r 10 cm 6,77 cm 3,0 cm,50 m A 31, cm 1 cm 8,3 cm 19,6 m u 6,8 cm,5 cm 18,8 cm 15,7 m 6 r 1 cm cm 3 cm cm u 6,3 cm 1,7 cm 18,8 cm 5,1 cm A 3,1 cm 1,7 cm 8,3 cm 50,3 cm r 5 cm 6 cm 7 cm 8 cm u 31, cm 37,7 cm,0 cm 50,3 cm A 78,5 cm 113,1 cm 153,9 cm 01,1 cm Soweit es den Umfang betrifft, hat Yanis recht. Beim Flächeninhalt täuscht er sich. Da müsste die Aussage lauten: Wenn man den Radius verdoppelt, verdreifacht, dann vervierfacht, verneunfacht, sich der Flächeninhalt. 7 a) Die farbige Fläche besteht aus einem größeren Halbkreis und zwei kleineren, gleich großen Halbkreisen. A = A groß + A klein A = π,0 + π,0 A = 37,7 cm b) Die farbige Fläche besteht aus einem größeren Kreis, aus dem zwei gleich große, kleinere Kreise herausgeschnitten wurden. A = A groß A klein A = π,0 π,0 A = 5,13 cm c) Die farbige Fläche besteht aus drei Halbkreisen. Radius des größten Kreises: r = (1,0,0,0) =,0 A = A groß + A mittel + A klein A = π,0 + π,0 + π 1,0 A = 33,0 cm 5 Die Fläche, die der neue Router mindestens abdeckt, ist ein Kreis mit r = 100 m. A neu = π 100 A neu = m Durch die Verstärkung des Funksignals wird eine Fläche von mindestens m abgedeckt. 6 Gesucht ist der Radius des Kreises. 00 = π r π 00 π = r r = 8,0 Die Drohne hat eine Reichweite von 8,0 km. 7 a) 1. Kreis: A 1 = 50 cm 50 = π r 1 50 = r π 1 r 1 =,0 cm. Kreis: A = 100 cm 100 = π r 100 π = r r = 5,6 cm 3. Kreis: A 3 = 150 cm 150 = π r π = r 3 r 3 = 6,9 cm π π π cm 5,6cm 6,9cm Seite 13, rechts a) b) c) d) r 3,8 cm,6 cm 16,55 dm 0,50 m d 7,6 cm 5, cm 33,1 dm 1,01 m A 5, cm 1,1 cm 860,7 dm 0,8 m u 3,9 cm 16,3 cm 10 dm 3, m b) Der Umfang ändert sich proportional zur Länge des Radius. 1. Kreis. Kreis u 1 = π,0 u = π 5,6 u 1 = 5,1 cm u = 35, cm 3. Kreis u 3 = π 6,9 u = 3, cm 15

6 6 Kreis Schülerbuchseite a) Die farbige Figur besteht aus einem größeren Halbkreis (k 1 ), aus dem ein zweiter Halbkreis (k ) mit halb so großem Durchmesser erst ausgeschnitten und dann an einer anderen Stelle hinzugefügt wurde. Vereinfacht gilt: A = A 1 A = π,0 A = 5,1 cm Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus der Länge der halben Kreislinie des Kreises k 1 und zweimal der halben Kreislinie des Kreises k. Vereinfacht gilt: u 1 + u π,0 + π,0 u = 5,1 cm b) Die farbige Figur besteht aus einem Viertelkreis (k 1 ), aus dem ein Halbkreis (k ) ausgeschnitten wurde. A = A 1 A A = π 6,0 π 3,0 A = 1,1 cm Der Umfang der Figur setzt sich zusammen aus dem Radius von k 1, einem Viertel der Kreislinie des Kreises k 1 und der Hälfte der Kreislinie des Kreises k. u = r 1 + u 1 + u u = 6,0 + π 6,0 + π 3,0 u =,8 cm Seite 135, links 8 d = 1, m; also r = 7, m A = π 7, = 16,9 Der Rasensprenger kann eine Fläche von maximal 163 m bewässern. 9 A = π 5 = 198,9 Die Fläche, auf der das Signal empfangen werden kann, beträgt etwa 00 m. 10 a) Die Fläche der bearbeiteten Metallplatte besteht aus einem Quadrat, aus dem ein Kreis ausgeschnitten wurde. A = A Quadrat A Kreis A = 50,0 π,0 A = 979,5 Der Flächeninhalt der bearbeiteten Metallplatte beträgt etwa 979,5 cm. b) Die Fläche der bearbeiteten Metallplatte besteht aus einem Rechteck, aus dem zwei gleich große Kreise ausgeschnitten wurden. A = A Quadrat A Kreis A = 8,0 15,0 π 3,0 A = 10,0 56,5 A = 63,5 Der Flächeninhalt der bearbeiteten Metallplatte beträgt 63,5 cm. 11 a) A = π 18,3 = 105,1 Der Flächeninhalt der Plane beträgt etwa 105 m. b) u = π 18,3 = 11,98 Die Plane hat einen Umfang von 11,98 m. 11,98 30 = 3,8 Der Abstand der Haltepunkte beträgt etwa 3,8 m. 1 Flächeninhalt der Tischplatte: A Platte = 1,0 m Für den Flächeninhalt der Decke gilt: A Decke = A Platte =,0 m. Durchmesser der Decke berechnen:,0 = π r π,0 = r π r = 0,80; also d = 1,6 Der Durchmesser der Decke beträgt 1,6 m. Seite 135, rechts 9 Man berechnet den Flächeninhalt der jeweiligen d Pizza mit A = π ( ) und anschließend den Preis pro cm Pizza. Pizzagröße Flächeninhalt Preis pro cm Classic 83,5 cm 1,76 ct Medium 530,9 cm 1,3 ct Large 706,9 cm 1,56 ct Vergleicht man die Kosten pro cm Pizza, dann stellt man fest, dass die Größe Medium am günstigsten ist. Lino bekommt also am meisten Pizza für sein Geld, wenn er sich für die Größe Medium entscheidet. 10 d = 0 dm; also r = 10 dm A = π 10 = 157 Das Beet ist 157 dm groß = 5,3 Es werden ungefähr 5 Pflanzen benötigt. 16

