Seite 3/4 Körper skizzieren 1 a) b)
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- Kasimir Böhme
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1 Seite 3/4 Körper skizzieren 1 a) b) 2 a) b) (0/1 2) Der rot markierte Bereich ist fraglich und kann alle drei Varianten erfüllen. LoesungenGeometrie-Dossier 9 - Würfel und Quader A. Räz / Seite 1
2 Seite 5 Schnittflächen einzeichnen (Lösungen sind verkleinert gezeichnet) 1 a) PD sind in der gleichen Fläche (Hinterfläche) PQ sind in der gleichen Fläche (Deckfläche) PQ parallel durch D verschieben (D liegt in Grundfläche, also ist die Schnittkante parallel zu derjenigen in der Deckfläche) Dann vervollständigen b) PQ sind in der gleichen Fläche (Deckfläche) PD sind in der gleichen Fläche (rechte Seitenfläche) PQ parallel durch D verschieben (D liegt in Grundfläche, also ist die Schnittkante parallel zu derjenigen in der Deckfläche) Es entsteht der Punkt R. Nun PD parallel durch R (linke / rechte Seitenfläche haben parallele Schnittkanten) Es entsteht der Punkt S Dann vervollständigen c) QB sind in der gleichen Fläche (Vorderfläche) PQ sind in der gleichen Fläche (Deckfläche) PQ parallel durch B verschieben (B liegt in Grundfläche, also ist die Schnittkante parallel zu derjenigen in der Deckfläche) Dann vervollständigen d) QB sind in der gleichen Fläche (Vorderfläche) PQ sind in der gleichen Fläche (Deckfläche) PQ parallel durch B verschieben (B liegt in Grundfläche, also ist die Schnittkante parallel zu derjenigen in der Deckfläche) Dann vervollständigen e) PQ verbinden (gleiche Seitenfläche) und parallel durch R verschieben (parallele Seiten haben parallele Schnittkanten) Es entsteht der Punkt S QR parallel durch S verschieben (parallele Seiten haben parallele Schnittkanten) Es entsteht der Punkt T PQ parallel durch T verschieben (parallele Seiten haben parallele Schnittkanten) Es entsteht der Punkt U vervollständigen LoesungenGeometrie-Dossier 9 - Würfel und Quader A. Räz / Seite 2
3 Seite 5 Schnittflächen einzeichnen (Lösungen sind verkleinert gezeichnet) f) PQ verbinden (gleiche Seitenfläche) und parallel durch R verschieben (parallele Seiten haben parallele Schnittkanten) Es entsteht der Punkt S PS parallel durch Q verschieben (parallele Seiten haben parallele Schnittkanten) Es entstehen die Punkte T, V PQ parallel durch T und V verschieben (parallele Seiten haben parallele Schnittkanten) Es entstehen die Punkte W, U vervollständigen 1 a) Länge a Breite b Seite 10 Aufgaben Berechnungen in Quader und Würfel Höhe h Oberfläche Volumen a) 2 cm 4 cm 9 cm 124cm 2 72 cm 3 b) cm cm 3 c) 3 cm 4 cm 108cm 2 72 cm 3 d) 2. 4 cm 98cm 2 60 cm 3 e) f) 150 cm 2 (Würfel) 125cm (Würfel) 216cm 3 Berechnungen: a) V = a b c = = 8 9 = 72 cm 3 S= 2 (a b + a c + b c) = 2 ( )= 2 ( )= 2 62 = 124cm 2 b) h = V:(a b) = V:G = 100 : (5 8) = 100 : 40 = 2. S= 2 (a b + a c + b c) = 2 ( )= 2 ( )= = 145cm 2 c) b = V : ( h a) = 72 : (3 4) = 72 : 12 = S= 2 (a b + a c + b c) = 2 ( )= 2 ( )= 2 54 = 108cm 2 d) a = V : ( h b) = 72 : (6 4) = 60 : 24 = 2. S= 2 (a b + a c + b c) = 2 ( )= 2 ( )= 2 49 = 98cm 2 e) Im Würfel sind alle drei Kantenlängen gleich. Also ist die Oberfläche = 6 Seitenfläche. Die Seitenfläche ist dabei Kante Kante = a a = a 2. Somit Seitenfläche = S : 6 = 150 : 6 = 2 2 Nun fragen wir: Welche Zahl mal sich selber gibt 25? 5 5 = 25. Somit ist die Kantenlänge a = 5cm V = a a a = = 25 5 = 12 3 f) Gleiche Überlegung wie oben: Seitenfläche = S : 6 = 216 : 6 = 3 2 Nun fragen wir: Welche Zahl mal sich selber gibt 36? 6 6 = 36. Somit ist die Kantenlänge a = 6cm V = a a a = 6 6 6= 36 5 = 21 3 LoesungenGeometrie-Dossier 9 - Würfel und Quader A. Räz / Seite 3
