Geometrie 1. 1.)Geometrische Grundkonstruktionen. Halbierung einer Strecke, Mittelsenkrechte. Teilung einer Strecke. Winkelhalbierung.

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Geometrie 1. 1.)Geometrische Grundkonstruktionen. Halbierung einer Strecke, Mittelsenkrechte. Teilung einer Strecke. Winkelhalbierung."

Transkript

1 Geometrie 1 1.)Geometrische Grundkonstruktionen Halbierung einer Strecke, Mittelsenkrechte Teilung einer Strecke Winkelhalbierung Thaleskreis Konstruktion von Dreiecken Kongruenzsätze: SSS-Satz, SWS-Satz, WSW-Satz, SSW-Satz Vierecke:

2 Geometrie 2 Konstruktion von regelmäßigen 5-Eck und Zehneck (nach Kochanski) 1. Kreis mit normalen Durchmessern AB und CD 2. Halbiere einen Radius, etwa AM: AH =HM 3. Zeichne mit H als Mittelpunkt den Kreisbogen CE: E=k(H, r=ch) AB 4. ME=s 10 und CE=s 5 Goldener Schnitt: Beim Goldenen Schnitt (lateinisch: sectio aurea) oder auch bei der Goldenen Teilung seltener beim Göttlichen Schnitt oder bei der Göttlichen Teilung (lateinisch: proportio divina) entsteht ein bestimmtes Verhältnis zwischen zwei Zahlen oder zwei Größen. Dieses Verhältnis ist die Goldene Zahl (Phi) (oder das Goldene Verhältnis oder das Göttliche Verhältnis).Zum Beispiel stehen zwei Teile einer Strecke im Verhältnis, wenn sich der größere zum kleineren Teil verhält wie die ganze Strecke zum größeren Teil. Streckenverhältnisse wie beim Goldenen Schnitt werden seit der griechischen Antike als Inbegriff von Ästhetik und Harmonie angesehen. Sie werden als ideale Proportionen in Kunst und Architektur angewendet, kommen aber auch in der Natur vor. Näherungskonstruktionen des n-ecks:

3 Geometrie 3 2.) Kongruenzabbildungen Isometrien sind bijektive Abbildungen, die längentreu, geradentreu und winkeltreu sind. Kongruente Figuren sind deckungsgleiche Figuren. Schiebung (Translation) Drehung (Rotation) Spiegelung an einer Geraden (Axialspiegelung, Umklappung) Punktspiegelung (Zentralspiegelung) 3.) Ähnlichkeitsabbildungen Winkeltreu, nicht längentreu (und damit auch nicht flächentreu), dafür aber immerhin längenverhältnistreu. Zentrische Streckung: Ähnlichkeitsabbildungen als maßstäbliche Vergrößerungen oder Verkleinerungen

4 Geometrie 4 4.) Projektive Geometrie Eine Projektion ist eine lineare Abbildung eines Vektorraums Zentralprojektion 4.2.Parallelprojektion: a-)die senkrechte Parallelprojektion (Normalprojektion, orthogonale Projektion) Die parallelen Projektionsstrahlen stehen senkrecht zur Bildebene. Grundriss (Draufsicht) Aufriss (Vorderansicht) Kreuzriss (Seitenansicht) In der Dreitafelprojektion wird die Aufriss Ebene fixiert und die der Grundriss in die Fläche geklappt.

5 Geometrie 5

6 Geometrie 6 Seitenriss: Zur Veranschaulichung eines im Auf-und Grundriss dargestellten Objektes wird häufig neben den beiden Bildebenen eine dritte Bildebene (Seitenrissebene) verwendet, die entweder senkrecht zu 1 oder zu 2 ist. Dieser Normalriss bildet dann mit einem der bereits vorhandenen Risse wieder ein Paar zugeordneter Normalrisse. Der Abstand des Punktes P von der neuen Rissachse ist gleich dem ersten Tafelabstand z des Punktes P (dem Abstand des wegfallenden Risses). In technischen Zeichnungen wird die Seitenrissebene normal auf beide Ebenen gewählt, diese besondere Projektion heißt Kreuzriss

7 Geometrie 7 b.)die schräge (schiefe) Parallelprojektion Schräge und parallele Projektionsstrahlen schaffen ein räumlich wirkendes Bild, bei dem mehrere Seiten eines Körpers zu sehen sind. Die Tiefenlinien sind zueinander parallel Kotierte Projektion Im Straßenbau und in der Kartografie verwendet man sog. kotierte Projektionen. Ein Gelände oder eine Liegenschaft werden im Grundriss abgebildet, aber durch zusätzliche Angaben oder Höhenlinien bereichert. wie Höhendifferenzen

8 Geometrie Axonometrie Kartesisches Koordinatensystem

9 Geometrie 9 5.) Kegelschnitte 5.1. Ellipsenkonstruktionen Eine Ellipse kann definiert werden als die Menge aller Punkte P der Ebene, für die die Summe der Abstände zu zwei gegebenen Punkten F 1 und F 2 gleich ist. Die Punkte F 1 und F 2 heißen Brennpunkte. P

10 Geometrie 10 Scheitelkrümmungskreise 5.2. Parabelkonstruktion: Eine Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte, deren Abstand zu einem speziellen festen Punkt dem Brennpunkt gleich dem zu einer speziellen Geraden der Leitlinie ist. 5.3.Hyperbel:

1. Winkel (Kapitel 3)

1. Winkel (Kapitel 3) 1. Winkel (Kapitel 3) 1.1 Winkel Einführung 1.2 Winkel an Geraden bjak 1 1.3 Winkel am Dreieck bjak 2 1.4 Winkel am Kreis bjak 3 bjak 4 2. Dreiecke (Kapitel 3) 2.1 Linien am Dreieck bjak 5 2.2 Flächeninhalt