7 6 Kreis Schülerbuchseite a) u Quadrat = 6,0 A Quadrat = 6,0 u Quadrat =,0 cm A Quadrat = 36,0 cm Damit gilt: u Kreis =,0 cm. Radius des Kreises berechnen: u Kreis = π r,0 = π r π r = 3,8 Flächeninhalt des Kreises: A Kreis = π 3,8 A Kreis = 5,8 cm Der Flächeninhalt des Kreises ist größer als der Flächeninhalt des Quadrats mit demselben Umfang. b) u Dreieck = 3 5,0 u Dreieck = 15,0 cm Damit gilt: u Kreis = 15,0 cm. Radius des Kreises: u Kreis = π r 15,0 = π r π r =,39 cm Flächeninhalt des Kreises: A Kreis = π,39 A Kreis = 17,9 cm Flächeninhalt des Dreiecks: A Dreieck = a h a Die Höhe des Dreiecks wird im rechtwinkligen halben Dreieck mit dem Satz des Pythagoras berechnet. Es gilt: A Dreieck = 5,0 5,0,5 A Dreieck = 10,8 cm Der Flächeninhalt des Kreises ist also größer als der Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks mit demselben Umfang. c) u Sechseck = 6,0 u Sechseck =,0 cm Damit gilt: u Kreis =,0 cm. Radius des Kreises: u Kreis = π r,0 = π r π r = 3,8 cm Flächeninhalt des Kreises: A Kreis = π 3,8 A Kreis = 5,8 cm Den Flächeninhalt des Sechsecks berechnet man als Summe der Flächeninhalte von sechs kongruenten, gleichseitigen Dreiecken mit Seitenlänge a =,0 cm. Die Höhe eines Dreiecks wird im rechtwinkligen halben Dreieck mit dem Satz des Pythagoras berechnet. Es gilt: A Sechseck = 6,0,0,0 A Sechseck = 6,0 3,6 A Sechseck = 1,6 cm Der Flächeninhalt des Kreises ist ebenfalls größer als der Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks mit demselben Umfang. 1 Skizze: 10cm 1,m d Quadrat 1,m 10cm Diagonale der quadratischen Tischplatte berechnen: d Platte = a d Platte = 1, d Platte = 1,70 m Durchmesser d und Radius r der runden Tischdecke berechnen: d = 1,70 + 0,1 = 1,90 d = 1,90 m r = 0,95 m Flächeninhalt der Tischdecke: A Kreis = π 0,95 A Kreis =,8 m Flächeninhalt der Tischplatte: A Platte = 1, A Platte = 1, m Differenz der Flächeninhalte in Prozent: A Decke A Platte,8 1, A = Platte 1, 0,97= 97 % Der Flächeninhalt der Tischdecke ist um etwa 97 % größer als der Flächeninhalt der Tischplatte, ist also etwa doppelt so groß. A Sechseck = 6 a h a 17

8 6 Kreis Schülerbuchseite Man setzt in die schon bekannte Flächeninhaltsformel r = d ein und vereinfacht die entstehende Formel. A = π r d A = π ( ) A = π d A = π d EXTRA: Wir nähern uns π Seiten 136, 137 Seite Näherungen der Zahl π 16 Ahmes ( 9 ) = 3,160 9 Platon + 3 = 3, = 3, = 3,11 59 Archimedes 3 + = 3,1 85 Ptolemäus 3 + Tsu Ch ung Chi Fibonacci = 3,11 81 Vieta 1,8 + 1,8 = 3,11 6 Es ist π = 3, Damit war Tsu Ch ung Chi am nächsten bei der Zahl π. Individuelle Lösungen 3 a) Das Verhältnis von Seitenlänge zu Pyramidenhöhe lautet jeweils: Pyramide von Mykerinos: 103, 65 = 1, Pyramide von Chephren: 15,3 13, = 1, Pyramide von Cheops: 30,3 16,6 = 1,570 9 Die Verhältnisse sind annähernd so groß π wie = 1,57079 b) Die Pyramide von Cheops liegt mit ihren Abmessungen am nächsten bei der Zahl π. a) Individuelle Ausführung b) Formel für die Zelle C3: =A3*B3 Formel für die Zelle D3: =C3/ c) π = 3, Die ersten sechs Dezimalen des Näherungswertes stimmen erst ab dem regelmäßigen 307- Eck mit der Zahl π überein. B fx =B/WURZEL(+WURZEL( B^)) A B C D Seitenlänge Umfang Näherung für p , , , , , , , , , , , , , ,8909 3,1157 0, , , , , , , , , , , , Anzahl Ecken Kreisausschnitt Seiten 138, 139 Seite 138 Einstieg Individuelle Lösungen A ist eine ganze Pizza, Stück B ist ein Viertel einer großen Pizza und Stück C ein Achtel einer noch größeren Pizza (Innenwinkel bei C: 5 ). Flächeninhalte der Pizzastücke: A: ganze Pizza mit d = 3,0 cm; also r = 1,5 cm A = π 1,5 A = 7,1 cm B: eine Viertel Pizza mit r = 3,0 cm A = π 3,0 A = 7,1 cm C: eine Achtel Pizza mit r =,0 cm A = 8 π,0 A = 6,3 cm Mia und Ben haben nicht recht. Stück B ist etwas größer als Stück C. Die Teile A und B sind aber gleich groß. Seite α Bezeichnung b A 90 Viertelkreis 15 cm 71,5 cm 180 Halbkreis 30 cm 13 cm 5 Achtelkreis 7,5 cm 35,75 cm 10 Drittelkreis 0 cm 95,33 cm 7 Fünftelkreis 1 cm 57, cm 70 Dreiviertelkreis 5 cm 1,5 cm a) b = u α b = π 3 0 b =,1 cm 18

