Geometrie II Vertiefung der Geometrie

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1 Flächeninhalt 1 Geometrie II Vertiefung der Geometrie WS 005/06 R.Deißler Literatur Krauter, Siegfried Erlebnis Elementargeometrie Ein rbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken Spektrum kad.verlag, Heidelberg 005 us Vorlesungen für Lehramtsstudenten an der PH Ludwigsburg. Das uch deckt unsere Geometrie I und II Vorlesung weitgehend ab. In der Vorlesung werden wir darauf verweisen. Müller-Philipp, S., Gorski, Hans-Joachim Leitfaden Geometrie 3.uflage, Vieweg, Wiesbaden 005 Das uch deckt unsere Geometrie I weitgehend ab, enthält aber nur wenige Elemente aus der Geometrie II. Ein Student meinte im SS 05, er habe in der Geometrie I sehr viel von diesem uch profitiert. Literatur 1

2 Weigand, H.-G., Weth, Th., omputer im Mathematikunterricht Spektrum, kad. Verl., Heidelberg 00 Kapitel über Geometrie (S.155-8), im Wesentlichen über den Einsatz von DGS im Unterricht. Literatur 3 Lizenz für DynaGeo-Version ab.4 : Lizenzdatei PdagogischeHochschule01.dgl vom Schwarzen rett Schwarzes_rett\Mathematik und Informatik\Deissler\Geometrie\ Geometrie_SS005\Euklid+Lizenzdatei-PHFR laden und in das DynaGeo-Verzeichnis kopieren DynaGeo EUKLID Homepage: Euklid-Info.4+

3 Flächeninhalt 1 Materialien zur Vorlesung Zugang auch einfach über meine Homepage. Materialien zur Vorlesung Kapitel 1: Der Flächeninhalt Flächeninhalt einer Figur soll etwas über deren Größe aussagen Flächeninhaltsbegriff intuitiv irgendwie klar, ab der Grundschule durch uslegen von Figuren mit Plättchen vorbereitet. bgrenzung gegenüber einem anderen egriff von Größe, dem Umfang einer Figur. Definitionen des Flächeninhaltsbegriffs werden immer mehr verfeinert, durch den Messprozess festgelegt. Welchen Figuren sind Sie bereit, einen Flächeninhalt zuzusprechen? Wie sollte der definiert und gemessen werden?

4 Fraktale 1 Fraktale Problematische Figuren: Fraktale im 19./0. Jahrhundert Flächeninhalt der blauen Fläche? Umfang der blauen Fläche? Problematische Figuren: Fraktale Flächeninhalt der blauen Fläche? Umfang der blauen Fläche?

5 Fraktale 3 Flächeninhalt Problematische Figuren: Fraktale Flächeninhalt? Umfang? Definition einer Flächeninhaltsfunktion F F ordnet möglichst vielen Figuren (Maß-)Zahl F() zu, so dass die folgenden Eigenschaften gelten: 1. F() 0 für alle Figuren,. F() = F( ) kongruent zu, 3. F( 1 ) = F( 1 )+F( ) 1 und haben keine gemeinsamen inneren Punkte, 4. F(Q e ) = 1 Q e beliebig gewähltes Einheitsquadrat Theorie solcher Messprozesse in der Mathematik Maßtheorie, Teilgebiet der nalysis Hier nur die in der Schulmathematik wichtigen Figuren behandelt, an einigen eispielen angewandt, statt den Flächeninhalt zu definieren beschreibt man den Messprozess.

6 Flächeninhalt als Größe Messprozess Physik Flächeninhalt als Größe ( Vorlesung Größenbereiche) Im lltagsgebrauch keine Figuren mit Flächeninhalt 0 akzeptiert (z.. einzelne Punkte, Strecken) Ohne diese Flächen bilden die Flächeninhalte einen so genannten Größenbereich ( Vorlesung über Größenbereiche). In einem Größenbereich G sind ddition + und Kleiner-Relation < erklärt: 1. a + b = b + a Kommutativgesetz. (a + b) + c = a + (b + c) ssoziativgesetz 3. entweder a < b oder b < a oder a = b Trichotomie 4. a < b es gibt ein c G mit a + c = b eingeschränktes Lösbarkeitsgesetz Der Messprozess für die Schule Physikalisches Modell: Figuren sind aus homogenem Material gleicher Dicke ausgeschnitten. Figuren haben gleichen Flächeninhalt wenn sie gleiches Gewicht haben. Flächeninhalt von Figuren experimentell vergleichen: Figuren aus geeignetem Material herstellen und Gewicht vergleichen. Flächenmaßzahlen zuordnen durch Vergleichen mit dem Gewicht von Einheitsquadraten oder einem anderen passenden Quadrat. Für die Schule eventuell: Flächeninhalt der Kreisfläche mit einem Radiusquadrat vergleichen. Wie viel mal so schwer ist die Kreisfläche? r r r

7 Flächeninhalt Messprozess Mathematik 1 Definition einer Flächeninhaltsfunktion F F ordnet möglichst vielen Figuren (Maß-)Zahl F(), so dass die folgenden Eigenschaften gelten: 1. F() 0 für alle Figuren,. F() = F( ) kongruent zu, 3. F( 1 ) = F( 1 )+F( ) 1 und haben keine gemeinsamen inneren Punkte, 4. F(Q e ) = 1 Q e beliebig gewähltes Einheitsquadrat Folgerungen aus der Definition F()=0 für alle Linien, d.h. alle Mengen ohne innere Punkte Für Rechtecksflächen mit den Maßzahlen a und b Längeneinheiten ist F()=a b eweisskizze a=7 LE, b=3 LE 7 Quadrate in einem Streifen 3 Streifen b a F() = 3 7 F(Q e ) = 3 7 FE

8 Messprozess Mathematik Zerlegungsgleich ergänzungsgleich 1 Probleme beim Messprozesses durch uslegen mit Quadraten: - Problematisch bei Rechtecken mit Seiten, die zu denen des Einheitsquadrates inkommensurabel sind, - Vergleich beliebiger Dreiecke, - krummlinig begrenzte Figuren. Passt vielleicht nie genau egriffe Zerlegungsgleichheit und Ergänzungsgleichheit von Figuren. Grenzprozesse durch nnäherung komplizierter Flächen durch einfachere ( z.. Kreisfläche). Zerlegungsgleich - ergänzungsgleich Definition Zwei Figuren sind zerlegungsgleich wenn sie sich in paarweise kongruente Figuren zerlegen lassen. Zerlegungsgleiche Figuren sind inhaltsgleich Folgt sofort aus den Eigenschaften der Flächeninhaltsfunktion eispiel: Flächeninhalt des Parallelogramms Das Parallelogramm und das Rechteck sind zerlegungsgleich.

9 Zerlegungsgleich Parallelogramm Zerlegungsgleich Parallelogramm Flächeninhalt des Parallelogramms h h g Diese Zerlegung zeigt: Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist das Produkt aus der Grundseite g und der Höhe h : = g h. g ufgabe Gilt dies auch für das nebenstehende Parallelogramm? Ist dieses auch zerlegungsgleich zu einem Rechteck mit den Seiten g und h? g h Flächeninhalt des Parallelogramms h h g g Das Parallelogramm ist zerlegungsgleich zu dem Rechteck mit den Seiten g und h. uch hier is = g h

10 Zerlegungsgleich ergänzungsgleich Pythagoras Zerlegung Definition Zwei Figuren sind ergänzungsgleich wenn sie durch Ergänzung mit kongruenten Figuren zu kongruenten (i.. zerlegungsgleichen) Figuren ergänzt werden können. Ergänzungsgleiche Figuren sind inhaltsgleich Folgt sofort aus den Eigenschaften der Flächeninhaltsfunktion eispiel: Pythagoras-Legebeweis b² c² a² Die weißen Flächen sind ergänzungsgleich, denn sie können durch Ergänzung mit den vier paarweise kongruenten Dreiecken zu kongruenten Figuren (hier den Quadraten) ergänzt werden. Pythagoras-Zerlegungsbeweis Für die Schule als Puzzle geeignet, wenn man die Einteilung des Kathetenquadrats vorgibt.