Mehr

Darstellende Geometrie

Darstellende Geometrie Darstellende Geometrie Bei der Darstellenden Geometrie geht es darum, einen räumlichen Gegenstand in einer zweidimensionalen Ebene darzustellen. Dabei wendet man hauptsächlich Projektionen an. Projektionen

Mehr

37 II.1. Abbildungen

37 II.1. Abbildungen 37 II.1. Abbildungen "Abbildung" und "Funktion" sind verschiedene Namen für denselben Begriff, der charakterisiert ist durch die Angabe der Definitionsmenge ("Was wird abgebildet?"), der Wertemenge ("Wohin

Mehr

Geometrie der Polygone Konstruktionen Markus Wurster 1

Geometrie der Polygone Konstruktionen Markus Wurster 1 Geometrie der Polygone Teil 6 Klassische Konstruktionen Geometrie der Polygone Konstruktionen Markus Wurster 1 Sechseck Gegeben ist der Umkreis des Sechsecks Zeichne einen Kreis mit dem gewünschten Radius

Mehr

Die Zentralprojektion

Die Zentralprojektion Perspektive Perspektivmodell (S. 1 von 6) / www.kunstbrowser.de Die Zentralprojektion Die Zentralprojektion eines Gegenstandes auf eine ebene Bildfläche ist das Grundprinzip, aus dem sich alle zentralperspektivischen

Mehr

Inhaltsverzeichnis. geometrischer Objekte auszufüllen. Die Liste der Lösungen kann auch eine ABC Liste zu diesen Themen sein.

Inhaltsverzeichnis. geometrischer Objekte auszufüllen. Die Liste der Lösungen kann auch eine ABC Liste zu diesen Themen sein. Lückentexte 1 zu den Themen: I. Der Kreis als Figur in der Ebene II. Der Kreis als Figur im Raum III. Die Kugel Multiple Choice Aufgabe zum Thema IV. Ebene Schnitte einer Kugel Kreuzworträtsel zu den Themen:

Mehr

Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002

Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002 Klausur zur Einführung in die Geometrie im SS 2002 Name, Vorname... Matr.Nr.... Semester-Anzahl im SS 2002:... Studiengang GH/R/S Tutor/in:... Aufg.1 Aufg,2 Aufg.3 Aufg.4 Aufg.5 Aufg.6 Aufg.7 Aufg.8 Gesamt

Mehr

Wo viel Licht ist, ist starker Schatten.

Wo viel Licht ist, ist starker Schatten. Wo viel Licht ist, ist starker Schatten. (Goethe; Götz von Berlichingen) Perspektive & Schatten Die senkrechte Parallelprojektion (Normalperspektive) Aufriss (Vorderansicht Blick von vorne) Seitenriss

Mehr

Übersicht zu den Textinhalten

Übersicht zu den Textinhalten Abbildungen Übersicht zu den Textinhalten Zum Thema Abbildungen gibt es mehrere Texte. Hier wird aufgelistet, wo man was findet. Datei Nr. 11050 Stand 3. Oktober 2013 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK

Mehr

mentor Lernhilfe: Mathematik 7. Klasse Baumann

mentor Lernhilfe: Mathematik 7. Klasse Baumann mentor Lernhilfen mentor Lernhilfe: Mathematik 7. Klasse Geometrie: Achsen- und Punktspiegelung, Drehung, Verschiebung, Winkelgesetze von Rolf Baumann 1. Auflage mentor Lernhilfe: Mathematik 7. Klasse

Mehr

Zentrische Streckung Mündliche Aufgaben

Zentrische Streckung Mündliche Aufgaben Zentrische Streckung Mündliche Aufgaben Aufgabe 1 Was ist eine zentrische Streckung mit Zentrum Z und Streckungsfaktor k? Aufgabe 1 Was ist eine zentrische Streckung mit Zentrum Z und Streckungsfaktor

Mehr

ABBILDUNGEN. Schiebung, Drehung, Spiegelung, Streckung. Version 2.0 Herbert Paukert. Definition der Abbildungen [ 02 ] Theorie der Abbildungen [ 07 ]

ABBILDUNGEN. Schiebung, Drehung, Spiegelung, Streckung. Version 2.0 Herbert Paukert. Definition der Abbildungen [ 02 ] Theorie der Abbildungen [ 07 ] Ein PAUMEDIA-Projekt Herbert Paukert 1 ABBILDUNGEN Schiebung, Drehung, Spiegelung, Streckung Version 2.0 Herbert Paukert Definition der Abbildungen [ 02 ] Theorie der Abbildungen [ 07 ] Hauptachsen-Transformationen

Mehr

Aufgabe E 1 (8 Punkte)

Aufgabe E 1 (8 Punkte) Aufgabe E (8 Punkte) Auf einem Billardtisch (bei dem die Koordinatenachsen x = 0 und y = 0 als Banden dienen) liegen zwei Kugeln P( ) und Q(3 ) Die Kugel P soll so angestoßen werden, dass sie nach Reflexion

Mehr

Begründen in der Geometrie

Begründen in der Geometrie Nr.6 9.6.2016 Begründen in der Geometrie Didaktische Grundsätze Zuerst die geometrischen Phänomene erkunden und kennenlernen. Viel zeichnen! Vierecke, Kreise, Dreiecke, Winkel, Strecken,... In dieser ersten

Mehr

Einleitung. Aufgaben: Vergrössern / Verkleinern. 1. Die Geo-Maus

Einleitung. Aufgaben: Vergrössern / Verkleinern. 1. Die Geo-Maus Kantonsschule Solothurn Geometrie: Zentrische Streckung und Ähnlichkeit RYS Zentrische Streckung und Ähnlichkeit Einleitung Aufgaben: Vergrössern / Verkleinern 1. Die Geo-Maus a) Zeichne die Geo-Maus noch

Mehr

1.10 Geometrie. 1 Die zentrische Streckung Einführung und Definition der zentrischen Streckung... 2

1.10 Geometrie. 1 Die zentrische Streckung Einführung und Definition der zentrischen Streckung... 2 1.10 Geometrie Inhaltsverzeichnis 1 Die zentrische Streckung 2 1.1 Einführung und Definition der zentrischen Streckung..................... 2 1.2 Flächeninhalte bei zentrischer Streckung............................

