24 Volumen und Oberfläche eines Quaders

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1 52 24 Volumen und Oberfläche eines Quaders Das Volumen (V) eines Quaders berechnet man, indem man Länge (a), Breite (b) und Höhe (c) miteinander multipliziert, also: V = a b c. Die Oberfläche (O) eines Quaders setzt sich aus den 6 rechteckigen Seitenflächen zusammen. Da dabei jede Flächengröße zweimal vorkommt, gilt: O = 2 a b + 2 a c + 2 b c. V = 24 cm 3 a = 3 cm b = 2 cm c = 4 cm Für den oben abgebildeten Quader erhält man: V = 3 cm 2 cm 4 cm = 24 cm 3 und O = 2 3 cm 2 cm cm 4 cm cm 4 cm = 2 6 cm cm cm 2 = 52 cm 2 Spezialfall: Für einen Würfel (alle Kantenlängen sind gleich lang, also a = b = c), gilt V = a a a = a 3 und O = 6 a 2. Für einen Würfel mit einer Kantenlänge von 3 cm ergibt sich demnach: V = 3 cm 3 cm 3 cm = 27 cm 3 und O = 6 9 cm 2 = 54 cm Berechne Volumen und Oberfläche eines Quaders mit den gegebenen Kantenlängen. a) b) c) d) e) f) Länge a 6 cm 4 dm 2 cm 8 cm 40 mm 2 m 1 Breite b 3 cm 8 dm 30 mm 2,5 dm 7 dm 12 dm Höhe c 10 dm 50 mm 1 m 2dm Volumen V Oberfläche O

2 53 2. Berechne die fehlenden Größen des Quaders. a) b) c) d) Länge a 12 cm 0, Breite b 20 cm 4 dm 20 mm Höhe c 3 cm 5 dm 10 mm Volumen V 72 cm 3 80 dm 3 2 hl Oberfläche O 1000 mm 2 3. a) Gib die Seitenlängen von mindestens fünf verschiedenen Quadern an, die alle ein Volumen von 120 m 3 haben. b) Welches Volumen hat ein Würfel mit einer Oberfläche von 600 m 2? c) Welche Oberfläche hat ein Würfel, dessen Volumen 27 dm 3 beträgt? 4. Famile Hölscher hat ein Schwimmbad im Garten errichtet. Es ist 10 m lang, 3 m breit und 2 m tief. a) Die Innenwände des Beckens müssen gestrichen werden. Wie viel Farbe wird benötigt, wenn ein Kilogramm für 2 m 2 ausreicht? b) Wie viel Liter Wasser muss man in das Becken füllen, wenn es bis 30 cm unterhalb der Oberkante gefüllt werden soll? 5. Berechne Oberfläche und Volumen der beiden Körper. Zerlege sie dazu in geeignete Quader. a) 3dm b) 6m 3dm 2m 5m 2m 3m 4dm 6dm 4dm 6dm 9m 9m

3 54 25 Rechnen mit Längen, Flächen und Volumina Beim Rechnen mit unterschiedlichen Größenangaben müssen die Einheiten sorgfältig voneinander unterschieden werden. Zudem muss man beachten, dass immer nur gleiche Einheiten miteinander verrechnet werden dürfen. In einen Würfel mit einer Kantenlänge von 5 m werden 1000 hl Wasser eingefüllt. Wie hoch steht die Flüssigkeit in dem Würfel und wie groß ist die Fläche, die innen vom Wasser bedeckt wird? Lösung Das eingefüllte Wasser hat ein Volumen von 1000 hl = l = dm 3 = 100 m 3. Der Würfel hat eine Bodenfläche von 5 m 5 m = 25 m 2. Um auf ein Volumen von 100 m 3 zu kommen, muss die Flüssigkeit also 100 m 3 : 25 m 2 = 4 m hoch stehen. Von der Flüssigkeit bedeckt sind dann neben dem Boden mit 25 m 2 Fläche die vier Seitenflächen bis zu einer Höhe von 4 m. Diese Flächen sind jeweils 4 m 5 m = 20 m 2 groß. Damit erhält man eine Gesamtfläche von 25 m m 2 = 105 m 2. Verkleinere bei Bedarf die Einheiten, damit du mit ganzen Zahlen rechnen kannst. 1. Frau Remmy hat eine neue 2-Zimmer-Wohnung mit dem abgebildeten Grundriss gemietet. 4,5m 3,5m a) Wie groß ist die gesamte Wohnfläche? 2,5m Bad Küche b) Wie viel Quadratmeter Teppich Wohnen müssen in Wohnzimmer, Diele Diele und Schlafzimmer verlegt Schlafen werden? c) Wie viel Meter Fußleiste werden dabei benötigt, wenn eine Zimmertür 80 cm und die Wohnungstür 1 m breit ist? d) Wie viel Kubikmeter Luft muss die Heizung erwärmen, wenn die Räume der Wohnung 25 dm hoch sind und Frau Remmy das Schlafzimmer unbeheizt lässt. 5m 4,5m 3,5m