11 Pythagoras-Zerlegungsbeweis Ergänzungs-parallelogramm 1 Satz vom Ergänzungsparallelogramm D H d E P G F Der Satz Gegeben ist das Parallelogramm D und ein Punkt P auf der Diagonalen d=. Durch P sind Parallelen zu den Seiten des Parallelogramms gezeichnet. Dadurch entstehen zwei Parallelogramme EPHD (gelb) und FGP (hellrot). Zeigen Sie, dass diese Parallelogramme den gleichen Flächeninhalt besitzen. Zeigen Sie, dass auch die Parallelogramme FHD und GE den gleichen Flächeninhalt besitzen.

12 Ergänzungs-parallelogramm Messprozess Mathematik 3 nwendung Gegeben ist ein Rechteck GE (hellrot). Es soll ein dazu flächengleiches Rechteck mit einer vorgegebenen Seite konstruiert werden. D H h1 D h3 E E P h G F Konstruktion: h 1 Parallele durch zu durch D, h Parallele durch zu D durch, Schnittpunkt von h 1 und h, P Schnittpunkt von mit GE, h 3 Parallele zu D durch P, H Schnittpunkt von h 3 mit D. F Schnittpunkt von h 3 mit. FHD ist das gesuchte Rechteck. Übersicht über Methoden zur estimmung und zum Vergleich von Flächeninhalten - Figur zerlegungsgleich oder ergänzungsgleich zu einer Figur mit schon bekanntem Flächeninhalt (s.vorangehende eispiele) - Figur als (disjunkte) Vereinigung bekannter Flächen darstellen - ekannte Figur als (disjunkte) Vereinigung bekannter und unbekannter Flächen darstellen - Scherungsbeweise - Grenzprozesse durch nnäherung komplizierter Flächen durch einfachere ( z.. Kreisfläche, wird noch genau behandelt).

13 avalieri Ebene Dreiecksformeln 1 Satz von avalieri in der Ebene Kann man eine Gerade g so zeichnen, dass jede Parallele zu dieser Geraden aus zwei Flächen stets zueinander gleichlange Strecken ausschneidet, so haben die Flächen denselben Inhalt. g Dreiecke mit gleicher Grundseite und gleicher Höhe haben den gleichen Flächeninhalt (Strahlensatz). Dreiecksformeln und ihre geometrische Deutung h g = gh g = h = g h Verschiedene Herleitungen führen zunächst zu verschiedenen Formen der Flächeninhaltsformeln Termumformungen

14 Dreiecksformeln = g h = g h Versuchen Sie, diese beiden eweise auch für nicht spitzwinklige Dreiecke durchzuführen (ufgabenblatt) Grenzprozesse eispiel: Flächeninhalt des Kreises Ein- und umbeschriebenes Sechseck Einbeschriebenes Sechseck und Zwölfeck nnäherung durch einbeschriebene und umbeschriebene regelmäßige n-ecke. Für n nähern sich deren Flächeninhalte von unten bzw. oben einem gemeinsamen Wert. Diesen Wert definiert man als den Flächeninhalt des Kreises. Grenzprozesse 1

15 Ganz beliebige Figur Flächeninhalt? I 1 U 1 Gitterpapier drüber legen... Kästchen im Inneren zählen und addieren I 1 Kästchen außen zählen und addieren U 1 Grenzprozesse Kästchenlänge halbieren... I 1 I U U 1 Kästchen im Inneren zählen und addieren I Kästchen außen zählen und addieren U Grenzprozesse 3

16 Messprozess Mathematik 4 Falls I n und U n sich dem gleichen Wert nähern, dann ist das der Flächeninhalt der Figur. I 1 I I 4 U 4 U U 1 Kästchenlänge nochmals halbieren... Kästchen im Inneren zählen und addieren I 4 Kästchen außen zählen und addieren U 4 Intervallschachtelung für Grenzprozesse 4 Eine Frage, die in der Vorlesung Geometrie I untersucht wurde und die historisch große edeutung hatte: Welche Flächen lassen sich alleine mit Zirkel und Lineal in Quadrate umwandeln? Quadraturproblem Insbesondere die Quadratur des Kreises

17 Historische emerkungen 1 Historische emerkungen Historische emerkungen Im ltertum war es ein zentrales nliegen der Geometrie, alle Konstruktionen exakt nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal durchzuführen. Dieses nliegen hat die geometrische Forschung über 000 Jahre lang vorangetrieben, und die endgültigen ntworten auf die offenen Fragen sind nur etwas über 100 Jahre alt. Der Grund für die Einschränkung der Hilfsmittel war philosophischer Natur, Näherungen für die in Frage stehenden Probleme waren seit alters her bekannt. Hier sollen einige der klassischen Probleme kurz vorgestellt werden. Quadratur des Kreises: Ein altes griechisches Problem Konstruiere mit Zirkel und Lineal zu einem Kreis mit gegebenen Radius ein flächengleiches Quadrat. Leonardo da Vinci: Studie zu den Proportionen am idealen menschlichen Körper. Quadraturproblem implizit dargestellt? Kreis durch die Fingerspitzen der waagerecht ausgestreckten rme und durch den zentralen großen Zeh. Fast gleicher Flächeninhalt wie das Quadrat aus Körperhöhe und reite der ausgestreckten rme.

18 Historische emerkungen 3 Historische emerkungen 4 eweis für die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises erst um 1870 gelungen (F.Lindemann)! Phänomena 1984 in Zürich Esoterischer utor : Der Mensch ist die Lösung des Unlösbaren! Quadratur des Kreises Winkeldrittelung Würfelverdoppelung (Delisches Problem)

19 Flächeninhalt von Polygonen mit Zirkel und Lineal 1 Flächeninhalt von Polygonen mit Zirkel und Lineal Flächeninhalt von Polygonen mit Zirkel und Lineal Problem 1 Kann man ein Vieleck (Polygon) mit Zirkel und Lineal alleine umwandeln in ein flächeninhaltsgleiches Rechteck, dessen eine Seite eine Einheitsstrecke ist, ein flächeninhaltsgleiches Quadrat? Problem Kann man diese Umwandlung auch durch Zerschneiden und Zusammenlegen erreichen? Klar: Kann man Teil 1 von Problem 1 lösen, dann ist Teil sofort mit Hilfe des Kathetensatzes oder des Höhensatzes gelöst. Werden diese Fragen positiv beantwortet, dann kann man alleine mit Hilfe von Zirkel und Lineal bzw. durch Zerschneiden den Flächeninhalt beliebiger Polygone vergleichen: Entweder man wandelt beide in Rechtecke mit einer Einheitsseite um und vergleicht deren andere Seitenlängen, oder man verwandelt beide in jeweils flächengleiche Quadrate und vergleicht diese Quadrate. ufgabe: Wandeln sie das folgende Viereck in ein flächengleiches Rechteck mit der Strecke e als einer Seite um. D e

20 Problem Kreisfläche und Kreisumfang Der Problemkreis kann sowohl von der Umfangsberechnung als auch von der Flächenberechnung aus erschlossen werden. nalog dazu kann man auch später bei der ehandlung der Kugel entweder über die Oberflächenberechnung oder die Volumenberechnung einsteigen. Kreisfläche und Kreisumfang 1 Problem Kreisfläche und Kreisumfang ei diesen erechnungen spielt die Konstanz des Quotienten gewisser Größen eine Rolle. Welche der Folgenden Quotienten sind konstant? Warum ist dies so? ezeichnungen: Flächeninhalt des Kreises, U Umfang des Kreises r Radius des Kreises, d Durchmesser des Kreises /r /r /d /d U/r U/r U/d U/d Kreisfläche und Kreisumfang