Mehr

8.Perspektive (oder Zentralprojektion)

8.Perspektive (oder Zentralprojektion) 8.Perspektive (oder Zentralprojektion) In unseren bisherigen Vorlesungen haben wir uns einfachheitshalber mit Parallelprojektionen beschäftigt. Das menschliche Sehen (damit meinen wir immer das Sehen mit

Mehr

Kurven. Mathematik-Repetitorium

Kurven. Mathematik-Repetitorium Kurven 7.1 Vorbemerkungen, Koordinatensysteme 7.2 Gerade 7.3 Kreis 7.4 Parabel 7.5 Ellipse 7.6 Hyperbel 7.7 Allgemeine Gleichung 2. Grades Kurven 1 7. Kurven 7.1 Vorbemerkungen, Koordinatensysteme Koordinatensystem

Mehr

Lösungen zum Thema Geometrie. Lösungen zur Aufg. 0: a) Gib an, um welche besondere Linie im Dreieck es sich jeweils handelt.

Lösungen zum Thema Geometrie. Lösungen zur Aufg. 0: a) Gib an, um welche besondere Linie im Dreieck es sich jeweils handelt. Lösungen zum Thema Geometrie Lösungen zur Aufg. 0: a) Gib an, um welche besondere Linie im Dreieck es sich jeweils handelt. Höhe h c Winkelhalbierende w α Mittelsenkrechte ms c Seitenhalbierende s c b)

Mehr

Lineare Abbildungen L : R 2 R 2

Lineare Abbildungen L : R 2 R 2 Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen L : R 2 R 2 Eine Abbildung Eine Abbildung ordnet jedem Element aus einer Menge A Eine Abbildung ordnet jedem Element aus einer Menge A ein Element aus einer Menge

Mehr

Schwerpunktfach AM/PH, 2011 KEGELSCHNITTE

Schwerpunktfach AM/PH, 2011 KEGELSCHNITTE Schwerpunktfach AM/PH, 011 KEGELSCHNITTE 5. Kreis und Ellipse 5.1. Grundkonstruktionen am Kreis Konstruktion 1: Konstruiere einen Kreis, welcher durch die gegebenen 3 Punkte A,B und C verläuft: C B A Konstruktionsbericht:

Mehr

2.3.1 Rechtshändiges und linkshändiges Koordinatensystem

2.3.1 Rechtshändiges und linkshändiges Koordinatensystem 2.3. Rechtshändiges und linkshändiges Koordinatensstem Die Koordinatenachsen im dreidimensionalen Raum lassen sich auf wei verschieden Arten anordnen: Linkshändig und Rechtshändig (s. Abbildung 2.9). Um

Mehr

Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16. Kapitel 2. Abbildungsgeometrie. Teil 2

Geometrie (4b) Wintersemester 2015/16. Kapitel 2. Abbildungsgeometrie. Teil 2 Kapitel 2 Abbildungsgeometrie Teil 2 1 Maximilian Geier, Institut für Mathematik, Campus Landau, Universität Koblenz Landau Kapitel 2 Abbildungsgeometrie 2.1 2,3,4 Geradenspiegelungen 2.2 Sinn & Orientierung

Mehr

Figur in der Bildfläche bzw. Bildebene

Figur in der Bildfläche bzw. Bildebene 2 ABBILDUNGSMETHODEN 2.1 Projektionsarten Um dreidimensionale Objekte wie Gebäude, Stadträume oder Bauteile darzustellen, werden diese auf eine Bildfläche bzw. eine Bildebene abgebildet. Der hierbei verwendete

Mehr

Inhaltsverzeichnis. I Planimetrie.

Inhaltsverzeichnis. I Planimetrie. Inhaltsverzeichnis I Planimetrie. Winkel 1.1 Einführung 1.1.1 Definition eines Winkels 1 1.1.2 Messung von Winkeln in Grad (Altgrad) 1 1.1.3 Orientierte Winkel 2 1.1.4 Winkelkategorien 2 1.2 Winkel an

Mehr

Kapitel I. Grundlagen der ebenen euklidischen Geometrie... 5 Einleitung Affine Ebenen... 7

Kapitel I. Grundlagen der ebenen euklidischen Geometrie... 5 Einleitung Affine Ebenen... 7 Inhaltsverzeichnis Prolog. Die Elemente des Euklid... 1 1. Euklid 2. Axiome 3. Über die Sprache der Geometrie Kapitel I. Grundlagen der ebenen euklidischen Geometrie... 5 Einleitung... 5 1. Affine Ebenen...

Mehr

1. Winkel- und Seitensymmetralen (Südpolsatz) 2. An und Inkegelschnitte. 3. Zweite und erste Steinergerade

1. Winkel- und Seitensymmetralen (Südpolsatz) 2. An und Inkegelschnitte. 3. Zweite und erste Steinergerade Übungen zu GeoGebra F. Hofbauer Auf den folgenden Seiten sind Konstruktionsübungen zu finden, die mit einer dynamischen Geometriesoftware (Geogebra) durchgeführt werden können. Man kann auf diese Weise

Mehr

B) Konstruktion des geometrischen Mittels und geometrisches Wurzelziehen :

B) Konstruktion des geometrischen Mittels und geometrisches Wurzelziehen : Seite I Einige interessante elementargeometrische Konstruktionen Ausgehend von einigen bekannten Sätzen aus der Elementargeometrie lassen sich einige hübsche Konstruktionen herleiten, die im folgenden

Mehr

SAE. Geometrie B Name: Sekundarschulabschluss für Erwachsene

SAE. Geometrie B Name: Sekundarschulabschluss für Erwachsene SE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie 2014 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: nichtprogrammierbarer Taschenrechner, Geometrie-Werkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60 Für die