9 6 Kreis Schülerbuchseite 139 A S = A Kreis α A S = π 3 0 A S = 3,1 cm b) b = u α b = π,8 66 b = 5,5 cm A S = A Kreis α A S = π,8 66 A S = 13,3 cm c) b = u α b = π 31, 10 b = 57, cm Flächeninhalt A S berechnen: r = d = 15,6 cm A S = A Kreis α A S = π 15,6 10 A S = 6,0 cm c) d = 0,8 dm; also r = 0, dm b = u α 1, = π 0,8 α 1, = π 0,8 α π 0,8 α = 171,9 r = 0,dm 17 M d) d = 15 m; also r = 0,75 m b = u α 0,5 = π 1,5 α 0,5 = π 1,5 α π 1,5 α = 38, Maßstab 1:10 b = 1,dm 3 a) b = u α ,7 = π 6 α 15,7 = π 6 α π 6 α = 19,9 M 38, r = 0,75m b = 0,5m b) b = u α 150 M r = 6cm b = 15,7cm 8,5 = π 7 α 8,5 = π 7 α π 7 α = 69,6 69,6 M r = 7cm b = 8,5cm a) A S = A Kreis α 90 8,6 = π r 8,6 = π r 90 π 90 35,98 = r r = 6,00 cm b) A S = A Kreis α ,8 = π r 18,8 = π r 135 π ,99 = r r =,00 cm α c) A S = A Kreis = π r 300 = π r 100 π ,77 = r r = 18,5 dm α d) A S = A Kreis ,9 = π r 106,9 = π r 50 π 50 9,00 = r r = 7,0 m 19

10 6 Kreis Schülerbuchseite A a) b = π r α A S = π r α b = π,5 75 A S = π,5 b = 3,3 cm A S =,1 cm b) b = π r α A S = b r b = π 3,5 50 A S = 3,1 3,5 b = 3,1 cm A S = 5, cm B a) b = π r α 5,1 = π α ( π ) α 0,0 = 7 = α α = 7 b) A S = π r α 10 = π r = π r 3 π 3 11,6 = r 10,7 = r r = 10,7 cm Seite 139, links 75 5 a) So kann man geschickt rechnen: Man überlegt sich, welcher Anteil des Kreises jeweils gegeben ist. Mittelpunktswinkel α Anteil am Kreis Bogenlänge b (in cm) = = = = = 0 b) So kann man geschickt rechnen: α = 10 : A S ist 36 von A Kreis ; also A S = cm. Alle weiteren Mittelpunktswinkel sind Vielfache von α = 10. Es gilt: α = 30 : 3-mal so groß, also A S = 6 cm. α = 0 : -mal so groß, also A S = 8 cm. α = 60 : 6-mal so groß, also A S = 1 cm. α = 0 : -mal so groß, also A S = 8 cm. Seite 139, rechts 5 r α b A S a) 7, cm 3 5, cm 19,5 cm b) 3,3 cm 11 6,5 cm 10,8 cm c) 5,0 cm 5,1,0 cm 55 cm d) 19,9 m 7 9,3 m 93 m e) 0,5 cm 6,0,9 dm 3,7 dm f) 13,0 cm 108,5,6 cm 160 cm g) 9,3 mm 9 7 mm 689, mm 3 Kreisausschnitt Seite 10 Seite 10, links 3 6 a) 5 min = h; also ist α = 70. b = π 13, 70 = 6, Die Spitze des Minutenzeigers legt in 5 Minuten 6, cm zurück. 3 b) 1 = ; also ist α = 90. A S = π 8 90 = 50,3 Der Stundenzeiger überstreicht in 3 Stunden eine Fläche von 50,3 cm. 7 a) Die Figur besteht aus einem Halbkreis mit Radius r = cm aus dem ein kleinerer Halbkreis (mit Radius r = 1 cm) herausgeschnitten und an anderer Stelle hinzugefügt wurde. Um den Flächeninhalt geschickt zu bestimmen, berechnet man den Flächeninhalt eines Halbkreises mit r = cm. A S = π A S = π A S = 6,3 cm Für den Umfang addiert man einen halben Kreisumfang mit r = cm und einen Kreisumfang mit r = 1 cm. u = π + π 1 u = π u = 1,7 cm b) Um den Flächeninhalt geschickt zu bestimmen, berechnet man den Flächeninhalt eines Halbkreises mit r = cm und zieht davon den Flächeninhalt eines ganzen Kreises mit r = 1 cm ab. A = π π 1 A = π π A = 3,1 cm 150