21 Kreisfläche und Kreisumfang 3 Problem Kreisfläche und Kreisumfang Schätzen Sie den Kreisumfang und den Flächeninhalt des Kreises mit Hilfe von ein- und umbeschriebenen Quadraten ab. 4 r < U O < 8 r,8 d < U O < 4 d r r < O < 4 r Kreisfläche und Kreisumfang 4

22 Problem Kreisfläche und Kreisumfang Schätzen Sie den Kreisumfang und den Flächeninhalt des Kreises mit Hilfe von ein- und umbeschriebenen Sechsecken ab. r r d 3 3 Umfang: 6 r < U O < 4 3 r 3 d < U O < 3,47 d Flächeninhalt: r < O < 3r Kreisfläche und Kreisumfang 5 Kreisumfang estimmen Sie experimentell mit Hilfe einer D das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises. Welchen prozentualen Fehler haben Sie dabei begangen? Kreisumfang 1

23 Kreisumfang: erechnung mit Näherungsverfahren Kreisradius r = 1 LE. erechnen Sie, wie sich die Seitenlänge S n des einbeschriebenen regelmäßigen n-ecks aus der Seitenlänge S n des n-ecks ergibt. Die Seitenlänge des einbeschriebenen 6-Ecks ist 1 LE. Damit kann man die Seitenlänge des 1-, 4, 48-Ecks berechnen. Diese Formeln können mit dem Taschenrechner oder mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms ausgewertet werden, um immer genauere Werte für π zu erhalten. 1 M q=-p 1 h p S = a n S = h n Kreisumfang Kreisumfang: erechnung mit Näherungsverfahren U n n Es ist U Sn = n = n S n, π ist rechtwinklig (Thalessatz) r = 1 LE. S n =? Höhensatz für : (1) h = ( p)p Kathetensatz für : () a = p (1) nach p (<1) aufgelöst: 1 M q=-p 1 h p S = a n S = h n (3) p = 1 1 h (3) in () eingesetzt: a = 1 h = 4 4h Kreisumfang 3

24 Kreisumfang: erechnung mit Näherungsverfahren (3) in () eingesetzt: a = 1 h = 4 4h Damit erhält man: S = a n S n = 4 Sn 1 M q=-p h p = S n + 4 Sn 1 S n = h Kreisumfang 4 Kreisumfang: erechnung mit Näherungsverfahren erechnungsschema in Excel S n = 4 Sn = S n + 4 Sn n Sn Un Un/ 6 1, , , , , , ,6105 6,6557 3, , , , , ,8064 3, ,0373 6,8905 3, , , , , , , , , , , , ,14159 n Sn Un Un/ 6 1 =(*) =(/) =(*) =(WURZEL(-WURZEL(4-*))) =(3*3) =(3/) =(3*) =(WURZEL(-WURZEL(4-3*3))) =(4*4) =(4/) =(4*) =(WURZEL(-WURZEL(4-4*4))) =(5*5) =(5/) =(5*) =(WURZEL(-WURZEL(4-5*5))) =(6*6) =(6/) =(6*) =(WURZEL(-WURZEL(4-6*6))) =(7*7) =(7/) =(7*) =(WURZEL(-WURZEL(4-7*7))) =(8*8) =(8/) =(8*) =(WURZEL(-WURZEL(4-8*8))) =(9*9) =(9/) =(9*) =(WURZEL(-WURZEL(4-9*9))) =(10*10) =(10/) =(10*) =(WURZEL(-WURZEL(4-10*10))) =(11*11) =(11/) Kreisumfang 5 Excel

25 Kreisumfang: erechnung mit Näherungsverfahren erechnungsschema in Excel S n = 4 Sn = S n + 4 Sn Führen Sie die erechnung von Pi in Excel mit der ersten der beiden Formeln für 30 Seitenverdopplungen durch und beobachten Sie, wie sich die Genauigkeit der nnäherung von Pi verändert. Führen Sie dann die erechnung von Pi in Excel auch mit der zweiten der beiden Formeln für 30 Seitenverdopplungen durch und beobachten Sie auch hier, wie sich die Genauigkeit der nnäherung von Pi verändert. Kreisumfang 6 Excel Kreisfläche mit der alkenmethode r y0 y1 y yk y k = r k 1 n r yk 1 n r k n r r Kreisfläche mit alkenmethode 1

26 Kreisfläche mit der alkenmethode r y0 1 n r y1 r y k n yk r yk r y k = r k 1 n erechnen Sie mit Hilfe der entwickelten Formel den Flächeninhalt des Viertelkreises näherungsweise (Ober- und Untersumme) für einen Radius r =1 LE für n=6 mit Hilfe eines Taschenrechners und für n=100 mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms. estimmen Sie den absoluten und den relativen Fehler, den Sie dabei begehen. erechnen Sie aus dem Ergebnis das Verhältnis Kreisfläche / Radiusquadrat. Kreisfläche mit alkenmethode Kreisfläche mit der alkenmethode r y0 y1 y y k y k = r k 1 n 1 n r r k n yk r r n r k yk alken aussen alken innen 0 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , Kreisfläche mit alkenmethode 3

27 Kreisfläche mit der alkenmethode r y0 y1 y y k y k = r k 1 n 1 n r r k n yk r r Kreisfläche mit alkenmethode 4 Kreisfläche mit der alkenmethode r y0 y1 y y k y k = r k 1 n 1 n r r k n yk r r k n y k yk+1 Kreisfläche mit alkenmethode 5

28 Kreisfläche mit der alkenmethode r y0 y1 y y k y k = r k 1 n 1 n r r k n yk r r 98 0, , , , , , , , , Summe 0, , Pi-Näherung 3, , Damit Fehlerintervall bei Pi = 4/100 = 0,04. Prozentualer Fehler 0,04/3,14 1,3% Differenz zwischen Obersumme und Untersumme: Flächeninhalt des 0. ußenbalkens = 1/100. Kreisfläche mit alkenmethode 6 Kreisfläche mit Kästchenzählen Rest noch zählen = 50 Innenfläche = 1913 mm 15 Fläche Vollkreis = mm = 765 mm Flächen-Pi = 765 /500 = 90 3,061 Kreisfläche mit Kästchenmethode

29 Kreisfläche mit Kästchenzählen ußenfläche = 1913 mm + 89 mm = 00 mm Fläche Vollkreis = 4 00 mm = 8008 mm Flächen-Pi = 8008 / , Fehler absolut: 0,14 Fehler relativ: 0,14/3,061 0,046 = 4,6% Kreisfläche mit Kästchenmethode Problem Kreisfläche und Kreisumfang Wir haben festgestellt, dass für Kreise U/d und /r konstant sind. Wir definieren π := U/d. Es ist keineswegs offensichtlich, dass /r die gleiche Konstante π ergibt, obwohl die bisher berechneten Näherungswerte dies nahe legen!!!. Flächen-Pi = Umfangs-Pi??? Kreisfläche und Kreisumfang 7

30 Problem Kreisfläche und Kreisumfang ufgabe: Zeichnen Sie einen Kreis mit Radius 5 cm. Zerschneiden Sie ihn wie in der Zeichnung und legen Sie daraus die neben dem Kreis sichtbare Figur. Vergleichen Sie den Flächeninhalt des Fast-Rechtecks mit dem des Radiusquadrats. Was ergibt sich daraus für den Flächeninhalt des Kreises? r = 5 cm Kreisfläche und Kreisumfang 8 Problem Kreisfläche und Kreisumfang Hier eine Skizze des Vergleichs: r = 5 cm Quadrat = r = 5 cm l = 15,4 cm Rechteck = l r =15,4 cm 5 cm = 77 cm Rechteck Quadrat = 77 cm 5 cm = 3,08 Kreis 3,1 r Kreisfläche und Kreisumfang 9