Mehr

Name und des Einsenders

Name und  des Einsenders Titel der Einheit Stoffgebiet Name und Email des Einsenders Ziel der Einheit Inhalt Voraussetzungen Konstruktion von Kegelschnitten Geometrie Andreas Ulovec Andreas.Ulovec@univie.ac.at Verwenden von Dynamischer

Mehr

Examen Kurzfragen (sortiert) VI. Dreiecke. 24. Juni 2014

Examen Kurzfragen (sortiert) VI. Dreiecke. 24. Juni 2014 Examen Kurzfragen (sortiert) VI. Dreiecke 24. Juni 2014 VI. Dreiecke Frage 1 Wie werden im rechtwinkligen Dreieck die beiden Seiten genannt, die dem rechten Winkel anliegen? VI. Dreiecke Frage 1 Wie werden

Mehr

Perspektive Vertiefung

Perspektive Vertiefung Perspektive Vertiefung Hans-Peter Schröcker Arbeitsbereich Geometrie und CAD, Universität Innsbruck Wintersemester 2007/08 Teil I Einleitung Organisatorisches Perspektive Vertiefung Seminar, 2 Std. Donnerstag,

Mehr

Mitschriebe, Skripten, Bücher, einfacher Taschenrechner

Mitschriebe, Skripten, Bücher, einfacher Taschenrechner Prüfungsfach: Darstellende Geometrie Termin: 20. März 2014 Prüfungsbeginn: Prüfungsende: zugel. Hilfsmittel: Hinweis: 13.00 Uhr 14.00 Uhr Mitschriebe, Skripten, Bücher, einfacher Taschenrechner Wir bitten

Mehr

Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie 1

Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie 1 Übungsaufgaben Geometrie und lineare Algebra - Serie. Bei einer geraden Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche von 00 cm beträgt die Seitenkante 3 cm. a) Welche Höhe hat die Pyramide? b) Wie groß

Mehr

Kegelschnitte. Mathematik I ITB. Kegelschnitte. Prof. Dr. Karin Melzer

Kegelschnitte. Mathematik I ITB. Kegelschnitte. Prof. Dr. Karin Melzer Kegelschnitte 10.11.08 Kegelschnitte: Einführung Wir betrachten,,,. Literatur: Brücken zur Mathematik, Band 1 Grundlagen, Analytische Geometrie Kreis Denition als geometrischer Ort: Der geometrische Ort

Mehr

Geometrie. Homepage zur Veranstaltung: Lehre Geometrie

Geometrie. Homepage zur Veranstaltung:  Lehre Geometrie Geometrie 5.1 Geometrie Homepage zur Veranstaltung: http://www.juergen-roth.de Lehre Geometrie Geometrie 5.2 Inhaltsverzeichnis Geometrie 0 Geometrie!? 1 Axiome der Elementargeometrie 2 Kongruenzabbildungen

Mehr

Beispiel: Die abgebildeten Geo-Dreiecke und das Wandtafelmodell habe dieselbe Form.

Beispiel: Die abgebildeten Geo-Dreiecke und das Wandtafelmodell habe dieselbe Form. 1 5. Abbildung durch zentrische Streckung Beispiel: Die abgebildeten Geo-Dreiecke und das Wandtafelmodell habe dieselbe Form. a) Worin stimmen die Dreiecke überein? b) Angenommen die Kathete des Wandtafeldreiecks

Mehr

Sekundarschulabschluss für Erwachsene. Geometrie A 2012

Sekundarschulabschluss für Erwachsene. Geometrie A 2012 SAE Sekundarschulabschluss für Erwachsene Name: Nummer: Geometrie A 2012 Totalzeit: 60 Minuten Hilfsmittel: Nichtprogrammierbarer Taschenrechner und Geometriewerkzeug Maximal erreichbare Punktzahl: 60

Mehr

Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt.

Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke

Mehr

EXAMENSKOLLOQUIUM ARITHMETIK/ GEOMETRIE. 22. Januar 2014

EXAMENSKOLLOQUIUM ARITHMETIK/ GEOMETRIE. 22. Januar 2014 EXAMENSKOLLOQUIUM ARITHMETIK/ GEOMETRIE 22. Januar 2014 ORGANISATORISCHER RAHMEN Die Staatsexamensklausur Termin: 11. März 2014 Zeitrahmen: 240 Minuten 160 Minuten Didaktik der Geometrie/Arithmetik (30

Mehr

GEOMETRIE (4a) Kurzskript

GEOMETRIE (4a) Kurzskript GEOMETRIE (4a) Kurzskript Dieses Kurzskript ist vor allem eine Sammlung von Sätzen und Definitionen und sollte ausdrücklich nur zusammen mit weiteren Erläuterungen in der Veranstaltung genutzt werden.

Mehr

Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1

Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 1 2006 Runde 1 Aufgabe 1 Die Ziffern von 1 bis 5 sollen so in einer Reihe angeordnet werden, dass jedes Paar benachbarter Ziffern eine Zahl ergibt, die ein Produkt zweier einstelliger Zahlen ist. Bestimme

Mehr

Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe

Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe ALGEBRA 1. Grundlagen Grundlagen Mathematik 7. Jahrgangsstufe Menge der ganzen Zahlen Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... } Menge der rationalen Zahlen Q = { z z Z und n N } (Menge aller n positiven und

Mehr

8.Kreisdarstellung in Perspektive

8.Kreisdarstellung in Perspektive 8.Kreisdarstellung in Perspektive Kegelschnitte durch fünf Punkte Wie wir bereits wissen, läßt sich ein Kegel grundsätzlich nach 4 verschiedenen Kurven schneiden: Kreis, Ellipse, Parabel oder Hyperbel.

