Schriftliche Ausarbeitung des Referats

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1 Pädagogische Hochschule Ludwigsburg Jochen Weber/Sven Tittel 5. Semester /. Semester WS 00 / 00 Schriftliche Ausarbeitung des Referats im Rahmen des Fachdidaktischen Hauptseminars: Raumgeometrie und Funktionen unter der Leitung von Herrn Wölpert, Frau Vogel und Frau Bescherer. Referatsthema: Lernbereich / Fach: Satz von Cavalieri Mathematik Datum: Zeit: vorgelegt von: 4.5 Uhr Uhr Sven Tittel und Jochen Weber

2 Inhalt. Kurzbiographie von Francesco Bonaventura Cavalieri...3. Vorstellung des Satzes von Cavalieri Beweisführung Anschauliche Begründung mit Hilfe von Bierdeckeln Anschauliche Begründung mit Computerprogramm Euklid Mathematischer Beweis am Beispiel Pyramide / Kegel Anwendungsbeispiele Spezialfall: Berechnung des Volumens einer Pyramide Vorbetrachtung Nach Zerlegung eines Würfels in 6 kongruente Pyramiden Nach Zerlegung eines dreiseitigen Prismas in 3 Pyramiden Bestimmung des Kugelvolumens mit Hilfe des Satzes von Cavalieri...

3 . Kurzbiographie von Francesco Bonaventura Cavalieri Cavalieri wurde 598 in Mailand geboren. Er war ein italienischer Mathematiker und Astronom. Er war ein Schüler Galileis und Jesuit. Ab 69 war Cavalieri Professor in Bologna. 635 schrieb er sein Hauptwerk Geometria indivisiblibus continuorum nova quadam ratione promota, in dem er auch das Cavalierische Prinzip erläuterte. Das Cavalierische Prinzip war schon Archimedes bekannt, was sich in der Bestimmung des Kugelvolumens später zeigen wird. 63 beschäftigte sich der italienische Mathematiker mit der Inhaltsbestimmung des spärischen Dreiecks, 639 arbeitete er an der Flächenberechnung unter den höheren Parabeln. Am starb Cavalieri in Bologna.. Vorstellung des Satzes von Cavalieri Stehen zwei Körper auf derselben Grundebene und schneidet jede dazu parallele Ebene beide Körper in flächeninhaltsgleichen Figuren, dann haben die beiden Körper gleiches Volumen. Zwei Körper sind demnach volumengleich, wenn sie folgende Bedingungen erfüllen:. die Grundflächen besitzen gleichen Inhalt und befinden sich in derselben Ebene. die Deckflächen haben ebenfalls gleichen Inhalt und liegen in der gleichen Ebene (d.h. die Körper sind höhengleich) 3. jede zur Grundebene parallele Ebene schneidet aus beiden Körpern inhaltsgleiche Flächen aus Frage: Was kann man daraus folgern? Die Körper müssen keine gleiche Form haben, entscheidend ist lediglich die Gleichheit der Flächeninhalte der Querschnitte in gleicher Höhe/ jeder Höhe.

4 3. Beweisführung 3. Anschauliche Begründung mit Hilfe von Bierdeckeln Aus runden Bierdeckeln werden zwei gleich hohe Kreiszylinderstapel gebaut. Da beide Stapel aus gleich vielen Bierdeckeln bestehen, haben sie gleiches Volumen. Man kann nun einen Kreiszylinderstapel verschieben. Es entsteht ein Körper, der immer noch dieselbe Höhe hat, wie der gerade Kreiszylinderstapel. Aufgrund des Satzes von Cavalieri hat der schiefe Körper immer noch gleiches Volumen, wie der Kreiszylinder. Diesen Sachverhalt kann man an diesem Beispiel auch mit bloßem Auge sehen, ohne das Prinzip von Cavalieri zu kennen. 3. Anschauliche Begründung mit Computerprogramm Euklid Mit Hilfe von Euklid, kann man auf anschauliche Weise das Prinzip von Cavalieri am Computer verdeutlichen. In der Konstruktion sind die Schnittebene sowie die Spitzen beider Körper verschiebbar. Des weiteren kann ein Berechnungsfeld eingeblendet werden, das den Flächeninhalt beider Schnittflächen ausgibt. Verschiebt man nun die Schnittebene wird ersichtlich, dass die Inhalte beider Schnittflächen immer gleich sind, auch wenn hierzu noch die Spitze einer Pyramide verschoben wird.