4 2 a) Volumen: 4 cm Seite 10 Aufgaben Berechnungen in Quader und Würfel Volumen: Der Quader wird in zwei Teilquader zerlegt. Diese können einfach berechnet werden. Grüner Teilquader (rechts) : V grün = = cm 3 roter Teilquader (links): V rot = = 192 cm 3 Volumen Körper = V grün + V rot = = 312 cm 3 3cm von oben / unten: von vorne / hinten: von links /rechts 4 cm 4 cm 3cm 5cm 3cm ( = 2+6) Fläche von oben / unten: 2 ( ) = 2 39 = 7 2 Fläche von vorne / hinten: 2 ( ) = 2 56 = 112 cm 2 Fläche von links / rechts: 2 (8 8) = 2 64 = 12 2 Totale Oberfläche = = 31 2 b) 7 cm 4 cm von oben / unten: von vorne / hinten: von links /rechts Innenseiten: (unten nur grün) (hinten nur grün) li/re vo/hi 7 cm 4cm 4cm 7 cm - 4 cm Volumen: Vom ganzen Quader wird der kleine Quader weggenommen. Grosser Quader (links) : V gross = = 420 cm 3 Kleiner Teilquader (rechts): V klein = = 80 cm 3 Volumen Körper = V gross V klein = = 340 cm 3 Fläche von oben / unten: 2 (6 7) = 2 42 = 84 cm 2 Fläche von vorne / hinten: 2 (10 6) = 2 60 = 120 cm 2 Fläche von links / rechts: 2 (10 7) = 2 70 = 140 cm 2 Fläche innen links / rechts: 2 (4 5) = 2 20 = 40 cm 2 Fläche innen vorne / hinten: 2 (4 5) = 2 20 = 40 cm 2 Totale Oberfläche = = 424 cm 2 LoesungenGeometrie-Dossier 9 - Würfel und Quader A. Räz / Seite 4
5 2 c) Lösungen Geometrie-Dossier 9 - Würfel und Quader Seite 11 Aufgaben Berechnungen in Quader und Würfel von oben / unten: von vorne / hinten: von links /rechts Innenseiten: (unten nur grün) (hinten nur grün) 7 cm li/re 7 cm 7 cm - 4 cm 1 cm 1 cm 8cm (10 2) Volumen: Vom ganzen Quader wird der kleine Quader weggenommen. Grosser Quader (links) : V gross = = 420 cm 3 Kleiner Teilquader (rechts): V klein = = 32 cm 3 Volumen Körper = V gross V klein = = 38 3 Fläche von oben / unten: 2 (6 10) = 2 60 = 120 cm 2 Fläche von vorne / hinten: 2 (7 6) = 2 42 = 84 cm 2 Fläche von links / rechts: 2 (10 7) = 2 70 = 140 cm 2 Fläche innen links / rechts: 2 (1 8) = 2 8 = 1 2 Totale Oberfläche = = 360 cm 2 c) 9 cm (6+3) + 4 cm (9-5 2 cm Volumen: Vom grünen Quader nimmt man unten zwei kleine Quader weg (gelb, grün). Dann setzt man den roten Quader noch oben drauf.. Grosser Quader (links) : V grün = = 31 3 Kleiner Teilquader (unten li): V blau = = 3 Kleiner Teilquader (unten re): V gelb = = 3 3 Zusatz Teilquader (oben): V rot = = 40 cm 3 7 cm (5+2) - 2 cm 1 cm 3 cm von oben / unten ist die jeweils gleich grosse Fläche zu sehen von links / rechts ist jeweils eine gleich grosse Fläche zu sehen von oben / unten ist ebenfalls jeweils eine gleichgrosse Fläche zu sehen. Die Abgeschnittenen Quader machen für die Oberfläche keine Veränderung aus, denn die entsprechenden Oberflächenanteile entsprechen dem herausgeschnittenen Teil. Lediglich die vordere / hintere und linke / rechte Seite des roten Quaders muss addiert werden. - 2 cm 4 cm Volumen Körper = V grün V blau V gelb + V rot = = 311 cm 3 Fläche von oben / unten: 2 (9 5) = 2 45 = 90 cm 2 Fläche von vorne / hinten: 2 (7 5) = 2 35 = 70 cm 2 Fläche von links / rechts: 2 (7 9) = 2 63 = 126cm 2 Fläche von rot links / rechts: 2 (2 4) = 2 8 = 1 2 Fläche von rot vorne / hinten: 2 (2 5) = 2 10 = 20 cm 2 Totale Oberfläche = =322 cm 2 LoesungenGeometrie-Dossier 9 - Würfel und Quader A. Räz / Seite 5