11 6 Kreis Schülerbuchseite 10 Um den Umfang geschickt zu bestimmen, addiert man einen halben Kreisumfang mit r = cm und einen ganzen Kreisumfang mit r = 1 cm. u = π + π 1 u = π u = 1,7 cm 8 a) Flächeninhalt des Beets: A S = π 1,7 10 A S = 3,0 m Anzahl der Pflanzen: 3,0 0, = 15 Es werden 15 Pflanzen benötigt. b) Radius der Sitzgelegenheit: r = 1,70 m + 0,30 m =,0 m Flächeninhalt Beet + Sitzfläche: A S = π,0 10 =, Flächeninhalt Sitzfläche:, 3,0 = 1, Der Flächeninhalt der Sitzfläche beträgt 1, m. 9 a) Der Flächeninhalt der Fläche, die das Wischerblatt überstreicht, berechnet man als Differenz der Flächeninhalte zweier Kreisausschnitte. A = A S A 1 S A = π (10 + 0) 175 π = 3665, Die Fläche, die das Wischerblatt überstreicht, ist 3665, cm groß. Seite 10, rechts 6 a) äußerer Radius: r 1 = 600 mm + 70 mm = 870 mm = 87 cm innerer Radius: r = 70 mm = 7 cm Flächeninhalt berechnen: A = A S A 1 S A = π π 7 80 = 775, Die Fläche, die das Wischerblatt auf der Fahrerseite überstreicht, ist etwa 775 cm groß. b) Individuelle Schätzungen, zum Beispiel: Die Fläche, die das zweite Wischerblatt überstreicht, ist etwas kleiner (denn das Wischerblatt ist um 10 cm kürzer), daher beträgt die Gesamtfläche ca cm = 0,8 m. Es werden ca. 80 % der Windschutzscheibe überstrichen. Flächeninhalt Aʹ, der vom. Wischerblatt überstrichen wird: 80 Aʹ = π ( r 1 ʹ ) π ( r ʹ 80 ) Aʹ = 3979, cm Gesamtfläche, die überstrichen wird: A gesamt = A + Aʹ A gesamt = 775, , A gesamt = 875,6 cm = 0,875 m 0,875 1 = 87,5 % Von beiden Wischerblättern werden etwa 87,5 % der Windschutzscheibe überstrichen. 7 a) Radius des Kreises, den der Minutenzeiger überstreicht: r = m 5 m = 17 m 5 Winkel des Kreisausschnitts: α = = 30 Bogenlänge berechnen: b = π = 8,9 Die Spitze des Minutenzeigers legt in 5 Minuten 8,9 m zurück. b) Radius des Kreises, den der Stundenzeiger beschreibt: r = 17 m 5 m = 1 m Für den Stundenzeiger besteht ein voller Kreis aus insgesamt 1 60 = 70 Minuten. Winkel des Kreisausschnitts: 5 α = 60 1 =,5 Flächeninhalt berechnen: A S = π 1,5 = 3,1 Die Fläche, welche der Stundenzeiger in 5 Minuten überstreicht, ist 3,1 m groß. 8 a) Es muss gelten b = r; damit erhält man durch Einsetzen in die Formel b = π r α 360 : r = π r α 360 r 1 = π α 360 = π α π α = 57,3 Für den Mittelpunktswinkel α = 57,3 ist der Kreisbogen gleich lang wie der Radius des Kreises. b) Es muss gelten b = r bzw. b = r. Einsetzen von b = r in die Formel: r = π r α r = π α = π α π α = 11,6 Entsprechend erhält man für b = r: α = 8,6. Hinweis: Da die Bogenlänge proportional zum Mittelpunktswinkel wächst, ist es nicht notwendig, alles neu zu berechnen. Man kann den Mittelpunktswinkel für b = r bzw. b = r mithilfe des Ergebnisses aus a) angeben

12 6 Kreis Schülerbuchseite 10 1 c) Einsetzen von b = π r in die Formel: π r = π r α π r 1 = α = α α = 180 Für α = 180 ist der Kreisbogen π-mal so lang wie der Radius. Zusammengesetzte Figuren Seite 11 Seite 11 Einstieg Gold: Kreis mit Radius r = 1 cm; Platin: Kreisausschnitt mit Radius r = cm und Mittelpunktswinkel α = 90 ; aus dem ein Kreis mit Radius r = 1 cm ausgeschnitten wurde. Silber: Stück, das bleibt, wenn man von einem Quadrat mit Seitenlänge a = cm den Kreisausschnitt mit Radius r = cm und α = 90 ausschneidet. Flächeninhalt Gold (Kreis): A Gold = π 1 A Gold = 3,1 cm Flächeninhalt Platin: A Platin = A S A Gold A Platin = π 90 A Gold A Platin = 1,57 3,1 A Platin = 9, cm Flächeninhalt Silber: A Silber = A Quadrat A S A Silber = 1,57 A Silber = 3,3 cm Die Anteile der Edelmetalle betragen damit: 3,1 Gold: 16 19,6 % 9, Platin: 16 59,0 % 3,3 Silber: 16 1, % 1 a) Die Figur besteht aus zwei Quadraten mit Seitenlänge a =,0 cm und aus zwei gleich großen Kreisausschnitten mit Radius r =,0 cm und Mittelpunktswinkel α = 90. A = A Quadrat + A S A = + π 90 A = 1,3 cm b) Die Figur besteht aus einem Rechteck, aus dem zwei gleich große Halbkreise (also ein ganzer Kreis) herausgeschnitten wurden. A = A Rechteck A Kreis A = 7,5 5,0 π,5 A = 37,50 19,63 A = 17,9 cm c) Die Figur besteht aus einem Trapez, aus dem ein Halbkreis herausgeschnitten wurde, und einem größeren Halbkreis. A = A Trapez A Halbkreis1 + A Halbkreis 6 + A = 3 π + π 3 A = 15 6,8 + 1,1 A =,9 cm Zusammengesetzte Figuren Seiten 1, 13 Seite 1 a) Das Teildreieck ist gleichschenklig, daher ist die dritte Seite, die auch Durchmesser des Kreises ist, ebenfalls 5,0 cm lang. u = 5,0 + 6, + u Halbkreis u = 5,0 + 6, + π 5,0 u = 19,3 cm b) Der Durchmesser des Kreises d wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet. d = 6,0 + 8,0 d = 10,0 cm Umfang u berechnen: u = 6,0 + 8,0 + u Halbkreis u = 6,0 + 8,0 + π 10,0 u = 9,7 cm c) Die fehlende Seite des Dreiecks wird mit dem Satz des Pythagoras berechnet. c =,0 + 5,5 c = 6,80 cm Umfang u berechnen: u = 5,5 + 6,8 + b +,0 u = 5,5 + 6,8 + π, ,0 u = 1, cm 3 a) Flächeninhalt A bestimmen: A = A Quadrat 3 A Viertelkreis A = 3 π A = 6,6 cm 15