Mehr

Mitschriebe, Skripten, Bücher, einfacher Taschenrechner

Mitschriebe, Skripten, Bücher, einfacher Taschenrechner Prüfungsfach: Darstellende Geometrie Termin: 2. September 2015 Prüfungsbeginn: Prüfungsende: zugel. Hilfsmittel: Hinweis: 9.00 Uhr 10.00 Uhr Mitschriebe, Skripten, Bücher, einfacher Taschenrechner Wir

Mehr

Josef Vogelmann Darstellende Geometrie

Josef Vogelmann Darstellende Geometrie Josef Vogelmann Darstellende Geometrie Kamprath-Reihe Technik Dipl.-Ing. (FH) Josef Vogelmann Darstellende Geometrie Die Lehre vom richtigen Zeichnen eine Grundlage des technischen Zeichnens 5. Auflage

Mehr

DG für Kunstpädagogik

DG für Kunstpädagogik DG für Kunstpädagogik Kreisdarstellung in Perspektive Kegelschnitte durch fünf Punkte Wie wir bereits wissen, läßt sich ein Kegel grundsätzlich nach 4 verschiedenen Kurven schneiden: Kreis, Ellipse, Parabel

Mehr

Didaktik der Elementargeometrie

Didaktik der Elementargeometrie Humboldt-Universität zu Berlin Sommersemester 2014. Institut für Mathematik A. Filler Zusammenfassende Notizen zu der Vorlesung Didaktik der Elementargeometrie 2 Konstruieren im Geometrieunterricht Konstruieren

Mehr

Einführung in GeoGebra Geometrie

Einführung in GeoGebra Geometrie ICT an der KZN Einführung in GeoGebra Geometrie Ähnlichkeit Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 28. Februar 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung und Zielsetzung 2 2 freeware

Mehr

Zeichnung: Malte Kittelmann AXONOMETRIE

Zeichnung: Malte Kittelmann AXONOMETRIE Zeichnung: Malte Kittelmann 3 AXONOMETRIE Die leichte Überlappung der axonometrischen Grundrisse in der nebenstehenden Abbildung des Reichstagsgebäudes erleichtert das Erkennen, was oben und was unten

Mehr

7.1 Algebra Rechnen mit rationalen Zahlen und Termen

7.1 Algebra Rechnen mit rationalen Zahlen und Termen Gymnasium bei St. Anna, Augsburg Seite 1 Grundwissen 7. Klasse 7.1 Algebra 7.1.1 Rechnen mit rationalen Zahlen und Termen WH: Siehe dazu..3 Vorrangregeln und.. K-, A-, D-Gesetze sowie 6. Rechengesetze

Mehr

Seminar 3-D Grafik Mathematische Grundlagen, Räume, Koordinatensysteme, Projektionen. Hermann Schwarz Marko Pilop

Seminar 3-D Grafik Mathematische Grundlagen, Räume, Koordinatensysteme, Projektionen. Hermann Schwarz Marko Pilop Seminar 3-D Grafik Mathematische Grundlagen, Räume, Koordinatensysteme, Projektionen Hermann Schwarz Marko Pilop 2003-11-20 http://www.informatik.hu-berlin.de/~pilop/3d_basics.pdf {hschwarz pilop}@informatik.hu-berlin.de

Mehr

5 Methoden zur genauen Ermittlung des Goldenen Schnittes:

5 Methoden zur genauen Ermittlung des Goldenen Schnittes: Der Goldene Schnitt Harmonie und Proportion in Kunst, Design, Innenarchitektur und Architektur Die in der Natur herrschenden Verhältnisse des gleichseitigen Dreiecks, des Quadrates, des gleichseitigen

Mehr

Übungen zu Geometrie (LGy) Universität Regensburg, Sommersemester 2014 Dr. Raphael Zentner, Dr. Olaf Müller

Übungen zu Geometrie (LGy) Universität Regensburg, Sommersemester 2014 Dr. Raphael Zentner, Dr. Olaf Müller Übungen zu Geometrie (LGy) Universität Regensburg, Sommersemester 2014 Dr. Raphael Zentner, Dr. Olaf Müller Übungsblatt 13 Dieses Übungsblatt wird nicht mehr zur Abgabe vorgesehen. Es dient der Wiederholung

Mehr

Geometrie. in 15 Minuten. Geometrie. Klasse

Geometrie. in 15 Minuten. Geometrie. Klasse Klasse Geometrie Geometrie 6. Klasse in 5 Minuten Winkel und Kreis Zeichne und überprüfe in deinem Übungsheft: a) Wo liegen alle Punkte, die von einem Punkt A den Abstand cm haben? b) Färbe den Bereich,

Mehr

Mathematik Klasse 11 Maximilian Ernestus 1

Mathematik Klasse 11 Maximilian Ernestus 1 QUADRATISCHE FUNKTIONEN UND PARABELN Mathematik Klasse 11 Maximilian Ernestus 1 1. Geraden und ihre Gleichungen Zu jeder Geraden lässt sich in einem Koordinatensystem eine Gleichung angeben. Diese Gleichung

Mehr

Koordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9.

Koordinatengeometrie. Aufgabe 4 Untersuchen Sie die Funktion f(x) = x² 9. Koordinatengeometrie Aufgabe 1 Gegeben sind der Punkt P (-1; 9) sowie die Geraden g: 3x y + 6 = 0 und h: x + 4y 8 = 0. a) Die Geraden g und h schneiden einander im Punkt S. Berechnen Sie die exakten Koordinaten

Mehr

Montessori-Diplomkurs Inzlingen Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke

Montessori-Diplomkurs Inzlingen Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke Geometrische Mappe Die metallenen Dreiecke 1 Material 4 metallene Rahmen (14 cm X 14 cm) mit gleichseitigen Dreiecken (Seitenlänge 10 cm). Die Dreiecke sind wie folgt unterteilt Ganze Halbe Drittel Viertel

Mehr

Achsen- und punktsymmetrische Figuren

Achsen- und punktsymmetrische Figuren Achsensymmetrie Der Punkt P und sein Bildpunkt P sind symmetrisch bzgl. der Achse s, wenn ihre Verbindungsstrecke [PP ] senkrecht auf der Achse a steht und von dieser halbiert wird. Zueinander symmetrische......strecken