31 Problem Kreisfläche und Kreisumfang r l = r π egründen Sie mit Hilfe der Skizze, dass für Kreise tatsächlich das Verhältnis /r = π ist. Flächen-Pi = Umfangs-Pi!!! Kreisfläche und Kreisumfang 10 Kreisteile: Kreisbogen r α b Kreisbogen b zum Winkel α erechnen Sie die Länge des zu α gehörenden Kreisbogens b α. bα = α π r π r = b α π α = r 180 Kreisteile 1

32 Kreisteile: Kreisausschnitt (Kreissektor) r α Kreisausschnitt (Kreissektor) zum Winkel α erechnen Sie den Flächeninhalt des zu α gehörenden Kreissektors. α π r = α 360 π α = 360 r α Kreisteile Winkelmessung im ogenmaß r 1 α b 1 r b r 3 α b 3 α lle Kreissektoren zum gleichen Winkel α sind ähnlich. Damit gilt: b α : r ist konstant. Diese nur von α abhängige Zahl heißt das ogenmaß von α. ezeichnung: arc(α) (lies: rcus von α) ogenmaß 1

33 Winkelmessung im ogenmaß Einheit des Winkels im ogenmaß: Unbenannte Zahl! Verhältnis von zwei Längen! Oft benennt man die Einheit im ogenmaß dennoch mit rad. 1 rad ist aber einfach nur die Zahl 1. ndere Definition des ogenmaßes: Das ogenmaß arc(α) des Winkels α ist die Maßzahl des zu α gehörenden Winkels im Einheitskreis. 1 LE α b ogenmaß Winkelmessung im ogenmaß Misst man den Winkel α im ogenmaß, dann vereinfacht sich die erechnungsformel für die ogenlänge: Misst man den Winkel α im ogenmaß, dann vereinfacht sich die erechnungsformel für die ogenlänge: r α b b r π = arc( α) = α 180 b = r arc(α) π α = 360 r α α 1 = arc( α) r ogenmaß 3

34 Rauminhalt 1 Winkelmessung im ogenmaß Umrechnung vom Gradmaß ins ogenmaß und umgekehrt. π 180 arc ( α) = α α = arc( α) 180 π α in arc(α) α in arc(α) /3π π /3 π /10 1 3/ π π/ π/4 ogenmaß 4 Kapitel : Räumliche Körper und Rauminhalt Der Rauminhalt eines Körpers soll etwas über dessen Größe aussagen, der Rauminhaltsbegriff ist intuitiv irgendwie klar, ab der Grundschule durch auen von Körpern mit Würfeln vorbereitet. bgrenzung gegenüber einem anderen egriff von Größe, der Oberfläche eines Körpers. Die Definitionen des Rauminhaltsbegriffs werden immer mehr verfeinert, durch den Messprozess festgelegt. Viele ussagen über den Flächeninhalt und den Umfang ebener Figuren lassen sich analog dazu für das Volumen und die Oberfläche räumlicher Körper entwickeln.

35 Rauminhalt Volumenfunktion anach-tarski Definition einer Rauminhaltsfunktion V V ordnet möglichst vielen Körpern K eine (Maß-)Zahl V(K) zu, so dass die folgenden Eigenschaften gelten: 1. V(K) 0 für alle Körper K,. V(K) = V(K ) K kongruent zu K, 3. V(K 1 K ) = V(K 1 )+V(K ) K 1 und K haben keine gemeinsamen inneren Punkte, 4. V(W e ) = 1 W e beliebig gewählter Einheitswürfel Hier werden nur die in der Schulmathematik wichtigen Körper behandelt, die Methoden bei einigen eispielen angewandt. anach-tarski-paradoxon Eine Konstruktion der polnischen Mathematiker Stefan anach und lfred Tarski von 194 zeigt eindrücklich, dass man nicht allen von Mathematikern ausgedachten Körpern (Punktmengen im Raum) ein Volumenmaß zuordnen kann. Danach kann man eine Kugel so in endlich viele Stücke zerlegen, dass sich daraus zwei Kugeln zusammensetzen lassen, die kongruent zur usgangskugel sind!!! Diesen Stücken kann natürlich kein Volumen zugeordnet werden.

36 .Prilszerzky Formenkunde 1.Prilszerzkys-Paradoxon Das Spektrum der Wissenschaft beschieb in der März usgabe vor vielen Jahren im Zusammenhang mit dem anach-tarski-paradoxon folgende einfache (und seit langem bekannte) Technik des Polen.Prilszerzky: Prilszerzky lieh sich Gold, und stellte daraus 1 cm dicke quadratische Goldplatten mit der Seitenlänge 8 cm her. Er zersägte diese und fügte sie zu rechteckigen Goldplatten mit den Seitenlängen 5 cm und 13 cm zusammen, entsprechend der Skizze unten. Dann gab er das geliehene Gold zurück und von den übrig bleibenden 1 cm 3 -Goldwürfelchen konnte er sich einen luxuriösen Lebensstil erlauben. 8 cm 5 cm 13 cm 8 cm Probieren Sie es aus! Definitionen einiger Körper Definieren Sie folgende egriffe (oft zunächst nicht eindeutig): Würfel Quader Prisma (Säule) Zylinder Pyramide Kegel Pyramidenstumpf Kegelstumpf Kugel Polyeder Senkrechtes Prisma Senkrechte Pyramide Konvexer Körper Kreiszylinder Kreiskegel Senkrechter Pyramidenstumpf Senkrechter Kegelstumpf ntiprisma Regulärer Körper (Platonischer Körper)

37 ufgabenblatt 1.1 ufgabenblatt 1. Lösungshinweise latt 1 ufgabe 1 Trapeze 0, , , , , Summe 0, π 3, Der Flächeninhalt der Trapezflächen ist der Mittelwert aus den Flächeninhalten der äußeren und inneren alken. Der Näherungswert für π ist daher auch der Mittelwert der oberen und der unteren Schranke aus der alkenmethode. Lösungshinweise latt 1 ufgabe 60 r 30 1-Eck = 1 grünes Dreieck = 1 1/ r r/ = 3 r π 3

38 ufgabenblatt 1.3 Platonische Körper 1 Lösungshinweise latt 1 ufgabe 3 = a S n p = 1 1 h 1 M q=-p h p 1 S n = h 1 M q=-p 1 h p S n T n T n = S n 4 S n Reguläre Körper (Platonische Körper) Platonische Körper sind Polyeder mit den Eigenschaften Sie sind konvex, alle Seitenflächen sind zueinander kongruente reguläre Vielecke, an jeder Ecke stoßen gleich viele Seitenflächen und Kanten zusammen (d.h. die Ecken sind nicht unterscheidbar, zu je zwei Ecken gibt es eine Deckabbildung des Körpers, die eine Ecke auf die zweite abbildet.) egründen Sie: Es gibt höchstens 5 platonische Körper. Versuchen Sie, diese zu beschreiben und ein Netz zu zeichnen.

39 Quellen, Literatur Platonische Körper Quellen für die Inhalte zu Formenlehre von Körpern, Volumen- und Oberflächenberechnung /Skripte/Vorl-Wo1.pdf Krauter, Erlebnis Elementargeometrie, S.84-90, S eispiele: mathematische-basteleien.de mathematische-basteleien.de/platonisch.htm Skripte/Vorl-Wo1.pdf Reguläre Körper (Platonische Körper) Die Platonischen Körper

40 Platonische Körper 3 Platonische Körper 4 Reguläre Körper (Platonische Körper) Die Netze der Platonischen Körper Duale Körper Verbindet man die Mittelpunkte benachbarter Seitenflächen der platonischen Körper, dann entsteht der dazu duale Körper, der wiederum platonisch ist. Geben Sie jeweils den duale Körper an. Was ist der zum dualen Körper duale Körper? (Was?! ch so!)