13 6 Kreis Schülerbuchseite 1 Umfang u bestimmen: u = a + 3 b Viertelkreis u = + 3 π u = 13, cm b) Flächeninhalt A bestimmen: A = 3 A Viertkreis + A Quadrat A Viertelkreis A = A Viertkreis + A Quadrat A = π + A = 10,3 cm Umfang u bestimmen: Viertelkreise ergeben einen vollen Kreis. u = π u = 1,6 cm c) Flächeninhalt A bestimmen: Die zwei oberen Teile der Figur bzw. die zwei unteren Teile ergänzen sich jeweils zu einem Quadrat mit Seitenlänge a. A = ( a ) A = A = 8 cm Umfang u bestimmen: Viertelkreise ergeben einen vollen Kreis. u = π u = 1,6 cm A r = 3 cm A = A Quadrat A Halbkreis A = a π r A = 6 π 3 A = 1,9 cm B d = 5,8 + 5,8 d = 5,8 + 5,8 d = 8,0 cm r =,10 cm A = A Dreieck + A Halbkreis A = ab + π r A = 5,8 5,8 + π,1 A = 3, cm u = a + h + π r u = 5,8 + 5,8 + π,1 u =,5 cm Seite 1, links a) A = A Kreis A Rechteck Den Durchmesser d des Kreises berechnet man mit dem Satz des Pythagoras. d = 3,0 +,0 d = 5,0 cm Also ist r =,5 cm. Damit erhält man: A = π,5 3,0,0 A = 7,6 cm b) A = A Kreis A Quadrat Den Durchmesser d des Kreises berechnet man mit dem Satz des Pythagoras. d =,6 +,6 d = 6,5 cm Also ist r = 3,5 cm. Damit erhält man: A = π 3,5,6 A = 1,0 cm 5 a) Die Figur kann in ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck und einen Halbkreis zerlegt werden. Da das Dreieck gleichschenklig ist (Winkel 90 ; 5 ; 5 ), ist der Radius des Halbkreises,0 cm lang. Flächeninhalt bestimmen: A = A Dreieck + A Halbkreis A = + π A = 33,1 cm Hypotenuse des Dreiecks c bestimmen: c =,0 +,0 c = 5,66 cm Umfang bestimmen: u = + 5, π u = 6, cm b) 5,0 6,0 6,0,8 x c x a Die Figur besteht aus einem Trapez und einen Halbkreis. Bestimmen der Seitenlänge a des Trapezes: x = 6,8 x = 6,0,8 x = 3,6 cm Damit erhält man: a = 5,0 + 3,6 a = 1, cm Flächeninhalt bestimmen: A = A Trapez + A Halbkreis 1, + 5,0 A =,8 + π,5 A = 51,1 cm 153

14 6 Kreis Schülerbuchseite 1 13 Umfang bestimmen: u = a + b + π r + d u = 1, + 6,0 + π,5 + 6,0 u = 3,1 cm Seite 1, rechts a) Aus dem Kreis wurde ein Rechteck entfernt. Die Diagonale d des Rechtecks ist der Durchmesser des Kreises (Satz des Thales). Seitenlänge b berechnen: b = 7 5,6 b =, cm Flächeninhalt berechnen: A = A Kreis A Rechteck A = π r a b A = π 3,5 5,6, A = 15,0 cm b) Aus dem Kreis wurde ein Quadrat entfernt. Die Diagonale des Quadrats ist der Durchmesser des Kreises (Satz des Thales). Seitenlänge a berechnen: d = a + a d = a d = a 7 a = a =,95 cm Flächeninhalt berechnen: A = A Kreis A Quadrat A = π 3,5,95 A = 1,0 cm 5 a) Die Figur kann in ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck und einen Kreisausschnitt mit dem Mittelpunktswinkel α zerlegt werden. Bestimmen des Radius r: r = + r = 5,66 cm Für den Winkel α gilt: α = = 135. Flächeninhalt berechnen: A = A Dreieck + A S A = + π 5, A = 5,7 cm b) Die Figur kann in zwei kongruente Trapeze und einen Viertelkreis zerlegt werden. 6,0 r 6,0 1,0 6,0 1,0 Bestimmen des Radius r: r = r = 8,9 cm Flächeninhalt berechnen: A = A Trapez + A Kreis A = π 8,9 A = 16,5 cm Seite 13, links 6 a) Umfang der Figur (1): u 1 = A Viertekreis + d + r u 1 = ( π d )+ d + d u 1 = π d + d Umfang der Figur (): u = A Halbkreis + a u = π d + a u = π d + a Es gilt d = a + a bzw. d = a ; es ist also d > a. Damit ist auch u 1 > u. Die Figur () hat also den kleineren Umfang. b) Individuelle Lösungen 7 A Grundstück = 0 15 A Grundstück = 300 m Flächeninhalt des Beckens: A Becken = π A Becken = 1,6 m Flächeninhalt der Terrasse: A Terrasse = A Quadrat A Becken A Terrasse = 8 π A Terrasse = 51, m Berechnen der Flächenanteile: A Becken 1,6 Becken: A = Grundstück 300 =, % A Terrasse 51, Terrasse: A = Grundstück 300 = 17,1 % 15