4 107 zu Seite e) 27 m 3 12 cm m cm dm 3 = cm cm cm 3 = cm 3 = ,329 dm 3 = 67, m 3 f) 5,6 m 3 3,2 hl dm 3 = 5600 dm dm dm 3 = 6780 dm 3 = 67,8 hl = 6,78 m 3 5. Auch hier solltest du für einen Vergleich auf die gleiche Einheit umrechnen. a) 3303 m 3 = dm 3 ; hl = dm 3 ; dm 3 ; l = dm l < 3303 m 3 < dm 3 < hl b) 9870 l; dm 3 = l; 90,09 hl = 9009 l; 98,7 m 3 = l 90,09 hl < 9870 l < dm 3 < 98,7 m 3 6. a) 1 m 3 = cm 3 1 m 3 Styropor wiegt also bereits g = 100 kg. Dazu benötigt man schon zwei kräftige Männer! 1 m 3 Kork wiegt 300 kg, ein solches Gewicht ist ohne Hilfsmittel nicht nicht mehr zu bewältigen. b) 1 m 3 entsprechen g = 5000 kg = 5 t. Damit ist ein Pkw bereits überfordert. Selbst 1 m 3 Holz mit 900 kg ist bereits zuviel. 1 m 3 Gold mit einem Gewicht von 19,3 t könnte kein Geldtransporter transportieren, da benötigt man schon einen größeren Lkw. 24 Volumen und Oberfläche eines Quaders 52/53 1. Achte darauf, zunächst die Einheiten anzugleichen, wenn es erforderlich ist. In den drei ersten Reihen findest du hier bereits die umgerechneten Einheien. Denke zudem daran, dass die Oberfläche eine quadratische (hoch 2) und das Volumen eine kubische (hoch 3) Einheit hat. Länge a a) b) c) d) e) f) 6 cm 4 dm 2 cm 8 cm 4 cm 21,5 dm Breite b 3 cm 8 dm 3 cm 2 70 cm 12 dm Höhe c 10 dm 12 dm Volumen V 90 cm dm 3 30 cm cm cm dm 3 Oberfläche O 126 cm dm 2 62 cm cm cm dm 2

5 zu Seite Wenn du das Volumen eines Quaders kennst, kannst du die fehlende Seitenlänge errechnen, indem du die gegebenen Seitenlängen multiplizierst und das Volumen durch dieses Produkt dividierst. Die Berechnung der dritten Seitenlänge bei gegebener Oberfläche ist eine schwierige Aufgabe. Setze am besten die gegebenen Seitenlängen in die Formel ein und errechne alle möglichen Produkte. Versuche dann eine dritte Seitenlänge zu finden, die zu der gegebenen Oberfläche führt. Denke auch hier wieder an das vorherige Umrechnen der Einheiten. In dieser Tabelle ist dies an den notwendigen Stellen bereits durchgeführt. a) b) c) d) Länge a 12 cm 8 dm 0, 10 mm Breite b 2 cm 20 cm 4 dm 20 mm Höhe c 3 cm 5 dm 10 dm 10 mm Volumen V 72 cm 3 80 dm 3 2 hl 2000 mm 3 Oberfläche O 132 cm 132 dm dm mm 2 3. a) Die Tabelle zeigt einige mögliche Quader mit dem gesuchten Volumen. Länge 1 m 1 m 1 m 1 m 2 m 3 m 2 m Breite 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 4 m 6 m Höhe 120 m 60 m 40 m 30 m 12 m 10 m 10 m Voumen 120 m m m m m 3 b) Die Fläche einer Würfelfläche beträgt ein Sechstel der Gesamtoberfläche, also 100 m 2. Die Seitenlänge eines solchen Quadrates beträgt 10 m, da 10 m 10 m = 100 m 2. Damit lässt sich nun das Volumen berechnen: V = 10 m 10 m 10 m = 1000 m 3 c) Das Volumen eines Würfels berechnet man durch dreimaliges Multiplizieren der Seitenlänge. Dafür kommt nur eine Seitenlänge von 3 dm in Frage, da 3 dm 3 dm 3 dm = 27 dm 3. Die Oberfläche eines solchen Würfels beträgt dann 6 3 dm 3 dm = 54 dm a) Die Innenwände bestehen aus fünf Flächen, nämlich den vier Seitenwänden, von denen je zwei identisch sind, und dem Boden. kurze Seitenwände: 2 2 m 3 m = 12 m 2 lange Seitenwände: 2 2 m 10 m = 40 m 2 Bodenfläche: 3 m 10 m = 30 m 2 Für die Gesamtfläche von 82 m 2 werden 41 kg Farbe benötigt. b) Die Höhe des Quaders beträgt jetzt nicht mehr 2 m, sondern nur noch 1 m 70 cm. Die Bodenfläche bleibt gleich. Für eine Volumenangabe in Litern ist die Umrechnung in dm 3 sinnvoll. Man erhält folgendes Volumen: V = 30 dm 100 dm 17 dm = dm 3 = l