41 Eulersche Polyederformel Satz von Dehn Eulersche Polyederformel Für Körper wählen wir folgende ezeichnungen: e: nzahl der Ecken, k: nzahl der Kanten, f: nzahl der Flächen. Eulersche Polyederformel (Leonhard Euler, ) Für jeden konvexen Körper ist e + f = k + Überprüfen Sie die ussage an den platonischen Körpern. Überprüfen Sie die ussage an weiteren Polyedern Ihrer Wahl. Satz von Dehn In der Ebene konnten wir zeigen: Jedes Polygon ist zerlegungsgleich zu einem Rechteck (sogar zu einem Quadrat). Damit konnten die Flächeninhaltsformeln alleine durch Zerlegen und geeignetes Zusammensetzen auf die erechnung von Rechtecksflächen zurück geführt werden. Ein Satz von Max Dehn (190) zeigt, dass das analoge Vorgehen im Raum nicht möglich ist: Satz von Dehn Ein Tetraeder und ein volumengleicher Würfel sind nicht zerlegungsgleich. Wir brauchen also neue Prinzipien!

42 avalieri Raum Volumengleiche Pyramiden mit avalieri Das Prinzip von avalieri ( ) Satz von avalieri im Raum Liegen zwei Körper zwischen zwei parallelen Ebenen E 1 und E, und sind in jeder Höhe die Schnittflächen der beiden Körper mit der zu E 1 parallelen Ebene E gleich groß, so haben die Körper dasselbe Volumen. x h nschauliche Erklärung des Prinzips, kein eweis! Wir benutzen den Satz von avalieri, um zu zeigen: Je zwei Pyramiden (oder Kegel) mit gleicher Höhe und gleich großer Grundfläche haben das gleiche Volumen. Die Schnittflächen Q 1 und Q gehen durch zentrische Streckung aus den flächeninhaltsgleichen Grundflächen G 1 und G hervor. x Der Streckfaktor ist jeweils. h Damit ist x h x Q 1 = G 1 und h x Q = G h Q 1 und Q haben also gleichen Flächeninhalt. Diesen Zusammenhang werden wir in der folgenden Form später immer wieder benötigen: Q = G x h

43 Übersicht über die eweise der Volumenformeln 1 Übersicht über die eweise der Volumenformeln Übersicht über die eweise der Volumenformeln egründung der Formeln ohne Prinzip von avalieri Körper Quader Senkrechte rechtwinklige Dreiecksprismen Senkrechte Prismen Parallelflach (Spat, Parallelepiped) Schiefe rechtwinklige Dreiecksprismen Schiefe Prismen Zylinder und schiefe Zylinder Methode Volumenformel folgt aus den Forderungen an eine Volumenfunktion V Kongruent ergänzen zu einem Quader Zerlegen in senkrechte Dreiecksprismen Zerlegungsgleich zu einem Quader Kongruent ergänzen von zu einem Parallelflach Zerlegen in schiefe rechtwinklige Dreiecksprismen Grenzwertbetrachtungen: Körper als Grenzkörper geeigneter Prismen egründung der Formeln mit Prinzip von avalieri Körper Methode Dreieckspyramide mit der Spitze senkrecht über einer Ecke der Grundfläche G eliebige Dreieckspyramide mit Grundfläche G und Höhe h eliebige Pyramide Kegel Pyramiden- oder Kegelstümpfe Kugel Durch Pyramiden, die zur usgangspyramide volumengleich sind, zu einem senkrechten Prisma mit Grundfläche G ergänzen. Nachweis der Volumengleichheit mit dem Satz des avalieri. Rückführung auf den Fall einer Dreieckspyramide mit der Spitze senkrecht über einer Ecke der Grundfläche G mit Höhe h (nochmals Satz des avalieri) Zerlegung der Grundfläche in Dreiecke und damit der Pyramide in Dreieckspyramiden gleicher Höhe. Grenzwertbetrachtungen: Körper als Grenzkörper geeigneter Pyramiden Differenz von Volumina von Pyramiden oder Kegeln (Strahlensätze) Vergleich mit Zylinder mit ausgesparten Kegel (Strahlensatz und Satz des avalieri). Mathematisch korrekte egründung der Ergebnisse der Umfüllversuche aus der SI.

44 Übersicht über die eweise der Volumenformeln 3 Quader 1 lternativen mit Prinzip von avalieri oder Grenzwertbetrachtungen Körper eliebige Dreieckspyramide mit Grundfläche G und Höhe h eliebige Dreieckspyramide Kegel Kugel Methode Durch Pyramiden, die zur usgangspyramide volumengleich sind, zu einem schiefen Prisma mit Grundfläche G ergänzen und Höhe h. Nachweis der Volumengleichheit mit dem Satz des avalieri. (eweis direkter, aber weniger anschaulich) Pyramide durch Treppenkörper aus senkrechten Prismen annähern. nalog zur nnäherung der Kreisfläche durch Rechtecke. enötigt Summenformel für Quadratzahlen. Kegel durch Treppenkörper aus senkrechten Zylindern annähern. Kugel durch Treppenkörper aus senkrechten Zylindern annähern. enötigt Summenformel für Quadratzahlen. Quader Quader, deren Kantenlänge rationale Vielfache a, b, c der Längeneinheit sind. Wie bei der erechnung von Flächeninhalten der Rechtecke erhalten wir auch hier wieder aus den Eigenschaften der Volumenfunktion V V(Quader) = a b c V(W e ), W e Einheitswürfel c LE Geeigneter rationaler ruchteil des Einheitswürfels W e a LE Dies kann auch als Formel b LE V = G h aufgefasst werden.

45 Quader Quader 3 Im ild soll a = 3, b = 1, c = 4/3 sein. 3 LE 4/3 LE Geeigneter rationaler ruchteil des Einheitswürfels W e 1 LE Welchen nteil des Einheitswürfels stellt das kleine gelbe Würfelchen dar? egründen Sie damit die Formel V(Quader) = a b c V(W e ), W e Einheitswürfel Im ild soll jetzt a = 3/4, b = 1/4, c = 1/3 sein. 3/4 LE 1/3 LE Geeigneter rationaler ruchteil des Einheitswürfels W e 1/4 LE Welchen nteil des Einheitswürfels stellt jetzt das kleine gelbe Würfelchen dar? egründen Sie auch damit die Formel V(Quader) = a b c V(W e ), W e Einheitswürfel

46 Rechtwinkliges Dreiecksprisma eliebige senkrechte Prismen Rechtwinkliges Dreiecksprisma Gegeben ist ein Dreiecksprisma, dessen Grundfläche G ein rechtwinkliges Dreieck ist (Rechtwinkliges Dreiecksprisma). Wir ergänzen dieses durch ein dazu kongruentes zu einem Quader V(Quader) = G h V(Prisma) = G h eliebige senkrechte Prismen Gegeben ist ein beliebiges senkrechtes Prisma mit der Grundfläche G. h G wird in rechtwinklige Dreiecke zerlegt, die das Prisma dann in senkrechte rechtwinklige Dreiecksprismen mit Grundseiten G 1, G, G n aufteilen. V(Prisma) = G 1 h + G h + G 3 h + G 4 h = ( G 1 + G + G 3 + G 4 ) h = G h

47 Zylinder Pyramiden 1 Zylinder Ein Zylinder mit einem Kreis als Grundfläche G und der Höhe h kann von innen und außen durch Prismen beliebig genau angenähert werden. h V(Zylinder) = Grenzwert von V(n-Ecksprisma) = Grenzwert von G n h = G h Pyramiden Hinführung zur erechnungsformel: Verbinde alle Eckpunkte eines Würfels mit dem Würfelmittelpunkt. Wie viele Pyramiden entstehen?