15 6 Kreis Schülerbuchseite 13 8 Radius innerer Kreis: r i = 1,5 m Radius äußerer Kreis: r a = 1,5 m + 0,5 m =,0 m Flächeninhalt der Beetfläche: A Beet = A Kreis außen A Kreis innen A Beet = π π 1,5 = 5,50 Die Beetfläche ist 5,50 m groß. b) Gesucht ist der Umfang u a des äußeren Kreises. u a = π = 1,6 Der Eisenring hat eine Länge von 1,6 m. Seite 13, rechts 6 a) Die farbige Fläche kann in zwei gleich große Halbkreise und ein Kreissegment zerlegt werden. Das Kreissegment erhält man, wenn man vom dazugehörigen Kreisausschnitt (Viertelkreis) das innen liegende gleichschenklige Dreieck abzieht. a r a Radius Halbkreis: a = cm Radius Viertelkreis: r = + r = 5,66 cm A = A Halbkreis + A Viertelkreis A Dreieck A = π + π 5, A = 53,7 cm b) Die farbige Fläche erhält man, wenn man zum Halbkreis mit Radius a = cm das gleichschenklig, rechtwinklige Dreieck mit Hypotenuse a = 8 cm und den Katheten r hinzu addiert und von der gesamten Fläche den Kreisausschnitt (Viertelkreis) mit Radius r wieder abzieht. a a r Den Radius r des Viertelkreises berechnet man mit dem Satz des Pythagoras. Es ist r = 5,66 cm (vgl. Teilaufgabe a)). A = A Halbkreis + A Dreieck A Viertelkreis A = π + 8 π 5,66 A = 16,0 cm 7 a) Den Durchmesser des Halbkreises bestimmt man mit dem Satz des Pythagoras. d = 9 +9 d = 16 d r = = 6,36 cm Flächeninhalt berechnen: A = A Halbkreis + A Quadrat A Viertelkreis A = π 6, π 9 A = 0,5 cm Umfang berechnen: u = u Halbkreis + u Viertelkreis u = π 6,36 + π 9 u = 3,1 cm b) Für die Höhe h a im gleichseitigen Dreieck gilt: h = 8 a h a = 8 h a = 6,93 cm Flächeninhalt berechnen: A = A S A Dreieck A = π ,93 A = 11,6 cm Umfang berechnen: u = π u = 3,6 cm 8 a d a Carmens Behauptung ist richtig. Man führt die Berechnung für eines der Möndchen durch: A Möndchen = A Halbkreis + A Quadrat A Viertelkreis Dabei sind: a Radius Halbkreis = ; d Radius Viertelkreis = (d Diagonale) Für die Diagonale d des Quadrats gilt: d = a d = a 155

16 6 Kreis Schülerbuchseite Man erhält also: A Möndchen = a π ( ) + a π d ( ) A Möndchen = a π ( ) + a π a ( A Möndchen = a π + a π a A Möndchen = π a 8 + a π a 8 ) A Möndchen = a Ein Möndchen ist also genauso so groß wie ein Viertel des Quadrats. Daraus folgt, dass der Flächeninhalt aller vier Möndchen genauso groß ist wie der Flächeninhalt des ganzen Quadrats. rote Zone blaue Zone a) 17,0 = π d π b) 0,7 = π d π d = 5, cm d = 0, dm r =,7 cm r = 0,1 dm c) 133 = π r π d) 18,1 = π r π 133 π = r 18,1 π = r r = 6,50 cm r = 5,76 m d = 13,0 cm d = 11,5 m 3 r d A u a),0 cm 8,0 cm 50,3 cm 5,1 cm b) 5,0 cm 10,0 cm 78,5 cm 31, cm c) 8,0 cm 16,0 cm 00,0 cm 50,3 cm d) 0,5 dm 0,90 dm 0,6 dm,83 dm e),5 m 9,0 m 63,5 m 8,3 m 1m 3,5m gelbe Zone 7m 1m 10m Stufe 1: 150 = π r π 150 π = r r = 6,9 m d = 13,8 m Stufe : 300 = π r π 300 π = r r = 9,77 m d = 19,5 m 10m A Matte = 100 m Flächeninhalte der einzelnen Farbflächen: A Gelb = π 3,5 A Gelb = 38,5 m A Rot = π (3,5 + 1) π 3,5 A Rot = 5,1 m A Blau = 100 π,5 A Blau = 36, m Anteile der drei Zonen in Prozent: gelbe Zone: A Gelb 38,5 A = Matte 100 = 38,5 % rote Zone: A Rot 5,1 A = Matte 100 = 5,1 % blaue Zone: A Blau 36, A = Matte 100 = 36, % Basistraining Seite 15 Seite 15 1 a) A = π 3,6 b) A = π 6, A = 0,7 cm A = 18,7 dm c) r = 7,5 mm d) r = 8,9 m A = π 7,5 A = π 8,9 A = 176,7 mm A = 8,8 m 5 Strecke s, die Marie mit 5 Radumdrehungen zurücklegt: s = 5 u Marie s = 5 π 0,6 s = 3188,7 cm x: Anzahl der Umdrehungen des Rads von Simon, um die gleiche Strecke s zu erreichen s = x u Simon 3188,7 = x π 50,8 π 50,8 x = 0,0 Um die gleiche Weglänge zu erreichen, benötigt Simon etwa 0 Umdrehungen. 6 a) u Kreis1 + u Kreis + u Kreis3 + 1 π 1 + π 3 + π 1,5 + 1 u = 13,6 cm 3 b) A = A Kreis1 A Kreis 3 A = π π 0,5 A = 8,6 cm 7 r α b A S a) 1, cm 5 13, cm 95,0 cm b) 8,9 cm 85 13, cm 8,8 cm c) 1,6 cm 5 11, cm 7 cm d) 9,1 cm 11 18, m 83 m 156

