Flächeninhalt bestimmen bedeutet : Möglichst vielen Figuren F (Maß-)Zahl A(F) zuordnen. Kapitel 8: Der Flächeninhalt

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1 EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS 03 1 EISSLER Kapitel 8: er Flächeninhalt Flächeninhalt einer Figur soll etwas über deren Größe aussagen Flächeninhaltsbegriff intuitiv irgendwie klar, ab der Grundschule durch uslegen von Figuren mit Plättchen vorbereitet. bgrenzung gegenüber einem anderen egriff von Größe, dem Umfang einer Figur. efinitionen des Flächeninhaltsbegriffs werden immer mehr verfeinert, durch den Messprozess festgelegt. Welchen Figuren sind Sie bereit, einen Flächeninhalt zuzusprechen? Wie sollte der definiert und gemessen werden? EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS 03 2 EISSLER Flächeninhalt bestimmen bedeutet : Möglichst vielen Figuren F (Maß-)Zahl (F) zuordnen. Eigenschaften dieser Zuordnung: (F) 0 für alle Figuren F, (F 1 F 2 ) = (F 1 )+(F 2 ) F 1 F 2 =, (F) = (F ) F kongruent zu F, (Q e ) = 1 Q e beliebig gewähltes Einheitsquadrat Theorie solcher Messprozesse in der Mathematik! Maßtheorie, Teilgebiet der nalysis Hier nur die in der Schulmathematik wichtigen Figuren behandelt, an einigen eispielen angewandt, statt den Flächeninhalt zu definieren beschreibt man den Messprozess. EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS 03 3 EISSLER 8.1 Flächeninhalt als Größe Im lltagsgebrauch keine Figuren mit Flächeninhalt 0 akzeptiert (z.. einzelne Punkte, Strecken) Ohne diese Flächen bilden die Flächeninhalte einen so genannten Größenbereich (! Vorlesung über Größenbereiche). In einem Größenbereich G sind ddition + und Kleiner-Relation < erklärt: a + b = b + a Kommutativgesetz (a + b) + c = a + (b + c) ssoziativgesetz entweder a < b oder b < a oder a = b Trichotomie a < b es gibt ein c G mit a + c = b eingeschränktes Lösbarkeitsgesetz EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS 03 4 EISSLER 8.2 er Messprozess Physikalisches Modell: Figuren sind aus homogenem Material gleicher icke ausgeschnitten. Figuren haben gleichen Flächeninhalt wenn sie gleiches Gewicht haben. Flächeninhalt von Figuren experimentell vergleichen: Figuren aus geeignetem Material herstellen und Gewicht vergleichen. Flächenmaßzahlen zuordnen durch Vergleichen mit dem Gewicht von Einheitsquadraten.

2 EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS 03 5 EISSLER EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS 03 6 EISSLER Mathematische Flächeninhaltsbegriffe uslegen einer Fläche mit zueinander deckungsgleichen Figuren und nzahlbestimmung ( z.. Inhaltsformel für Rechtecke, für die Schule geeignet und gebräuchlich). 7 Quadrate im Streifen Grenzen des Messprozesses durch uslegen: - Theoretisch problematisch bei Rechtecken mit Seiten, die zu denen des Einheitsquadrates inkommensurabel sind, - Vergleich beliebiger reiecke, - krummlinig begrenzte Figuren. Passt vielleicht nie genau 3 Streifen 3 7 Einheitsquadrate egriffe Zerlegungsgleichheit und Ergänzungsgleichheit von Figuren. Grenzprozesse durch nnäherung komplizierter Flächen durch einfachere ( z.. Kreisfläche). EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS 03 7 EISSLER Zerlegungsgleich - ergänzungsgleich efinition Zwei Figuren sind zerlegungsgleich wenn sie sich in paarweise kongruente Figuren zerlegen lassen. Zerlegungsgleiche Figuren sind inhaltsgleich eispiel: Flächeninhalt des Parallelogramms EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS 03 8 EISSLER efinition Zwei Figuren sind ergänzungsgleich wenn sie durch Ergänzung mit kongruenten Figuren zu kongruenten (i.. zerlegungsgleichen) Figuren ergänzt werden können. Ergänzungsgleiche Figuren sind inhaltsgleich eispiel: Pythagoras-Legebeweis b² c² a² as Parallelogramm und das Rechteck sind zerlegungsgleich. ie weißen Flächen sind ergänzungsgleich, denn sie können durch Ergänzung mit den vier paarweise kongruenten reiecken zu kongruenten Figuren (hier den Quadraten) ergänzt werden.