5 3.3 Mathematischer Beweis am Beispiel Pyramide / Kegel Der Satz von Dehn ( 90 ) besagt, dass zwei rauminhaltsgleiche Polyeder im Allgemeinen weder zerlegungs- noch ergänzungsgleich sind. Hieraus folgt, dass der Rauminhalt von Spitzkörpern in der Regel durch eine Intervallschachtelung bestimmt wird. Hierzu verwendet man umbeschriebene und einbeschriebene Treppenkörper aus Prismen oder Zylinder. Die Grundflächen der Treppenkörper sind ähnlich zur Grundfläche. Für ihren Flächeninhalt ergibt sich nach dem. Strahlensatz für k =,,...,n k * h Ak : AG = : h ² = n k² n²

6 Volumen V u der umbeschriebenen Treppenkörper ( n Stufen ): V = A h ² h ² h 3² h n² h * * + AG * * + AG * * AG * * = AG * * * n ( ² + ² + 3² +... ² ) u G + Volumen Ve der einbeschriebenen Treppenkörper ( (n-) Stufen ) h ² Ve = AG * * h = AG * * * + A Das Volumen VPyr G h ² * * + A h * * n ( ² + ² + 3² ( n )² ) G 3² A n² G h ( n )² * * liegt zwischen dem Volumen V e der einbeschriebenen Treppenkörper und dem Volumen V u der umbeschriebenen Treppenkörper V e < V Pyr < V u. Betrachtet man nun den Grenzwert der Differenz lim ( Vu Ve ) = lim AG * h * = 0 n sieht man, dass eine Intervallschachtelung für das Volumen der Pyramide vorliegt. Über die Intervallschachtelung wird in der Schule die Integralrechnung eingeführt. Unter dem Integral versteht man also den Grenzwert der Unter- bzw. der Obersummen. Bevor wir uns diesen Grenzwert anschauen, sollte man folgende Summe s(n)=²+²+3²+...+n² betrachten, da diese für die Grenzwertbestimmung entscheidend ist. Betrachtung der Summe s(n) der ersten n Quadratzahlen: s(n) = ²+²+3²+...+n² s(n) N³ s(n)/n³ n³/3,00 0, ,63, ,5 9, ,47, ,44 4, ,4 7, ,4 4, ,40 70, ,39 43, ,39 333, ,38 443, ,38 576, ,37 73,33

7 ,37 94, ,37 5, ,37 365, ,36 637, ,36 944, ,36 86, ,36 666, , , , , , , , , ,35 508, , , ,35 656, ,35 737, ,35 89, , , Y-Axis Thousands n n² s(n) n³ s(n)/n³ n³/ X-Axis Grenzwert der umbeschriebenen Volumenkörper für n : lim * (² + ² + 3² n²) * A n³ G * h

8 Hierzu betrachten wir folgenden Grenzwert gesondert: n *( n + ) * (n + ) lim * (² + ² + 3² n²) = lim * * n * ( n + ) *(n + ) = lim n³ n³ 6 6* n * n * n = lim *( + ) *( + ) = ** = 6 n n 6 3 Es folgt somit für den Grenzwert lim V = u * 3 A G * h Also hat man somit gezeigt, dass das Volumen der Pyramide V = * AG h ist. 3 Pyr * Wie oben schon erwähnt wurde auf diese Art und Weise die Integralrechnung in der Schule eingeführt. Man kann somit den Beweis auf eine Zeile reduzieren: V = h z= 0 h A ( z) dz = A ( z) dz, da A z) = A ( ) für 0 z h ist z= 0 ( z 4. Anwendungsbeispiele 4. Spezialfall: Berechnung des Volumens einer Pyramide 4.. Vorbetrachtung Es ist zu erst einmal nachzuweisen, dass alle Pyramiden mit gleicher Grundfläche und Höhe gleiches Volumen besitzen. Nach Cavalieri ist dies erfüllt, wenn in jeder Ebene parallel zur Grundfläche zwei Körper flächengleiche Querschnitte aufweisen.

9 Zum Nachweis: Jede Pyramide hat eine Spitze, welche als Zentrum einer räumliche zentrischen Streckung aufgefasst werden kann. Der Streckungsfaktor k beschreibt hierbei das Verhältnis der Höhe h (Abstand der Bildebene von der Spitze) zur Gesamthöhe h der Pyramide. Für die Flächen der Querschnitte gilt hierbei: h k = h h h Bildfläche = = k Ur / Grundfläche Die Inhalte paralleler Schnittflächen verhalten sich also wie die Quadrate der Abstände der Flächen von der Spitze. Nimmt man nun zwei Pyramiden mit gleich großen Grundflächen und Höhen so folgt: A A k * A * A A = = = k A da nach Voraussetzung A = A (Inhalt der Grundflächen) Die Bedingungen des Prinzips von Cavalieri sind also erfüllt Nach Zerlegung eines Würfels in 6 kongruente Pyramiden Die Zerlegung eines Würfels in 6 kongruente Pyramiden ergibt für die Inhalte der Grundflächen G jeder dieser Pyramiden und für die Höhen h G = a h = a. Für das Volumen V einer dieser Pyramiden folgt somit: V 3 Pyramide = VWürfel = a = ( a * a) = G * h Da alle Pyramiden gleich sind, besitzen sie in jeder Höhe auch inhaltsgleiche Querschnitte nach Cavalieri sind sie somit auch Volumengleich.