17 6 Kreis Schülerbuchseite a) r =,5 cm Der Radius r 1 ist halb so lang wie die Diagonale d des Quadrats. d = d = 7,07 cm r 1 = 3,5 cm r 1 b) A = A Kreis1 A Kreis A = π 3,5 π,5 A = 19,7 cm 5cm 9 a) Quadrat mit a = 5,0 cm; Viertelkreis mit r = 5,0 cm Flächeninhalt berechnen: A = A Quadrat A Viertelkreis A = 5 π 5 A = 5, cm Umfang berechnen: u = 5 + π 5 u = 13,9 cm b) Parallelogramm: a =,0 cm; b = 6,0 cm; h a =,6 cm Kreisausschnitte: r =,0 cm; α = 50 Flächeninhalt berechnen: A = A Parallelogramm A S A =,0,6 π,0 50 A =, cm Umfang berechnen: u = (6,0,0)+ π,0 50 u = 11,0 cm r Radius des Rundwegs berechnen: 188,3 = π r π r = 30,0 Der Radius des Rundwegs beträgt etwa 30,0 m, sein Umfang etwa 188,3 m. 11 a) Die Faustformel lautet: u = d % d 3 bzw. u = 3 d + 0,05 3 d Durchmesser d Umfang Faustformel Umfang u = π d (1) 10 cm 31,5 cm 31, cm () dm 1,6 dm 1,6 dm (3) 300 mm 95 mm 9,5 mm () 5,0 m 15,75 m 15,71 m b) Vereinfachen der Faustformel ergibt: u = 3 d + 0,05 3 d u = 3 d + 0,15 d u = 3,15 d Man rechnet also mit dem Näherungswert π 3,15. 1 Es gilt d 1 = 6 cm; also ist r 1 = 3 cm. Der größere konzentrische Kreis hat den Radius r. Damit der Kreisring den gleichen Flächeninhalt wie der erste Kreis hat, muss gelten: A Kreis1 = A Kreisring A Kreis1 = A Kreis A Kreis1 π 3 = π r π 3 π 3 = r = r r =, Der größere konzentrische Kreis hat einen Radius von, cm. 13 Dicke der Rindenschicht (in cm): x Skizze: d = 60cm Anwenden. Nachdenken Seiten 16, 17 Seite 16 r 1 = 30 x r = 30cm x 10 s = 118 u Rad s = 118 π 50,8 = 18 83,0 Nach 118 Radumdrehungen hat Claudia cm = 188,3 m zurückgelegt. Diese Strecke entspricht dem Umfang des Rundwegs. Für den Flächeninhalt der Rinde gilt: A Rinde = A Stamm A Kreis innen (1) 157

18 6 Kreis Schülerbuchseite Zudem weiß man: A Rinde = 0,06 A Stamm () Aus (1) und () erhält man: 0,06 A Stamm = A Stamm A Kreis innen 0,06 π 30 = π 30 π (30 x) π 0,06 30 = 30 (30 x) 0,06 30 = 30 (30 60 x + x ) 5 = 60 x x + x 60 x x 60 x + 5 = 0 Lösungsformel x 1, = ± ( ) 5 x 1, = 30 ± 9,09 x 1 = 59,09; x = 0,91 Der Rindenschicht ist also 0,91 cm 9 mm dick. 1 a) u = π 61 = 191,6 In einer Gondel legt man bei einer vollen Umdrehung des Riesenrads 191,6 m zurück. b) 191,6 0, s = min 15 s = min Für eine Umdrehung ohne Halt braucht das Riesenrad min. 15 a) Durchmesser eines Basketballs: 7 = π d 1 π 7 = π d π d 1 =,9 cm d = 3,6 cm Der Durchmesser eines Basketballs liegt zwischen,9 cm und 3,6 cm. Abstand zwischen Balloberfläche und Ring bei d 1 : (5,9) = 11,05 bei d : (5 3,6) = 10,7 Der Abstand zwischen Balloberfläche und Ring, wenn man genau in die Mitte des Korbs wirft, beträgt zwischen 10,7 cm und 11,1 cm. 16 Flächeninhalt der kleinsten Fläche, die bewässert werden kann: Kreisausschnitt mit r = 5 m; α = 5 A klein = π 5 5 = 5,5 Flächeninhalt der größten Fläche, die bewässert werden kann: Kreis mit r = 1,5 m A groß = π 1,5 = 90,9 Die kleinste Fläche, die bewässert werden kann, ist 5,5 m groß, die größte Fläche 90,9 m groß. Die maximale Flächenangabe stimmt also, die minimale Flächenangabe ist falsch. Hinweis: Die minimale Flächenangabe entspricht in etwa dem Flächeninhalt eines vollen Kreises mit Radius r = 5 m. Seite a) 1) Die rote Linie besteht aus vier Halbkreisen mit Radius r = a = 3,0 cm; was dem Umfang von zwei vollen Kreisen entspricht. u = π r u = π 3,0 u = 37,7 cm ) Der größere Viertelkreis hat den Radius r 1 = a = 6,0 cm; der kleinere Viertelkreis hat den Radius r = a = 3,0 cm. u = u Viertelkreis1 + u Viertelkreis + a π r 1 + π r + a π 6 + π u = 0,1 cm 3) Die rote Linie besteht aus den Umfängen von zwei Dreiviertelkreisen und von zwei Viertelkreisen. Die Radien von allen Teilkreisen sind gleich groß (r = a = 3,0 cm). Vereinfacht sind das zwei volle Kreisumfänge. u = π r u = π 3 u = 37,7 cm ) Die rote Linie besteht aus den Umfängen von zwei gleich großen Halbkreisen, was einem vollen Kreis entspricht (mit r 1 = a = 3 cm), einem größeren Halbkreis (mit r = 1,5 a =,5 cm) und einer Strecke der Länge 3 a. u = π r 1 + π r + 3 a u = π 3 + π, u =,0 cm b) Man verwendet die Formeln aus Teilaufgabe a) und vereinfacht sie. 1) u = π r Es ist r = a; daher erhält man: u = π a u = π a ) π r 1 + π r + a Es ist r 1 = a und r = a; daher erhält man: π ( a) + π a + a π a + π a + a u = π a + π a + a 3 π a + a 3) u = π r (mit r = a) u = π a u = π a 158