Mehr

Themenbereich: Besondere Dreiecke Seite 1 von 6

Themenbereich: Besondere Dreiecke Seite 1 von 6 Themenbereich: Besondere Dreiecke Seite 1 von 6 Lernziele: - Kenntnis der Bezeichnungen für besondere Dreiecke - Kenntnis der Seiten- und Winkelbezeichnungen bei besonderen Dreiecken - Kenntnis der Eigenschaften

Mehr

Was kann ich? 1 Geometrie. Vierecke (Teil 1)

Was kann ich? 1 Geometrie. Vierecke (Teil 1) Was kann ich? 1 Geometrie. Vierecke (Teil 1) 1 Markiere Strecken rot und Geraden blau. 2 Welche Strecken und Geraden sind senkrecht zueinander, welche parallel? Schreibe mit den Zeichen und. 3 Zeichne

Mehr

Klasse 5 c 2. Schulaufgabe aus der Mathematik Gruppe

Klasse 5 c 2. Schulaufgabe aus der Mathematik Gruppe 1. erechne, gegebenenfalls mit allen notwendigen Zwischenschritten. a) 1476 489 b) 309 444 c) 79 254 d) 89 + 335 e) 456 (234 567) f) 132 (412 157) g) 45 + 87 23 78 + 198 + 58 125 + 27 2. Den fünften und

Mehr

Winkeldreiteilung. Michael Schmitz

Winkeldreiteilung. Michael Schmitz www.mathegami.de Februar 2010 Winkeldreiteilung Michael Schmitz Zusammenfassung Im folgenden Beitrag geht es um die Dreiteilung eines beliebigen Winkels mit Hilfe von Zirkel und Lineal. Da eine solche

Mehr

Wird ein Kreiskegel von einer Ebene geschnitten, welche zu einer Mantellinie des Kegels parallel ist, so entsteht als Schnittkurve eine Parabel.

Wird ein Kreiskegel von einer Ebene geschnitten, welche zu einer Mantellinie des Kegels parallel ist, so entsteht als Schnittkurve eine Parabel. 1 3 Die Parabel 3.1 Die Parabel als Kegelschnitt Wird ein Kreiskegel von einer Ebene geschnitten, welche zu einer Mantellinie des Kegels parallel ist, so entsteht als Schnittkurve eine Parabel. Sei SP

Mehr

Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure 2015

Vorkurs Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure 2015 7 Kombinatorik https://de.wikipedia.org/wiki/abzählende_kombinatorik 7.1 Grundformeln https://de.wikipedia.org/wiki/variation_(kombinatorik) https://de.wikipedia.org/wiki/permutation https://de.wikipedia.org/wiki/fakultät_(mathematik)

Mehr

γ(a, γ(b, c)) = γ(γ(a, b), c)). γ(e, x) = γ(x, e) = x.

γ(a, γ(b, c)) = γ(γ(a, b), c)). γ(e, x) = γ(x, e) = x. Algebraische Strukturen, insbesondere Gruppen 1 Verknüpfungen M sei eine Menge. Dann heißt jede Abbildung γ : M M M eine Verknüpfung (jedem Paar von Elementen aus M wird auf eindeutige Weise ein Element

Mehr

Hilfsmittel bei Geometrieaufgaben. Ein Kompendium für Klasse 8

Hilfsmittel bei Geometrieaufgaben. Ein Kompendium für Klasse 8 Hilfsmittel bei Geometrieaufgaben. Ein Kompendium für Klasse 8 Lisa Sauermann März 2013 Geometrie ist ein wichtiges Gebiet bei der Olympiade, das neben viel Kreativität und einem geübtem Auge auch einige

Mehr

Zum Einstieg. Mittelsenkrechte

Zum Einstieg. Mittelsenkrechte Zum Einstieg Mittelsenkrechte 1. Zeichne einen Kreis um A mit einem Radius r, der größer ist, als die Länge der halben Strecke AB. 2. Zeichne einen Kreis um B mit dem gleichen Radius. 3. Die Gerade durch

Mehr

Einleitung 2. 1 Koordinatensysteme 2. 2 Lineare Abbildungen 4. 3 Literaturverzeichnis 7

Einleitung 2. 1 Koordinatensysteme 2. 2 Lineare Abbildungen 4. 3 Literaturverzeichnis 7 Sonja Hunscha - Koordinatensysteme 1 Inhalt Einleitung 2 1 Koordinatensysteme 2 1.1 Kartesisches Koordinatensystem 2 1.2 Polarkoordinaten 3 1.3 Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten 3

Mehr

Geometrie, Einführung

Geometrie, Einführung Geometrie, Einführung Punkte, Linien 1. Gib die Längen von 3 Strecken r, s. t an, welche nicht die Seiten eines Dreiecks sein können. Begründe deine Wahl. 2. a) Zeichne Punkte und Geraden, welche folgende

Mehr

Böttcher/Forberg Technisches Zeichnen

Böttcher/Forberg Technisches Zeichnen Ulrich Kurz Herbert Wittel Böttcher/Forberg Technisches Zeichnen Grundlagen, Normung, Darstellende Geometrie und Übungen Mit 1.173 Abbildungen, 98 Tabellen, zahlreichen Beispielen und Projektaufgaben 25.,

Mehr

3 Abbildungen in der Ebene

3 Abbildungen in der Ebene 18 3 Abbildungen in der Ebene Wir behandeln in diesem Kapitel Abbildungen von Punkten der Ebene auf Punkte. Ziel dieser Betrachtung ist, Funktionsgraphen mit diesen Abbildungen (punktweise) abzubilden

Mehr

Vorwort: Farbe statt Formeln 7

Vorwort: Farbe statt Formeln 7 Inhaltsverzeichnis Vorwort: Farbe statt Formeln 7 1 Die Grundlagen 11 1.1 Vom Geodreieck zum Axiomensystem................ 11 1.2 Erste Folgerungen aus den Axiomen................. 24 1.3 Winkel.................................