48 Pyramiden Pyramiden 3 Pyramiden Hinführung zur erechnungsformel: V(Pyramide) = 1/6 V(Würfel) = 1/6 a 3 = 1/6 a a = 1/3 a a/ = 1/3 G h Pyramiden ndere Zerlegung Verbinde einen Eckpunkte eines Würfels mit den benachbarten Eckpunkten, so dass 3 Pyramiden entstehen.

49 Pyramiden 4 Pyramiden 5 Pyramiden V(Pyramide) = 1/3 V(Würfel) = 1/3 a 3 = 1/3 a a = 1/3 G h Spezielle Dreieckspyramiden Gegeben ist eine Pyramide, bei der die Spitze senkrecht über einer Ecke der Grundfläche G liegt. h Wir ergänzen diese Pyramide durch weitere Pyramiden, so dass ein senkrechtes Dreiecksprisma entsteht.

50 Pyramiden 6 Pyramiden 7 Spezielle Dreieckspyramiden Wir erinnern uns: Zwei Pyramiden mit inhaltsgleichen Grundflächen und gleichen Höhen haben das gleiche Volumen. S S h S h lle drei Pyramiden haben das gleiche Volumen V(Pyramide) = 1/3 V(Dreiecksprisma) = 1/3 G h Pyramiden allgemein Zu jeder Dreieckspyramide kann man eine Dreieckspyramide finden, bei der die Spitze senkrecht über einer Ecke der Grundfläche G liegt und die gleiche Höhe hat. Damit stimmt die Formel auch für beliebige Dreieckspyramiden. nalog zur allgemeinen Volumenformel für Prismen sieht, man, dass jede Pyramide in Dreieckspyramiden zerlegt werden kann. Daraus gewinnt man die Formel auch für den allgemeinen Fall V(Pyramide) = 1/3 G 1 h + 1/3 G h + + 1/3 G n h = 1/3 ( G 1 + G G n ) h = 1/3 G h

51 Pyramiden 8 Kegel Dreieckspyramiden: lternative Statt mit speziellen Dreieckspyramiden (bei der die Spitze senkrecht über einer Ecke der Grundfläche G liegt) zu arbeiten kann man die Ergänzung zu schiefen Prismen auch unmittelbar durchführen, analog zur zuvor durchgeführten Konstruktion. Mit einem dynamischen Geometrieprogramm (DynaGeo) kann man dies gut veranschaulichen. Verschiebung_Grundfläche ' G' ' ' G Die Pyramiden mit den kongruenten Grundflächen G und G' und den Spitzen ' (schwarz) bzw. (blau) haben offensichtlich gleiche Höhe und daher gleiches Volumen. Das Viereck '' ist ein Rechteck (Verschiebung von senkrecht zu auf ''). Daher sind die Dreiecke ' und '' flächeninhaltsgleich. Die Pyramiden mit diesen Dreiecken als Grundflächen und der Spitze ' (blau und grün) haben wiederum gleiche Höhe und daher auch gleiches Volumen. Kegel Ein Kegel mit einem Kreis als Grundfläche G und der Höhe h kann von innen und außen durch Pyramiden beliebig genau angenähert werden. h V(Kegel) = Grenzwert von V(n-Pyramide) = Grenzwert von 1/3 G n h = 1/3 G h

52 Kugel 1 Kugel Kugel Experimentell (Schule): Um das Volumen einer Kugel zu bestimmen, wird eine Kugel in einen geeigneten mit Wasser gefüllten Zylinder eingetaucht (h=r).. r r h =r h=r 1 r = h 3 3 r r 1 Wird die Kugel wieder entfernt, bleibt des Wassers noch übrig. 3 Das lässt vermuten: V Kugel = /3 V Zylinder = /3 r π r = 4/3 π r 3 Um diese Vermutung exakt zu bestätigen, vergleichen wir das Volumen einer Halbkugel mit dem Volumen des Restkörpers aus einem Zylinder mit Radius und Höhe r, aus dem ein Kegel mit der Höhe und dem Radius r entfernt wurde. Wir zeigen mit Hilfe des Satzes von avalieri, dass diese Volumina gleich sind. Da der Kegel 1/3 des Zylindervolumens einnimmt, wird damit die Vermutung bestätigt. r E r r E r x x x r x r

53 Kugel 3 Oberfläche und Mantel r E r x x x r x r Es genügt zu zeigen, dass die Schnittflächen der beiden Körper mit jeder zur Grundfläche parallelen Ebene E in der Höhe x den gleichen Flächeninhalt haben. Kreisring in der Höhe x: Der innere Kreis hat offensichtlich den Radius x. Ring = π r - π x = π (r - x ) Kreisfläche, in der Höhe x aus der Kugel ausgeschnitten: Radius r x = r x Kreis = π (r - x ) Damit ist gezeigt: V Kugel = /3 V Zylinder = /3 r π r = 4/3 π r 3 Oberfläche und Mantel ei Prismen und Pyramiden wird die erechnung auf die erechnung geeigneter Polygone zurückgeführt. Methoden um fehlende Längen zu erhalten: Zentrische Streckung, Strahlensätze, Ähnlichkeit Satzgruppe des Pythagoras Trigonometrie Zu speziellen Formeln für regelmäßige Prismen und Pyramiden Übungen eweisen Sie: Für regelmäßige Pyramiden, Pyramidenstümpfe, Kegel und Kegelstümpfe gilt für die Mantelfläche M M = mittlerer Umfang Seitenhöhe Präzisieren Sie die in hier vorkommenden egriffe.

54 Kegelmantel 1 Kegelmantel Kegelmantel und Oberfläche h α s Ein Kegel sei mit der Höhe h = 5 cm und r = 3 cm sei gegeben. Fertigen Sie eine Skizze des Mantels. r erechnen Sie die Länge der Seitenlinie s, den Öffnungswinkel α, die Größe der Mantelfläche die Oberfläche. Zeichnen Sie die Mantelfläche genau. Wie hängen die einzelnen Größen zusammen? Schreiben Sie die eziehungen zwischen den Größen auf. eweisen Sie die in Ihrer Formelsammlung angegebenen Formeln. h α s Ein Kegel mit der Seitenlinie s = 5 cm und einem Öffnungswinkel von α = 40 sei gegeben. Zeichnen Sie den Mantel so, dass Sie daraus ein Modell des Kegels bauen können. r

55 Startseite Kugeloberfläche Kugeloberfläche Um die Oberfläche einer Kugel mit Radius r zu berechnen stellt man sich die Kugel in kleine Kugelsektoren zerlegt vor, die annähernd Pyramiden sind. Es ist V Kugel = Summe aller Pyramidenvolumen = Summe (1/3 r G i ) = 1/3 r (Summe G i ) = 1/3 r O Kugel V Kugel = 1/3 r O Kugel O Kugel = 3/r V Kugel = 3/r 4/3 π r 3 O Kugel = 4 π r Kapitel 3: Zeichnerische Darstellung von Körpern Darstellung von Körpern in der Ebene. Quelle im Wesentlichen: Krauter, Elementargeometrie S.1-17 Ziel bei der Darstellung von räumlichen Figuren (Körpern): anschaulich - maßgerecht

56 Zentralprojektion 1 Zentralprojektion Zentralprojektion möglichst anschaulich ei einer Zentralprojektion wird ein Körper durch Projektionsstrahlen, die alle durch ein gemeinsames Zentrum verlaufen, auf eine Ebene projiziert. Zentralprojektion ist sehr anschaulich wenig maßgerecht nicht teilverhältnistreu nicht parallelentreu konstruktiv aufwendig Was tritt an die Stelle von - Parallelentreue? - Teilverhältnistreue? eispiel aus der Kunst: lbrecht Dürer, Malerei der Renaissance

