1 Grundwissen Pyramide

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1 1 Grundwissen Pyramide 1 Definition und Volumen der Pyramide Eine Pyramide ist ein geradlinig begrenzter Körper im R 3. Dabei wird ein Punkt S außerhalb der Ebene eines Polygons (Vieleck) mit den Ecken des Polygons verbunden. Als Beispiel dient die folgende Pyramide, die über einem Quadrat errichtet wurde: Zur Bestimmung der Oberfläche einer Pyramide benötigt man zwei Größen: Die Größe der Grundfläche G Die Höhe h der Pyramide. Als Grundfläche wird diejenige Außenfläche der Pyramide bezeichnet, auf der die Höhe der Pyramide senkrecht steht. Das Volumen berechnet sich dann über die Formel Das Volumen einer Pyramide: V = 1 3 G h Musteraufgabe zur Volumenbestimmung Gesucht ist das Volumen einer geraden Pyramide, deren Grundfläche ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basislänge 8 cm und der Schenkellänge 6 cm ist. Die Höhe der Pyramide ist 9 cm c by Markus Baur using L A TEX Seite: 1

2 Lösung der Aufgabe Die Lösung der Aufgabe zerfällt in zwei Arbeitsschritte: Schritt 1: Bestimmung des Flächeninhalt der Grundfläche Zunächst muss man die Höhe des Dreiecks auf bestimmen, die auf der Basis senkrecht steht. Man setzt zur Lösung mit dem Hauptsatz des Pythagoras an: ( c ) h d + = b h d + (4 cm) = (6 cm) h d + 16 cm = 36 cm h d = 0 cm h d = 0 cm h d = 4,47 cm Damit kann man nun mit der Flächenformel für ein Dreieck den Flächeninhalt der Grundfläche bestimmen: G = 1 4,47 cm 8 cm Schritt : Anwendung der Volumenformel G = 17,88 cm V = ,88 cm 9 cm V = 53,64 cm 3 c by Markus Baur using L A TEX Seite:

3 3 Das Netz einer Pyramide Trennt man die Pyramide an den Kanten auf und klappt die Seitenflächen der Pyramide in die Ebene der Grundfläche, so entsteht ein zweidimensionales Faltmodell der Pyramide. Dieses wird in der Fachsprache als Netz einer Pyramide bezeichnet. Beispiel Konstruiere das Netz einer geraden Pyramide, deren Grundfläche ein reguläres 5- Eck ist mit dem Umkreisradius 3 cm und die Höhe der Pyramide ist 6 cm Konstruktive Lösung Konstruktion des Netzes c by Markus Baur using L A TEX Seite: 3

4 Benötigte Hilfskonstruktion Konstruktionsanleitung 1. Konstruiere das reguläre Fünfeck. Da es sich um eine gerade Pyramide handelt ist A der Fußpunkt der Höhe. A ist gleichzeitig der Mittelpunkt der Grundfläche G.. Um das Netz konstruieren zu können benötigt man die Höhe der Seitenflächen. Diese kann man in einer Hilfskonstruktion über den Satz des Pythagoras ermitteln: a) Miss mit dem Zirkel den Abstand von A zu dem Mittelpunkt einer Seitenkante der Grundfläche. Übertrage ihn auf eine waagrechte Gerade. Dadurch ergeben sich in der Hilfsfigur die Punkte G und H. b) Errichte das Lot l auf dem Punkt G. c) Zeichne einen Kreis mit Mittelpunkt G und Radius r = 6 cm. Dadurch ergibt sich der Punkt I. d) Die gesuchte Höhe der Seitenfläche ist IH. 3. Errichte auf den Seitenkanten der Grundfläche G die Lot durch deren Mittelpunkt. 4. Zeichne um jeden Mittelpunkt einen Kreis mit Radius r = IH c by Markus Baur using L A TEX Seite: 4

5 4 Grundwissenaufgaben zur Pyramide Aufgaben Bei einer Pyramide wird die Kantenlänge der quadratischen Grundfläche verdoppelt. Wie ändert sich dabei das Volumen? 1. Das Volumen verdoppelt sich. Das Volumen verdreifacht sich 3. Das Volumen vervierfacht sich Lösungen Richtige Antwort: Das Volumen vervierfacht sich. 1. Berechnung der Grundfläche: ( s h g = s ) h g = s 3 Eine Pyramide hat eine Grundfläche eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge 6 cm. Die Höhe beträgt 9 cm Berechne das Volumen der Pyramide. h g = 4,33 cm G = 1 sh g G = 10,85 cm. Anwendung der Volumenformel V = 1 3 Gh V = 30,75 cm 3 1. Berechne die Höhe eine Seitenfläche über den Satz von Pythagoras: ( s h s = h + ) Eine gleichseitige Pyramide hat eine quadratische Grundfläche mit der Kantenlänge 6 cm. Die Höhe der Pyramide ist 4 cm. Berechne die Oberfläche der Pyramide. h s = = 5 cm. Berechnung einer Seitenfläche A s = 1 gh s = 15 cm 3. Berechnung der Oberfläche: O = G + 4A s O = 36 cm cm = 96 cm c by Markus Baur using L A TEX Seite: 5