Mehr

MATHEMATIK-WETTBEWERB 2009/2010 DES LANDES HESSEN

MATHEMATIK-WETTBEWERB 2009/2010 DES LANDES HESSEN MATHEMATIK-WETTBEWERB 2009/2010 DES LANDES HESSEN 3. RUNDE LÖSUNGEN 1. a) L { 1; 0; 1} b) L {... ; 1; 0; 1; 2} c) L {2; 3; 4}, denn: x 4 0 oder falls x 4 > 0 dann x + 3 5 oder falls x 4 < 0 dann x + 3

Mehr

Probleme und Möglichkeiten zur Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens (RVV)

Probleme und Möglichkeiten zur Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens (RVV) Probleme und Möglichkeiten zur Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens (RVV) 1. Schülerleistungen 2. Darstellenden Geometrie und RVV im MU 3. Fachliche und begriffliche Probleme 4. Ergebnisse

Mehr

Geometrie. Grundkonstruktionen. Grundkonstruktionen

Geometrie. Grundkonstruktionen. Grundkonstruktionen Geometrie Grundkonstruktionen Sehr oft wird am Ende der Gymiprüfung eine Geometrieaufgabe gestellt. Diese kombiniert alle Techniken, die du in der Primarschule gelernt hast: Kreise zeichnen, parallel verschieben,

Mehr

Konstruktion von Kreistangenten

Konstruktion von Kreistangenten Konstruktion von Kreistangenten 1 Gegeben sind die Punkte A und B mit AB = 5cm Konstruiere die Geraden durch B, die von A den Abstand 3cm haben! 2 Eine Ecke einer Rasenfläche, an der die geraden Ränder

Mehr

MATHEMATIK-WETTBEWERB 2014/2015 DES LANDES HESSEN

MATHEMATIK-WETTBEWERB 2014/2015 DES LANDES HESSEN MATHEMATIK-WETTBEWERB 04/05 DES LANDES HESSEN. RUNDE LÖSUNGEN AUFGABENGRUPPE A. L = { 5} oder x = 5, denn x 5 = 0 oder x 5 = 0 x = 5 oder x = 5 x = 5 oder x = 5 L = {... ; ; ; 0; 4; 5;...}, denn x 5 >

Mehr

mentor Lernhilfe: Mathematik 8. Klasse Baumann

mentor Lernhilfe: Mathematik 8. Klasse Baumann mentor Lernhilfen mentor Lernhilfe: Mathematik 8. Klasse Geometrie: Dreieckkonstruktionen, Kongruenzsätze, Kreis und Gerade, Raumgeometrie von Rolf aumann 1. uflage mentor Lernhilfe: Mathematik 8. Klasse

Mehr

Lineare Algebra und analytische Geometrie II

Lineare Algebra und analytische Geometrie II Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie II Vorlesung 36 Dreiecke In dieser und der nächsten Vorlesung stehen Dreiecke im Mittelpunkt. Unter einem Dreieck verstehen

Mehr

Grundwissen. Gymnasium Eckental Mathematisch-naturwissenschaftliches Gymnasium Neusprachliches Gymnasium. Jahrgangsstufe: 7(G8)

Grundwissen. Gymnasium Eckental Mathematisch-naturwissenschaftliches Gymnasium Neusprachliches Gymnasium. Jahrgangsstufe: 7(G8) Gymnasium Eckental Mathematisch-naturwissenschaftliches Gymnasium Neusprachliches Gymnasium Gymnasium Eckental Neunkirchener Straße 9042 Eckental Grundwissen Jahrgangsstufe: 7(G8) Vereinfachen von Summen

Mehr

Didaktik der Geometrie

Didaktik der Geometrie Jürgen Roth Didaktik der Geometrie Modul 5: Fachdidaktische Bereiche 3.1 Inhalt Didaktik der Geometrie 1 Ziele und Inhalte 2 Begriffsbildung 3 Konstruieren 4 Argumentieren und Beweisen 5 Problemlösen 6

Mehr

Einige Ergebnisse der euklidischen Geometrie

Einige Ergebnisse der euklidischen Geometrie 1 Teil I Einige Ergebnisse der euklidischen Geometrie In Teil I setzen wir den euklidischen Raum als bekannt voraus (aus der Schule oder aus der Vorlesung Lineare lgebra und nalytische Geometrie). Da wir

Mehr

Städtewettbewerb Frühjahr 2010

Städtewettbewerb Frühjahr 2010 Städtewettbewerb Frühjahr 010 Lösungsvorschläge Hamburg 3. März 010 [Version 19. April 010] M Mittelstufe Aufgabe M.1 (3 P.). In sechs Körben befinden sich Äpfel, Birnen und Pflaumen. In jedem Korb liegen

Mehr

Jahresplanung Vorschlag 1

Jahresplanung Vorschlag 1 Jahresplanungen zum Lehrplan der AHS-Oberstufe Darstellende Geometrie Jahresplanung Vorschlag 1 7. Klasse Zeitraum Inhalte Hinweise zur Umsetzung 4 Stunden 1. Einführung allgemeine Grundbegriffe Projektionen

Mehr

Prof. S. Krauter Endliche Geometrie SS_2005 Klausurbeispiele.doc

Prof. S. Krauter Endliche Geometrie SS_2005 Klausurbeispiele.doc Prof. S. Krauter Endliche Geometrie SS_2005 Klausurbeispiele.doc Der Lösungsgang ist jeweils knapp aber vollständig darzustellen. Die Darstellung soll sauber, genau und übersichtlich sein. Konstruktionen

Mehr

Die Hyperbel als Kreis

Die Hyperbel als Kreis Kapitel 6 Die Hyperbel als Kreis Wir haben uns im vorigen Kapitel mit der von der Wellenausbreitung nahegelegten Spiegelungskonstruktion und dem Lichteck (Abb. 4.8, 5.1) auseinandergesetzt. Diese Konstruktion

