Einerseits: Zentralperspektive

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1 VOM RAUM IN DIE EBENE UND ZURÜCK Ebene Figuren wie Dreiecke, Vierecke, andere Vielecke, Kreise lassen sich auf einem Zeichenblatt entweder in wahrer Größe oder unter Beibehaltung ihrer Form! maßstäblich vergrößert oder verkleinert darstellen (!). Vom Raum in die Ebene Räumliche Figuren (Körper) lassen sich prinzipiell nicht auf einem ebenen Zeichenblatt in wahrer Form oder Größe darstellen. Beispiel: Tetraeder Dabei bleiben alle Maße (Längen, Flächeninhalte, Winkelgrößen) evtl. bis auf einen Maßstabsfaktor erhalten. Wünschenswertes Ziel ist eine möglichst anschauliche, weitgehend maßgerechte Darstellung. Leider(?) muss dabei ein Kompromiss gefunden werden, da Anschaulichkeit und Maßgerechtheit sich teilweise widersprechen. (vgl. Krauter 005) Geometrie für den Anschauungsraum Unter dem Anschauungsraum wollen wir diejenige intersubjektive kognitive Struktur verstehen, die wir während unserer Kindheit durch einen Anpassungsprozess an den uns umgebenden physikalischen Raum, sowie durch gezielte Beschäftigung mit ebener und räumlicher Geometrie während unserer Schulzeit erworben haben. Die kognitive Struktur Anschauungsraum ermöglicht uns die Orientierung im Raum und die Anwendung geometrischer Begriffe und Verfahren in realen Situationen. (Holland 988) Es ist eine zentrale Aufgabe des Geometrieunterrichts in den Lernenden eine Vorstellung vom Anschauungsraum auszubilden. Zur Erinnerung: Wir sehen, was wir wissen. Aufgabe: Stellen Sie einen Würfel auf eine Ecke und füllen Sie ihn mit einer Flüssigkeit. Welche Form hat die Wasseroberfläche? 3 Zur Erinnerung: Schülerinnen und Schüler stellen Körper dar (z. B. als Schrägbild) Einerseits: Zentralperspektive Vorgabe: Die Darstellung soll möglichst anschaulich sein. Dabei wird ein Körper im Raum durch Projektionsstrahlen, die alle durch ein gemeinsames Zentrum verlaufen, auf eine Ebene projiziert. anschaulich wenig maßgerecht geradentreu, aber nicht parallelentreu nicht teilverhältnistreu (z.b. die Mitte bleibt nicht immer die Mitte) (vgl. Krauter 005, Müller-Philipp & Gorski 005, Abbildung erzeugt mit Euklid Dynageo) 4

2 Wenn aus Kreisen Ellipsen werden Teil. Perspektive Abbildung eines Kreises (z.b. Foto) Einerseits: Zentralperspektive konstruktiv aufwändig Entspricht der fotografischen Aufnahme Abbildung links erzeugt mit Euklid Dynageo, Abbildung rechts: Schülerinnen und Schüler stellen Körper dar (z. B. als Schrägbild) Andererseits: Parallelprojektion Vorgabe: Die Darstellung soll weitgehend maßgerecht sein. Dabei wird ein Körper im Raum durch zueinander parallele Projektionsstrahlen, auf eine Ebene projiziert. weniger (?) anschaulich weitgehend maßgerecht geradentreu (falls Gerade nicht parallel zu Projektionsrichtung) und parallelentreu teilverhältnistreu (z.b. die Mitte bleibt immer die Mitte) konstruktiv einfach Realisierung durch Schattenwurf von Kantenmodellen (Knete und Schaschlikspießchen) im Sonnenlicht oder im Abblendlicht eines PKW. Anwendung in technischen Zeichnungen und Bauplänen. Spezialfälle der Parallelprojektion von besonderer Bedeutung: Kavalierprojektion (Bildebene vertikal: Wand) Seitenansicht des Objekts in wahrer Größe Winkel zur dritten Achse frei wählbar üblich sind 35 (bzw. 45 ) Verkürzungsfaktor frei wählbar üblich sind oder Kästchendiagonale nutzen! Mit Winkel und Verkürzungsfaktor experimentieren! Welche Körper werden hier dargestellt? Abbildungen rechts erzeugt mit dem beweglichen Programm KOERPERGEOMETRIE ( 7 8

3 Wenn aus Kreisen Ellipsen werden Teil. Parallelprojektion eines Zylinders Bewegliche Konstruktion unter Ausnutzung der Eigenschaft parallelentreu. Welche Rolle spielen die Strahlensätze? Spezialfälle der Parallelprojektion von besonderer Bedeutung: Militärprojektion (Bildebene horizontal: Fußboden) Grundriss des Objekts in wahrer Größe Winkel zur dritten Achse frei wählbar üblich sind 0 (bzw. 60 ) Verkürzungsfaktor frei wählbar üblich sind bzw. 3. Was haben die beiden Darstellungen gemeinsam, was unterscheidet sie? Wie unterscheiden sich diese Darstellungen von den vorhergehenden? Abbildungen rechts erzeugt mit KOERPERGEOMETRIE 9 0 Unmögliche Figuren Abbildungen: (vgl. auch Ernst 998) Aspekte des Geometrieunterrichts (vgl. Leitidee Raum und Form) Symmetrie Kongruenz Parallelen Koordinaten Konstruktionsaufgabe Darstellungen von Körpern (insbesondere: Grenzen der Darstellungsmöglichkeiten) Gedankliche Operation mit Körpern Analyse geometrischer Objekte des Raumes

4 Noch mehr Möglichkeiten von Unmöglichem Abbildungen: Schülerinnen und Schüler stellen Körper dar Dreitafelprojektion In der Dreitafelprojektion werden Seitenriss Aufriss Grundriss betrachtet. Aufklappen zum Dreitafelbild: Zur Bildebene parallele Strecken und Winkel werden in Ihrer wahren Größe abgebildet. (vgl. Krauter 005, Müller-Philipp & Gorski 005) Dreitafelbilder Im Unterricht frei skizzieren sauber konstruieren am Computer erkunden Seitenriss Aufriss Grundriss x z 5 6

5 Dreitafelbilder Dreitafelbilder beweglich mit Euklid Dynageo (als mächtigem Werkzeug) Aufgabeninversion: Gegeben sind die drei Tafeln! Wie sieht der Körper aus? 7 8 Körpernetze Körper Warum haben Körpernetze keine Klebelaschen? Sind Pappschachteln Quader? Wie viele unterschiedliche(!) Würfelnetze gibt es? Wie viele Ecken hat ein vierdimensionaler Würfel? Netz des Körpers (Abbildungen rechts: links: - siehe auch ) Oberfläche (vom Netz zur Zahl)... analysieren [...] geometrische Objekte der Ebene und des Raumes... Oberfläche Volumen Quader ( ab + bc + ca) abc Prisma Zylinder (Quadr.) Pyramide Kegel G + Uh Gh G + Uh Gh G + M 3Gh G + M 3Gh 9 0