6 109 zu Seite 5. Den ersten Körper zerlegst du für die Volumenbestimmung am einfachsten in den hinteren hohen Quader und zwei angelegte niedrige Quader. Das Volumen des zweiten Körper berechnest du besonders leicht, wenn du zunächst das Volumen ohne die Aussparung errechnest und dann das Volumen der Aussparung davon abziehst. Bei den Oberflächen sind beim ersten Körper neun Flächen sichtbar. Sie kommen jedoch alle nochmal vor: die waagerechten Flächen beim nicht sichtbaren Boden, die rechten Seitenflächen auf der linken Seite und die vorderen Seitenflächen auf der Rückseite des Körpers. Daher muss der Flächeninhalt der sichtbaren Flächen für die Gesamtoberfläche verdoppelt werden. Die Oberfläche des zweiten Körpers setzt sich aus insgesamt zehn Flächen zusammen, von denen ebenfalls einige doppelt vorkommen. a) V = 6 dm 6 dm 7 dm + 4 dm 6 dm 4 dm + 3 dm 6 dm 4 dm = 420 dm 3 O = (6 dm 6 dm + 3 dm 6 dm + 3 dm 6 dm + 4 dm 6 dm + 3 dm 6 dm + 4 dm 6 dm + 4 dm 4 dm + 3 dm 4 dm + 4 dm 6 dm) 2 = 380 dm 2 b) V = (9 m 9 m 5 m) ( 4 m 6 m 2 m) = 405 m 3 48 m 3 = 357 m 3 Boden: 9 m 9 m = 81 m 2 ; rechte + linke Seite: 2 9 m 5 m = 90 m 2 Rückseite: 9 m 5 m = 45 m 2 ; Front: 45 m 2 4 m 2 m = 37 m 2 Deckel: 81 m 2 4 m 6 m = 57 m 2 ; Boden innen: 4 m 6 m = 24 m 2 Seiten innen: 2 2 m 6 m = 24 m2; Rückwand innen: 2 m 4 m = 8 m 2 Summe ergibt die Gesamtoberfläche O = 366 m 2 25 Rechnen mit Längen, Flächen und Volumina 54/55 1. a) Längsseite: 4,5 m + 3,5 m + 5 m = 13 m Querseite: 4,5 m + 3,5 m = 8 m Wohnfläche: 8 m 13 m = 104 m 2 b) Wohnzimmer: 8 m 4,5 m = 18 m 2 Diele: 5,5 m 3,5 m = 55 dm 35 dm = 1925 dm 2 = 19,25 m 2 Schlafzimmer: 3,5 m 5 m = 17,5 m 2 Gesamtfläche des Teppichbodens: 54,75 m 2 c) Wohnzimmer: 2 4,5 m m 80 cm = 24 m 20 cm Diele: 2 3,5 m + 2 5,5 m 4 80 cm 1 m = 13 m 80 cm Schlafzimmer: 2 3,5 m m 80 cm = 16 m 20 cm Gesamtlänge der Fußleisten: 54 m 20 cm d) Das Schlafzimmer hat eine Grundfläche von 3,5 m 5 m = 17,5 m 2. Die Wohnung ohne das Schlafzimmer hat also eine Gesamtfläche von 104 m 2 17,5 m 2 = 86,5 m 2 = 8650 dm 2 Multiplizierst du nun mit der Raumhöhe, so erhälst du das Volumen der Wohnung ohne Schlafzimmer: 8650 dm 2 25 dm = dm 3 Die Heizung muss also 216,25 m 3 Luft erwärmen.