Mehr

Demo für

Demo für Aufgabensammlung Mit ausführlichen Lösungen Geradengleichungen und lineare Funktionen Zeichnen von Geraden in vorgefertigte Koordinatensysteme Aufstellen von Geradengleichungen Schnitt von Geraden Die

Mehr

Landeswettbewerb Mathematik

Landeswettbewerb Mathematik Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg Musterlösungen. Runde 010/011 Aufgabe 1 In einem 10x10-Gitter mit quadratischen Feldern werden 10 Spielsteine so gesetzt, dass in jeder Spalte und jeder Zeile

Mehr

Funktion der technischen Zeichnung

Funktion der technischen Zeichnung 3 Funktion der technischen Zeichnung Form, Größe, Oberflächenbeschaffenheit, Aufbau und Funktion von Werkstücken, Vorrichtungen oder gar Maschinen sind mit Worten nur schwer und meist unvollständig zu

Mehr

Zentrische Streckung. Station 4. Aufgabe (R) Name: Ähnlichkeit, Strahlensätze. Führe eine zentrische Streckung durch. Beachte den Streckungsfaktor k.

Zentrische Streckung. Station 4. Aufgabe (R) Name: Ähnlichkeit, Strahlensätze. Führe eine zentrische Streckung durch. Beachte den Streckungsfaktor k. Ähnlichkeit, Strahlensätze Station 4 Zentrische Streckung Aufgabe (R) Führe eine zentrische Streckung durch. Beachte den Streckungsfaktor k. a) k = 1,5 Z b) k = 0,5 Z c) k = 2,1 Z 12 Station 5 Aufgabe

Mehr

3.6 Einführung in die Vektorrechnung

3.6 Einführung in die Vektorrechnung 3.6 Einführung in die Vektorrechnung Inhaltsverzeichnis Definition des Vektors 2 2 Skalare Multiplikation und Kehrvektor 4 3 Addition und Subtraktion von Vektoren 5 3. Addition von zwei Vektoren..................................

Mehr

Featurebasierte 3D Modellierung

Featurebasierte 3D Modellierung 1 Featurebasierte 3D Modellierung Moderne 3D arbeiten häufig mit einer Feature Modellierung. Hierbei gibt es eine Reihe von vordefinierten Konstruktionen, die der Reihe nach angewandt werden. Diese Basis

Mehr

2 Das Bild In Schulbüchern und Arbeitsblättern sieht man oft Würfel -Darstellungen wie etwa in der Abbildung 1. Abb. 1: Was ist denn das?

2 Das Bild In Schulbüchern und Arbeitsblättern sieht man oft Würfel -Darstellungen wie etwa in der Abbildung 1. Abb. 1: Was ist denn das? Hans Walser, [20131013], [20160331], [20160401] Quetschwürfel 1 Worum geht es? Es wird auf die Problematik der in Schulen weitverbreiteten Schrägbilder eingegangen. 2 Das Bild In Schulbüchern und Arbeitsblättern

Mehr

Rechnen mit Vektoren. 1. Vektoren im Koordinatensystem Freie Vektoren in der Ebene

Rechnen mit Vektoren. 1. Vektoren im Koordinatensystem Freie Vektoren in der Ebene Rechnen mit 1. im Koordinatensystem 1.1. Freie in der Ebene 1) Definition Ein Vektor... Zwei sind gleich, wenn... 2) Das ebene Koordinatensystem Wir legen den Koordinatenursprung fest, ferner zwei zueinander

Mehr

Geometrie Winkel und Vierecke PRÜFUNG 02. Ohne Formelsammlung! Name: Klasse: Datum: Punkte: Note: Klassenschnitt/ Maximalnote : Ausgabe: 2.

Geometrie Winkel und Vierecke PRÜFUNG 02. Ohne Formelsammlung! Name: Klasse: Datum: Punkte: Note: Klassenschnitt/ Maximalnote : Ausgabe: 2. GEOMETRIE PRÜFUNGSVORBEREITUNG Seite 1 Geometrie Winkel und Vierecke PRÜFUNG 02 Name: Klasse: Datum: : Note: Ausgabe: 2. Mai 2011 Klassenschnitt/ Maximalnote : Selbsteinschätzung: / (freiwillig) Für alle

Mehr

XIII Geometrische Abbildungen und Matrizen

XIII Geometrische Abbildungen und Matrizen XIII Geometrische Abbildungen und Matrizen Geometrische Abbildungen und Abbildungsgleichungen 0 8 k= R' 6 S' R S P' Q' Q x P Z=O 6 8 0 Fig. Bei einer zentrischen Streckung wird von einem Punkt, dem Zentrum,

Mehr

Spiegelungen und einige Anwendungen Natalie Mangels Ulrike Beelitz

Spiegelungen und einige Anwendungen Natalie Mangels Ulrike Beelitz Spiegelungen und einige Anwendungen 30.10.2014 Natalie Mangels Ulrike Beelitz Allg. Kompetenzen im Geometrieunterricht Ebene und räumliche Figuren werden analysiert, klassifiziert und durch Skizzen, Konstruktionen,

Mehr

Kapitel 2: Mathematische Grundlagen

Kapitel 2: Mathematische Grundlagen [ Computeranimation ] Kapitel 2: Mathematische Grundlagen Prof. Dr. Stefan M. Grünvogel stefan.gruenvogel@fh-koeln.de Institut für Medien- und Phototechnik Fachhochschule Köln 2. Mathematische Grundlagen

Mehr

Sätze über Kreise raumgeometrisch beweisen mit Cabri 3D

Sätze über Kreise raumgeometrisch beweisen mit Cabri 3D Heinz Schumann Sätze über Kreise raumgeometrisch beweisen mit Cabri 3D Herrn Prof. Dr. Hans Schupp zum 70. Geburtstag gewidmet Das dynamische Raumgeometrie-System Cabri 3D eignet sich nicht nur für die

Mehr