3 EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS 03 9 EISSLER EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER Satz vom Ergänzungsparallelogramm H C nwendung Gegeben ist ein Rechteck GE (hellrot). E F P er Satz Gegeben ist das Parallelogramm C und ein Punkt P auf der iagonalen d=c. urch P sind Parallelen zu den Seiten des Parallelogramms gezeichnet. adurch entstehen zwei Parallelogramme EPH (gelb) und FGP (hellrot). Zeigen Sie, dass diese Parallelogramme den gleichen Flächeninhalt besitzen. Zeigen Sie, dass auch die Parallelogramme FH und GE den gleichen Flächeninhalt besitzen. d G Es soll ein dazu flächengleiches Rechteck mit einer vorgegebenen Seite konstruiert werden. H h1 C E Konstruktion: h 1 Parallele durch zu durch, h 2 Parallele durch zu durch, C Schnittpunkt von h 1 und h 2, P Schnittpunkt von C mit GE, h 3 Parallele zu durch P, H Schnittpunkt von h 3 mit C. F Schnittpunkt von h 3 mit. FH ist das gesuchte Rechteck. E h3 P F h2 G EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER Pythagoras-Zerlegungsbeweis Ein eweis des Kathetensatzes Wie ist wohl das karierte Parallelogramm konstruiert worden? b C a Wenn als Grundseite des Parallelogramms betrachtet wird, wie lang ist dann die zugehörige Höhe? q c Was ist der Flächeninhalt des Parallelogramms? Für die Schule als Puzzle geeignet, wenn man die Einteilung des Kathetenquadrats vorgibt. as Parallelogramm wird so um gedreht, dass auf C fällt. Um wie viel Grad? Welcher Zusammenhang besteht mit dem Flächeninhalt des grünen Rechtecks?

4 EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER reiecksformeln und ihre geometrische eutung Flächeninhalt von n-ecken h g = gh 2 g = h 2 h = g 2 Flächeninhalt? Zerlegen in reiecke, reiecksflächen berechnen! Verschiedene Herleitungen führen zunächst zu verschiedenen Formen der Flächeninhaltsformeln! Termumformungen EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER as Prinzip von Cavalieri ( ) Satz von Cavalieri im Raum Sind zwei Körper gleich hoch und ist in jeder Höhe die Schnittfläche bei beiden Körpern gleich groß, so haben die Körper dasselbe Volumen EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER Satz Cavalieri in der Ebene Kann man eine Gerade g so zeichnen, dass jede Parallele zu dieser Geraden aus zwei Flächen stets zueinander gleichlange Strecken ausschneidet, so haben die Flächen denselben Inhalt. h x g! reiecke mit gleicher Grundseite und gleicher Höhe haben den gleichen Flächeninhalt (Strahlensatz).

5 EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER Grenzprozesse eispiel: Flächeninhalt des Kreises Ganz beliebige Figur Gitterpapier drüber legen... Flächeninhalt? I 1 U 1 Kästchen im Inneren zählen und addieren! I 1 Ein- und umbeschriebenes Sechseck Einbeschriebenes Sechseck und Zwölfeck nnäherung durch einbeschriebene und umbeschriebene regelmäßige n-ecke. Für n nähern sich deren Flächeninhalte von unten bzw. oben einem gemeinsamen Wert. iesen Wert definiert man als den Flächeninhalt des Kreises. Kästchen außen zählen und addieren! U 1 EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER I 1 I 2 U 2 U 1 Kästchenlänge halbieren... Kästchen im Inneren zählen und addieren! I 2 Falls I n und U n sich dem gleichen Wert nähern, dann ist das der Flächeninhalt der Figur. I 1 I 2 I 4 U 4 U 2 U 1 Kästchenlänge nochmals halbieren... Kästchen im Inneren zählen und addieren! I 4 Kästchen außen zählen und addieren! U 2 Kästchenaußen zählen und addieren! U 4 Intervallschachtelung für

6 EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER Quadratur des Kreises: Ein altes griechisches Problem Konstruiere mit Zirkel und Lineal zu einem Kreis mit gegebenen Radius ein flächengleiches Quadrat. eweis für die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises erst um 1870 gelungen (F.Lindemann)! Leonardo da Vinci: Studie zu den Proportionen am idealen menschlichen Körper. Quadraturproblem implizit dargestellt? Kreis durch die Fingerspitzen der waagerecht ausgestreckten rme und durch den zentralen großen Zeh. Fast gleicher Flächeninhalt wie das Quadrat aus Körperhöhe und reite der ausgestreckten rme. EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER Phänomena 1984 in Zürich Esoterischer utor : er Mensch ist die Lösung des Unlösbaren! Quadratur des Kreises Winkeldrittelung Würfelverdoppelung (elisches Problem) Flächeninhalt der blauen Fläche?

7 EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER Problematische Figuren: Fraktale EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS EISSLER Problematische Figuren: Fraktale Flächeninhalt der blauen Fläche? Flächeninhalt?