57 Zentralprojektion 3 Zentralprojektion 4 lbrecht Dürer ei der Zentralprojektion wird ein Körper durch Projektionsstrahlen, die alle durch ein gemeinsames Zentrum - hier das uge - verlaufen, auf eine Ebene - hier das Hilfsgitter - projiziert. Kameralinse ildebene Linse Raum

58 Parallelprojektion 1 Senkrechte Parallelprojektion 1 Parallelprojektion möglichst maßgerecht ei einer Parallelprojektion wird ein Körper im Raum durch zueinander parallele Projektionsstrahlen auf eine Ebene projiziert. Parallelprojektion ist etwas weniger anschaulich weitgehend maßgerecht teilverhältnistreu parallelentreu konstruktiv einfach Senkrechte Parallelprojektion ei einer senkrechten Parallelprojektion wird der Raum durch zueinander parallele Projektionsstrahlen auf eine Ebene projiziert auf der die Projektionsstrahlen senkrecht stehen. Grundriss eines Hauses Drudel Da die Projektion nicht bijektiv ist, kann man aus dem ild das Urbild ohne weitere ngaben nicht mehr eindeutig rekonstruieren. Man kann zu einer solchen Projektion zusätzliche ngaben über den bstand der Punkte zur ildebene machen. Dann ist die Rekonstruktion wieder möglich. Wo trifft man dieses Verfahren im lltag?

59 Dreitafelprojektion 1 Dreitafelprojektion Dreitafelprojektion (Grundriss, ufriss, Seitenriss) Eine weitere Möglichkeit ist die ngabe einer zweiten senkrechten Parallelprojektion auf eine Ebene, die senkrecht zur ersten steht. Üblicherweise wird die erste Projektion als Grundriss und die zweite als ufriss bezeichnet. Seitenrissebene ufrissebene P'' Seitenriss P''' ufriss P'' P''' P π 3 π P' Grundrissebene Ordner Ordnerlinien gestrichelt Grundriss P' π 1 Ordner Räumliche nordnung Zugeordnete Rissebenen us dem Grundriss und dem ufriss lässt sich die senkrechte Parallelprojektion auf eine dritte, zu Grund- und ufrissebene senkrechte Projektionsebene eindeutig konstruieren: Diese nennt man Seitenriss. Dreitafelprojektion (Grundriss, ufriss, Seitenriss) Senkrechte Parallelprojektion auf drei zueinander senkrechte Projektionsebenen. Projektion auf die horizontale Standebene: Grundriss (Draufsicht) Projektion auf eine frontal stehende vertikale Ebene: ufriss (Vorder- oder Frontansicht) Projektion auf eine zu den beiden vorhergehenden senkrecht stehende dritte Ebene : Seitenriss (Seitenansicht). Ordnerlinien: Spuren beim Eindrehen der Rissebenen in die Zeichenebene bstand eines Raumpunktes P von der ufrissebene: im Grundriss (und im Seitenriss) in wahrer Größe als bstand des Punktes P bzw. P von der jeweiligen Rissachse lle ebenen Figuren im Raum, die zu der betreffenden Projektionsebene parallel sind, werden jeweils in wahrer Größe dargestellt.

60 Dreitafelprojektion 3 Parallelprojektion Eigenschaften 1 eispiel: Haus mit l = 10 m, b = 8 m, Traufhöhe h 1 = 5 m, Firsthöhe h = 3 m 1. Rissachsen. Grundriss des Hauses in wahrer Größen. lle ebenen Figurenteile, die parallel zur Grundrissebene sind, werden im Grundriss in wahrer Größe abgebildet.. ufriss im Raum lotrechte Kanten des Hauses: parallel zur ufrissebene in wahrer Länge abgebildet Hausbreite und Dachkanten erscheinen im ufriss nicht in wahrer Größe. 3..Seitenriss: verwende Ordner aus dem Grundriss und aus dem ufriss. 37,5 cm 1,5 cm,5 cm 4 cm 5 cm Zusatz: estimmung der wahren Länge der Dachkanten am Giebel. Im Grundriss: Giebeldreieck mit Hilfe der Dachstuhlhöhe h umklappen, so dass es parallel zur Grundrissebene liegt und daher in wahrer Größe dargestellt wird (Methode des Paralleldrehens ) bbildungseigenschaften der Parallelprojektion auf eine Ebene Voraussetzung: Projektionsrichtung nicht parallel zur ildebene 1. Geradentreue (eingeschränkt) Das ild einer Geraden im Raum ist eine Gerade in der ildebene. usnahme: Geraden in Projektionsrichtung werden auf einen Punkt reduziert. projizierende Lage!!!. Parallelprojektion ist keine injektive bbildung des Raums auf die ildebene. Parallelentreue Die ildgeraden von (im Raum) zueinander parallelen Geraden g und h sind in der ildebene wieder zueinander parallele Geraden g' und h' (oder zwei Punkte).

61 Parallelprojektion Eigenschaften Dreitafelprojektion 4 Wahre Länge 3. Teilverhältnistreue Teilt ein Punkt T eine Strecke in einem bestimmten Verhältnis, so teilt der ildpunkt T von T die ildstrecke von im selben Verhältnis. Insbesondere gilt: Mitte bleibt Mitte. (eweis: Projektionssatz) 4. Kongruente bbildung von zur ildebene parallelen Figuren T T lle zur ildebene parallelen ebenen Figuren (Strecken, Winkel, Flächenstücke) werden in wahrer Größe, d.h. kongruent abgebildet. Zusammenfassung: Die Parallelprojektion ist geradentreu, parallelentreu und teilverhältnistreu (mit den oben genannten Einschränkungen). Jede zur ildebene parallele Figur wird kongruent also in wahrer Größe abgebildet und zwar unabhängig von der gewählten Projektionsrichtung. Gegeben estimmung ist eine der Strecke wahren durch Länge ihr einer ild Strecke. im Grundriss und durch im ufriss. Man bestimme die wahre Länge der Strecke. Idee: Drehe die betreffende Figur so, dass sie parallel zu einer ildebene liegt. Zwei Standardverfahren: Schrägbild (schematisch) ufrissebene 1. Paralleldrehen (Drehmethode von Monge) P Q. Umklappen R P Q Die Verfahren im Einzelnen: Nächste Seite R Q Grundrissebene

62 Dreitafelprojektion 5 Wahre Länge Dreitafelprojektion 6 Wahre Länge 1. Paralleldrehen (Drehmethode von Monge) Schrägbild (schematisch) Zweitafelprojektion ufrissebene ufriss P Q P Q R P Q Grundriss Q Q R Grundrissebene R Drehen Grundriss übertragen Wahre Länge im ufriss zeichnen. Umklappen Schrägbild (schematisch) ufrissebene Zweitafelprojektion ufriss P Q P Q R P Q Grundriss Q Q R Grundrissebene R Umklappen Wahre Länge im Grundriss zeichnen

63 Dreitafelprojektion 7 Wahre Länge Dreitafelprojektion eispiel 1 Rezept zur estimmung der wahren Länge einer Strecke. Passendes (rechtwinkliges) Stützdreieck P erzeugen! P wird im ufriss in wahrer Länge dargestellt P wird im Grundriss in wahrer Länge dargestellt Stützdreieck P so drehen, dass es parallel zur Grundrissebene oder parallel zur ufrissebene liegt Schrägbild (schematisch) ufrissebene Paralleldrehen: Das Stützdreieck P wird um P soweit gedreht, bis es parallel zur ufrissebene liegt P PQ ; gedrehtes Dreieck PQ liegt parallel zur ufrissebene und wird daher in wahrer Größe abgebildet R P P Q Q Q Umklappen Das Stützdreieck P wird um P soweit gedreht, bis es parallel zur Grundrissebene liegt P PR ; gedrehtes Dreieck PR liegt parallel zur Grundrissebene und wird daher in wahrer Größe abgebildet R Grundrissebene eispiele 1 Zeichnen Sie den Grund- und ufriss eines regulären Tetraeders. Eine Tetraederfläche soll in der Grundrissebene liegen. 1. Wählen Sie eine Seitenkante, die nicht in der Grundrissebene liegt, parallel zur ufrissebene.. Wählen Sie eine Seitenkante, die in der Grundrissebene liegt, parallel zur Rissachse. 1..

