Gert Bär. Geometrie. Eine Einführung für Ingenieure und Naturwissenschaftler. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage

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1 Gert Bär Geometrie Eine Einführung für Ingenieure und Naturwissenschaftler 2., überarbeitete und erweiterte Auflage Teubner B.G.Teubner Stuttgart Leipzig Wiesbaden

2 Inhalt 1 Aus der analytischen Geometrie der Ebene Koordinatensysteme Koordinatensysteme auf der Geraden Koordinatensysteme in der Ebene Koordinatentransformation und Polarkoordinaten Kreise und Drehungen Parameterdarstellung und Gleichung einer Geraden Kegelschnitte Parabel Ellipse Hyperbel 21 Aufgaben 23 2 Grundbegriffe der analytischen Geometrie Geometrische Punkt- und Vektorräume Koordinatensysteme im Raum Addition von Vektoren Vervielfachung von Vektoren Vektorräume Geraden und Ebenen Beispiele Abstände, Winkel und Inhalte Skalarprodukt Winkel zwischen Vektoren bzw. Geraden Linearkombination und Basis, Orthogonalprojektion Zylinder- und Kugelkoordinaten im 3-Raum Vektor- und Spatprodukt im 3-Raum Metrische Grundaufgaben mit Geraden und Ebenen Gleichung einer Ebene, Abstand Punkt-Ebene Abstand Punkt-Gerade Schnitt Gerade-Ebene Schnitt zweier Ebenen Winkel zwischen Geraden und Ebenen 58 Aufgaben 58 3 Elementare Kurven und Flächen Kreis und Kugel Schnitt Gerade-Kugel Tangente und Tangentialebene Parameterdarstellungen Kurven und Tangenten Flächen und Tangentialebenen EULERsche und implizite Flächendarstellung 67

3 8 Inhalt 3.3 Spezielle Flächen Zylinder und Prisma Kegel und Pyramide Kreis im Raum, Drehzylinder und-kegel Tangentialebenen an Zylinder und Kegel Regelflächen und Torsen 71 Aufgaben 74 4 Parallelprojektion Grundbegriffe Definition und Abbildungsdarstellung Eigenschaften Parallelriss einer Kurve bzw. Fläche Perspektive Affinität Definition und Eigenschaften Die Ellipse als perspektiv affines Kreisbild Axonometrie Axonometrische Vorgaben und Abbildungsprinzip Axonometrisches Zeichnen Standardisierte Axonometrien 90 Aufgaben 93 5 Zentralprojektion und der projektiv erweiterte Anschauungsraum Der projektiv erweiterte Anschauungsraum Zentralprojektion Definition und Eigenschaften Freie Perspektive Abbildungsgleichungen Rekonstruktion einer ebenen Figur Doppelverhältnis Rekonstruktion des Zentralrisses einer Geraden Rekonstruktion einer ebenen Figur 108 Aufgaben Koordinatentransformationen und Bewegungen Basis- und Koordinatensystemtransformation Basistransformation Koordinatensystemtransformation Anwendungen in der ebenen Kinematik Kartesische Koordinatentransformation in der Ebene Punktbahnen und-geschwindigkeiten Radlinien Anwendungen in der räumlichen Kinematik Drehungen im Raum Roboter-Bewegung Getriebebewegung 126

4 Inhalt Bewegflächen Definition und Eigenschaften Drehflächen Schraubflächen 131 Aufgaben Abbildungen Translationen, Spiegelungen und Drehungen Translation Spiegelung an einem Punkt bzw. einer Geraden Spiegelung an einer Ebene Drehung Affine Abbildungen Definition und Eigenschaften Ähnlichkeit Produkte und Fixpunkte Kongruente Abbildungen in der Ebene Orthonormale zweireihige Matrizen Bewegungen Umlegungen Kongruente Abbildungen im Raum Bewegungen Umlegungen Klassifikation 151 Aufgaben Grundbegriffe der projektiven Geometrie Vom projektiv erweiterten Raum zum projektiven Raum Homogene Punkt-und Hyperebenenkoordinaten Der J-dimensionale projektive Raum Dualitätsprinzip Analytische Geometrie in der projektiven Ebene Verbinden und Schneiden von Punkten und Geraden Schnittpunktsätze Kollineationen und Korrelationen Projektive Abbildungen Rekonstruktion einer ebenen Figur Kegelschnitte Der dreidimensionale projektiv erweiterte Raum Grundbegriffe Verbinden und Schneiden PLÜCKERsche Geradenkoordinaten 175 Aufgaben Kurven Natürliche Darstellung, invariante Ableitungen Sehnenpolygon und Bogenlänge Höhere invariante Ableitungen 181

5 10 Inhalt 9.2 Das begleitende Dreibein Tangenten-, Haupt- und Binormalenvektor Formeln von FRENET Geometrische Deutung von Krümmung und Windung Berechnung von Krümmung und Windung Kanonische Entwicklung Der Krümmungskreis Technisch wichtige ebene Kurven Evolute und Evolvente Parallelkurven Computergestützter Kurvenentwurf Aufgabenstellung LAGRANGEsche BP-Kurve C- und G r -Verbindung von Kurvensegmenten HERMTTEsche IP-Kurven BEZIER-Kurven 198 Aufgaben Weitere spezielle Flächen Interpolations- und Freiformflächen Tensorprodukt-Interpolation mit LAGRANGEschen Polynomen BEZIER-Flächen Flächen 2. Ordnung 205 Aufgaben 207 Lösungen 208 Anhang: Überblick zur Matrizenrechnung 214 Literatur 216 Sachregister 218 Bezeichnungen 222