19 6 Kreis Schülerbuchseite 17 ) u = π r 1 + π r + 3 a Es ist r 1 = a und r = 1,5 a; daher erhält man: u = π a + π 1,5 a + 3 a u = π a + 1,5 π a + 3 a u = 3,5 π a + 3 a 18 a) und b) a 16 cm 16 a 5 Umfang bestimmen Der Umfang der Figur kann in folgende Teillinien zerlegt werden: den Umfang eines Halbkreises (unten), zweimal den Umfang eines Kreisausschnitts (mit α = 5 ) und den Umfang eines Viertelkreises (oben). u groß + b + u klein π r 1 + π r 5 + π r 3 (1) Bestimmen der Radien: großer Halbkreis: r 1 = 8 cm Kreisausschnitte: r = 16 cm kleiner Viertelkreis: r 3 = 16 a Für die Kathete a des Geodreiecks gilt: a = 16 a = 56 a = 18 a = 11,31 Also ist r 3 = 16 cm 11,31 cm =,69 cm Einsetzen in (1) ergibt: π 8 + π π,69 u = 57,6 cm Flächeninhalt bestimmen A = A groß + A S A Geodreieck + A klein Hinweis: Addiert man die Flächeninhalte von beiden 5 -Sektoren, dann hat man die gemeinsame Fläche (das Geodreieck) doppelt berechnet; daher muss man den Flächeninhalt des Geodreiecks wieder abziehen. A = π 8 + π π,69 A = 100, , ,8 A = 5,9 cm 19 Die Flächeninhalte gibt man in Abhängigkeit von r an. Quadrat: A Quadrat = ( r) = r Kreis: A Kreis = π r Dreieck: A Dreieck = r r = r Vergleich der Flächeninhalte der Figuren: A Dreieck r A = = 0,5 Quadrat A Kreis r π r A = Quadrat r = π 0,8 A Kreis π r A = Dreieck r = π 1,6 Der Flächeninhalt des Dreiecks ist halb so groß wie der Flächeninhalt des Quadrats. Der Flächeninhalt des Kreises liegt dazwischen: Er beträgt etwa 80 % des Flächeninhalts des Quadrats und etwa 160 % des Flächeninhalts des Dreiecks. 0 a) 1 Stunden = s = 3 00 s Länge u der Umlaufbahn: u = ,9 = Die Umlaufbahn ist km lang. b) Umlaufbahn Satellit Erde r r + x Gesucht ist die Länge x. Radius der Erde: r = 6360 km Für den Umfang der Umlaufbahn gilt: u = π (r + x) = π ( x) π 6 81, = x 6360 x = 0 5, Der mittlere Abstand des Satelliten von der Erdoberfläche beträgt etwa 0 50 km. x 159

20 6 Kreis Schülerbuchseite 17 1 Mögliche Lösung: Größe des Arbeiters auf dem Bild: 1,80 cm Größe der Iris: ca. 3,0 cm Größe der Pupille: 0,8 cm Wenn der Arbeiter 1,80 m groß ist, dann ist der Maßstab Damit erhält man: Durchmesser Iris: d Iris = 3,0 m Durchmesser Pupille: d Pupille = 0,8 m Berechnen der Flächeninhalte: A Iris = π r Iris A Pupille = π r Pupille A Iris = π 1,5 A Pupille = π 0, A Iris = 7,07 A Pupille = 0,50 Anteil der Pupille an der Iris: A Pupille 0,50 A = Iris 7,07 0,7 Der Anteil der Iris an der Pupille beträgt unter 10 %. Hinweis: Der Teil der Iris oberhalb der Pupille ist nicht sichtbar. Da aber keine Verzerrungen in der Senkrechten zu erwarten sind, rechnet man oberhalb der Pupille mit einer ähnlichen Länge wie unterhalb. Das Ergebnis von 7 % ist allerdings nur ein Richtwert, daher wird es auf etwa 10 % gerundet. a) Den Flächeninhalt der beiden Möndchen kann man wie folgt berechnen: Man addiert die Flächeninhalte der beiden kleineren Halbkreise (mit den Durchmessern a und b) und den Flächeninhalt des Dreiecks und subtrahiert den Flächeninhalt des größeren Halbkreises mit Durchmesser c. A Möndchen = A Kreis1 + A Kreis + A Dreieck A Kreis3 Für die Radien der Kreise gilt: a 1. Kreis: r = ;. Kreis: r = b ; 3. Kreis: r = c Man erhält also: A Möndchen = a π ( ) + b π ( ) + a b π c ( ) A Möndchen = π a + b π + a b π c A Möndchen = 8 π a + 8 π b + a b 8 π c A Möndchen = 8 π (a + b c ) + a b Das Dreieck ist rechtwinklig, daher gilt nach dem Satz des Pythagoras: a + b = c c a + b c = 0 Durch Einsetzen in die Formel für den Flächeninhalt der Möndchen erhält man: A Möndchen = a b A Möndchen = A Dreieck Der Flächeninhalt der beiden Möndchen ist genauso groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks. 160