64 Dreitafelprojektion eispiel 1 Lösung 1 Dreitafelprojektion eispiel 1 Lösung Eine Seitenkante parallel zur ufrissebene D'' Idee zur estimmung der Körperhöhe: Rissachse '' '' H'' '' Das Dreieck HD, das die Körperhöhe als eine Seite hat, liegt parallel zur ufrissebene. Sein ufriss zeigt die wahre Körperhöhe. ' ' D' H' ' Dieser ufriss ist konstruierbar, da das Dreieck rechwinklig ist, eine Seite dem Grundriss entnommen werden kann und eine andere Seite die Länge der Seitenkante des Tetraeders ist (rot). Eine Grundkante parallel zur Rissachse D'' Idee zur estimmung der Körperhöhe: Rissachse '' '' H'' '' Das Dreieck HD, das die Körperhöhe als eine Seite hat, wird jetzt so gedreht, dass es parallel zur ufrissebene liegt und sein ufriss die wahre Körperhöhe zeigt. ' D' H' ' Dieser ufriss ist wie zuvor konstruierbar, da wieder eine Seite dem Grundriss entnommen werden kann und eine andere Seite die Länge der Seitenkante des Tetraeders ist (rot). '

65 Dreitafelprojektion eispiel 1 Lösung 3 Dreitafelprojektion eispiele llgemeine Lage D'' Idee zur estimmung der Körperhöhe: Genauso wie im vorangehenden Fall. Rissachse '' H'' '' '' ' ' D' H' ' eispiele estimmen Sie aus dem Grund- und ufriss durch Zeichnung die wahre Länge der Dachkante EI. Zeichnen Sie den Seitenriss. Maßstab 1:00 I'' J'' Vorlage auf dem Übungsblatt. E'' H'' F'' G'' '' D'' '' '' D' H' ' G' I' J' _ ' E' ' F'

66 Dreitafelprojektion eispiele 3 Dreitafelprojektion eispiele Lösung Der rchitekt möchte ein etwas kreativeres Haus entwickeln. Der Grundriss und ein Teil des ufrisses sind gegeben. Der Dachfirst soll trotz Kreativität waagerecht verlaufen. Die wahre Länge der Kante GJ soll 5 m betragen. Vervollständigen Sie den ufriss und zeichnen Sie auch noch den Seitenriss. Maßstab 1:00 Vorlage auf dem Übungsblatt. E'' H'' F'' G'' '' D'' '' '' D' H' ' G' I' J' _ ' E' ' F' Lösung ufgabe 1. Maßstab 1:00 I'' J'',5 cm _ E'' H'' F'' G'' '' D'' _ '' '' D' H' ' G' I' J' ' E' ' F'

67 Dreitafelprojektion eispiele 3 Lösung Schrägbilder 1 Lösung ufgabe. Maßstab 1:00 I'' J'' 4,1 cm 5 cm E'' H'' F'' G'' '' D'' '' '' D' H' ' G' Wahre Länge von GJ = 5 cm I' J' 5 cm 4,1 cm ' E' ' F' Schrägbilder von Körpern Schrägbilder entstehen durch schiefe - also nicht unbedingt senkrechte - Parallelprojektion von Körpern auf eine ildebene. Sie geben in der Regel einen besseren räumlichen Eindruck von Körpern als die nsichten der Dreitafelprojektion. Man denkt sich den darzustellenden Körper eingebettet in ein räumliches kartesisches Koordinatensystem mit den chsen x, y und z, die ein so genanntes Rechtssystem bilden, d.h. angeordnet sind wie der Daumen (x-chse), der Zeigefinger (y-chse) und der Mittelfinger (z-chse) der rechten Hand. Dieses Koordinatensystem wird oft mit dem Körper zusammen abgebildet. Man spricht dann von einer xonometrie. Damit kann man Schrägbilder leichter zeichnen: Man wählt die Richtungen und die Längen der projizierten chsen aus und überträgt die Punkte aus dem Original in das projizierte Koordinatensystem.

68 Schrägbilder Schrägbilder3 eim Zeichnen verwendet man dass bei der Projektion Parallele in Parallelen übergehen, die Teilverhältnisse auf Strecken erhalten bleiben. Zwei besondere Projektionen sind gebräuchlich: 1. Schiefe Parallelprojektion in die ufrissebene: Kavalierprojektion (Frontschau). Hier ist die Projektionsebene parallel zur x-z-ebene, d.h alle Längen und Winkel aus der ufrissebene werden in wahrer Größe dargestellt. Die Richtung der Projektion der y-chse wird durch ihren Winkel α zur x- chse angegeben und die Verkürzung der Längen in diese Richtung durch einen Faktor k. Gebräuchliche Werte für α und k: α = 45, k = 0,5, manchmal auch α = 90, k = 0,5 (Zylinder und Kegel) emerkung: Man kann die Projektionsebene natürlich auch parallel zur y-z-ebene wählen. D z p y p α x p. Schiefe Parallelprojektion in die Grundrissebene: Militärprojektion (Vogelschau) Hier ist die Projektionsebene parallel zur x-y- Ebene, d.h alle Längen und Winkel aus der Grundrissebene werden in wahrer Größe dargestellt. Zudem ist die Projektionsrichtung so gewählt, dass auch alle Strecken in z-richtung in wahrer Länge abgebildet werden. y p zp D α β x p Die Richtung der Projektion der x-chse wird durch ihren Winkel β zur Horizontalen angegeben, der Winkel α zwischen x-chse und y-chse beträgt 90.. Gebräuchliche Werte für β: α = 30. Zylinder und Kegel lassen sich in dieser Weise leicht zeichnen, da die Projektion der Grundfläche ein Kreis bleibt. Schulbuch

69 Schrägbilder Übung 1 Tetraeder Schrägbilder Übung 1 Tetraeder Lösung Tetraeder Zeichnen Sie ein regelmäßiges Tetraeder mit einer Grundfläche in der Grundrissebene in Kavalierprojektion, in Militärprojektion. Wählen Sie die Winkel und Faktoren wie Sie es für günstig halten. Tetraeder D D α β grün: Seitenhöhe und ihre Projektion α β grün: Seitenhöhe und ihre Projektion 3,5 cm h D ht 3,3 cm rot: Wahre Länge der Körperhöhe 3,5 cm h D ht 3,3 cm rot: Wahre Länge der Körperhöhe Kavalierprojektion α 45, k=0,5 Militärprojektion β 0

70 Schrägbilder Übung chtecksprisma Schrägbilder Übung Lösung chtecksprisma und Zylinder Zeichnen Sie ein regelmäßiges senkrechtes chtecksprisma: - Grundfläche in der Grundrissebene und - eine Seite des chtecks parallel zur Risssachse in Grund- und ufriss, in Kavalierprojektion, in Militärprojektion. Skizzieren Sie jeweils in das Prisma einen Zylinder, der die Seitenflächen von innen berührt. enutzen Sie dafür eine andere Farbe. eachten Sie: ei Parallelprojektionen bleibet die Eigenschaft einer Geraden, Tangente an eine gekrümmte Kurve zu sein, erhalten. chtecksprisma und Zylinder Lösungen: Grund- und ufriss Konstruktion eines regelmäßigen chtecks aus einem Hilfsquadrat: Die Winkel zwischen den Diagonalen und den Symmetrieachsen durch Seitenmitten werden halbiert Eckpunkte des chtecks. Die hier konstruierten Strecken können jetzt zum Zeichnen der Kavalier- und Militärprojektion verwandt werden. Grund- und ufriss