6 50 cm 7 Lösungen Geometrie-Dossier 9 - Würfel und Quader 3 a) 20 cm Seite 11 Aufgaben Berechnungen in Quader und Würfel Der kleine Quader hat ein Volumen von = cm 3. Der Teil, welcher im Wasser steht, hat ein Volumen von = 30000cm 3 b) 100 cm 30 cm 50 cm Somit fehlen cm 3, wenn man den Quader aus der Wanne entfernt. Die Bodenfläche der Wanne ist = 5000 cm 2 Dies entspricht einer Höhe von : 5000 = (Weil V = G h h = V : G) Der Wasserspiegel sinkt um 6cm. Legt man den Quader ins Wasser, so müssen zusätzliche cm 3 in die Wanne. Dies entspricht bei der gegebenen Grundfläche von 5000cm 2 einer Höhe von: h = V : G = : 5000 = 3 cm. (weil V = G h h = V : G) Die Wanne ist um 3cm zu tief. Seiten 13 / 14 Konstruktion von Flächen und Strecken in wahrer Form und Grösse (Lösungen sind verkleinert gezeichnet) 1 a) Zuerst das Quadrat (Deckfläche oder Grundfläche) zeichnen, damit man die Länge der Strecke EG konstruieren kann. Danach senkrecht zu EG die Würfelkante abtragen und vervollständigen. Die Seitenlängen des Würfels für die Konstruktion können mit dem Zirkel vom Raumbild übernommen werden (von der Vorderfläche!) b) M1 Zuerst konstruieren wir die Vorderfläche (Quadrat) Danach bestimmen wir die Seitenmitten M2 (Mitte von EF) und M3 (Mitte von BF). M2 M4 Anschliessend Senkrechte zu M2M3 mit Würfelkantenlänge abtragen und vervollständigen. M3 Die Seitenlängen des Würfels für die Konstruktion sind gegeben. c) Zuerst konstruieren wir die Vorderfläche (Quadrat) M2 Danach bestimmen wir die Seitenmitte M1 (Mitte von BF) Anschliessend Senkrechte zu M1E mit Würfelkantenlänge abtragen und vervollständigen. M1 Die Seitenlängen des Würfels für die Konstruktion sind gegeben. LoesungenGeometrie-Dossier 9 - Würfel und Quader A. Räz / Seite 6
7 Seiten 13 / 14 Konstruktion von Flächen und Strecken in wahrer Form und Grösse (Lösungen sind verkleinert gezeichnet) d) Zuerst konstruieren wir die Seitenfläche BCGF in wahrer Grösse. Danach verbinden wir GB und legen eine Senkrechte dazu. Abtragen der Quaderlänge AB von B aus auf der Senkrechten und vervollständigen. Die Seitenlängen des Quaders für die Konstruktion sind gegeben. 3 a) e) Zuerst konstruieren wir die Deckfläche (Quadrat) (oder Grundfläche) Danach tragen wir den gegebenen 1cm von H und von F aus ab so finden wir R und Q. Anschliessend Senkrechte zu RQ mit Würfelkantenlänge abtragen und vervollständigen. Die Seitenlängen des Würfels für die Konstruktion sind gegeben. Seiten 15 / 16 Konstruktion von Flächen und Strecken in wahrer Form und Grösse (Lösungen sind verkleinert gezeichnet) Zuerst betten wir die gesuchte Strecke in eine passende Ebene ein (Hier BPGC). Diese Ebene konstruieren und dann die gesuchte Strecke einzeichnen. b) Zuerst betten wir die gesuchte Strecke in eine passende Ebene ein (Hier ABGH). Diese Ebene konstruieren, die Strecke AH halbieren (=M) und dann die gesuchte Strecke einzeichnen. LoesungenGeometrie-Dossier 9 - Würfel und Quader A. Räz / Seite 7
8 Seiten 15 / 16 Konstruktion von Flächen und Strecken in wahrer Form und Grösse (Lösungen sind verkleinert c) gezeichnet) Zuerst betten wir die gesuchte Strecke in eine passende Ebene ein (Hier z.b. EAPQ). Diese Ebene konstruieren, die Strecke PQ halbieren (=M) und dann die gesuchte Strecke einzeichnen. d) Zuerst betten wir die gesuchte Strecke in eine passende Ebene ein (Hier z.b. M1M2M3M4). Diese Ebene konstruieren und dann die gesuchte Strecke einzeichnen. LoesungenGeometrie-Dossier 9 - Würfel und Quader A. Räz / Seite 8
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