10 4... Nach Zerlegung eines Würfels in 3 kongruente Pyramiden Die Zerlegung eines Würfels in 3 kongruente Pyramiden ergibt für den Flächeninhalt der Grundflächen G der Pyramiden G = a Die Höhe h beschreibt eine Seitenkante und ist demnach h = a Das Volumen V einer Pyramiden ergibt sich damit aus: V 3 Pyramide = VWürfel = a = ( a * a) = G * h Für diese 3 kongruenten Pyramiden sind wiederum die Bedingungen des Cavalierischen Prinzips erfüllt Nach Zerlegung eines dreiseitigen Prismas in 3 Pyramiden Nach der Zerlegung eines Prismas erhält man zwei gleiche Pyramiden und eine Schiefe.

11 Vergleicht man die Pyramiden (S,P,Q,R) und (R,T,S,U) miteinander, wird ersichtlich, das ihre Grundflächen den selben Inhalt besitzen. Dies folgt aus der Tatsache, das bei einem Prisma Grund- und Deckfläche gleich sind. Also: A = A ( P, Q, R) ( T, S, U ) Die Höhen beider Prismen ist ebenfalls gleich, sie entsprechen jeweils einer Seitenkante des Prismas. h h = PS RU ( S, P, Q, R) = ( R, T, S, U ) = Nun vergleicht man die Pyramiden (T,R,U,S) und (T,Q,R,S) miteinander. Beide besitzen wiederum inhaltsgleiche Grundflächen. A = A ( T, R, U ) ( T, Q, R) Die Höhen sind auch gleich und werden durch die Punkte Z,S und Z,S bestimmt. Der Punkt Z befindet sich bei der Pyramide (T,R,U,S) innerhalb und bei der Pyramide (T,Q,R,S) außerhalb des Körpers. S ist die gemeinsame Spitze. h( T, R, U, S ) = h( T, Q, R, S ) = ZS = ZS Somit folgt, dass das Volumen von Pyramide (S,P,Q,R) gleich dem von Pyramide (R,T,S,U) ist, welches gleich dem von Pyramide (T,Q,R,S) ist. Also sind alle drei Pyramiden inhaltsgleich. V = V = V ( S, P, Q, R) ( R, T, S, U ) ( T, Q, R, S ) Dieses Ergebnis kann mit Hilfe des Computerprogramms Euklid nochmals verdeutlicht werden. Indem man die Spitze einer der beiden Pyramiden nach außen zieht erkennt man, das der Flächeninhalt der Schnittfläche gleich bleibt. Der Satz von Cavalieri bestätigt damit die Gleichheit und somit auch die allgemeine Volumenformel für Pyramiden. 4.. Bestimmung des Kugelvolumens mit Hilfe des Satzes von Cavalieri Das Verfahren zur Bestimmung des Kugelvolumens geht auf Archimedes zurück, was zeigt, dass Archimedes das Cavalierische Prinzip bereits schon gekannt hatte. Cavalieri ging von einem Kreiszylinder aus, dessen Höhe gleich dem Radius r ist und entfernte daraus einen Kreiskegel mit gleichem Radius und gleicher Höhe. Dies verglich er mit einer Halbkugel mit Radius r.

12 Zu Zeigen ist nun A() = A(), d.h. der Kreisring (A()) muss denselben Flächeninhalt haben wie der Schnittkreis bei der Halbkugel (A()). Flächeninhalt des Kreisringes: Flächeninhalt des Schnittkreises: A()= äußerer Kreisringinhalt innerer Kreisringinhalt = πr² - πx² = π*(r²-x²) Zunächst benötigt man hierzu den Radius des Schnittkreises: Nach dem Satz von Pythagoras gilt: a² = r²-x² A() = π*a² = π*(r²-x²) A() = A(), w.z.b.w. Nach dem Satz von Cavalieri haben also der Restkörper und die Halbkugel gleiches Volumen: Berechnung des Volumens des Restkörpers: VR = VZyl VKegel = π r² * r πr² * r = π * r³ VR = VHK = π * r³ VK = * VHK = π * r³ 3 3