Worksheet zur Hauptachsentransformation

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1 Worksheet zur Hauptachsentransformation with(linearalgebra): with(plots): Die Gleichungen fuer Kreise, Ellipsen und Hyperbeln sind (mehr oder weniger) bekannt: der Einheitskreis besteht aus den Punkten ( ) der Ebene mit. Genauso ist die Gleichung einer Hyperbel, die Gleichung einer Ellipse mit Halbachsen. Wir zeichnen diese Kurven: implicitplot(x^2+y^2-1,x=-1..1,y=-1..1,scaling=constrained); y 0 x implicitplot(x^2-y^2-1,x=-4..4,y=-4..4,scaling=constrained);

2 3 y x implicitplot(x^2/3+y^2-1,x=-3..3,y=-1..1,scaling=constrained);

3 y x 1 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln werden auch Kegelschnitte genannt; der Grund dafuer ist, dass diese Kurven als Schnittlinien auftreten, wenn man einen Kegel mit Ebenen verschiedener Neigung schneidet. Um das zu sehen, definieren wir zunaechst einen Kegel; die Plotstrukturen wkegel und pkegel unterschieden sich nur in der Art der Darstellung. wkegel:=implicitplot3d(x^2+y^2-z^2,x= ,y= ,z= , scaling=constrained,numpoints=30000,style=wireframe): pkegel:=implicitplot3d(x^2+y^2-z^2,x= ,y= ,z= , scaling=constrained,numpoints=30000,style=patchcontour): Anschliessend definieren wir Ebenen verschiedener Neigung: ebene1:=implicitplot3d(z=5,x= ,y= ,z=-2..6): ebene3:=implicitplot3d(z=1-x,x= ,y=-5..5,z= ): pngebene3:=implicitplot3d(z=1-x,x= ,y=-5..5,z= , style=patchnogrid): ebene2:=implicitplot3d(z=-x/2+3,x= ,y= ,z= ): ebene4:=implicitplot3d(x=2,x=-5..5,y=-5..5,z= ): Jetzt bringen wir die Ebenen mit dem Kegel zum Schnitt; als Schnittkurven erhalten

4 wir nacheinander Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel. display(wkegel,ebene1); display(pkegel,ebene2);

5 display(pkegel,ebene3);

6 display(pkegel,ebene4,orientation=[30,105]);

7 Die Parabel zeichnen wir auch noch als parametrisierte Raumkurve, dafuer eliminieren wir zunaechst eine Variable aus den beiden solve({x^2+y^2-z^2=0,z=1-x}); curve:=spacecurve([-w^2/2+1/2,w,(1/2+w^2/2)],w=-5..5,color=black) : display(pngebene3,curve);

8 Wir definieren jetzt symmetrische 2 x 2 -Matrizen; ist A eine dieser Matrizen, so ist die Gleichung einer der ebenen Kurven von oben, und zwar fuer K ein Kreis, fuer E eine Ellipse, fuer H und fuer H3 eine Hyperbel. H:=<<1,0 <0,-1; K:=<<1,0 <0,1; E:=<<1,0 <0,3; H3:=<<3,0 <0,-1;

9 Die Matrix t ist die Matrix der Drehung um 45 Grad, hier benutzt als die Matrix des Uebergangs zu einem um 45 Grad gedrehten Koordinatensystems. Die Matrix der bezueglich der Standardbasis durch E gegebenen Bilinearform bezueglich der neuen Basis ist E1. t:=<<sqrt(2)/2,-sqrt(2)/2 <sqrt(2)/2,sqrt(2)/2; E_1:=Transpose(t). E. t; Wir betrachten jetzt die durch diese Matrizen (wie oben) gegebenen quadratischen Polynome und zeichnen die Nullstellengebilde der zugehoerigen Gleichungen. Zunaechst fuer die Matrizen E, E1; dem Polynom zu E1 sieht man schon nicht mehr so direkt an, welche geometrische Figur man als Nullstellengebilde erhaelt: xv:=<x[1],x[2]; b0:=expand(bilinearform(xv,xv,e,conjugate=false)); b1:=expand(bilinearform(xv,xv,e_1,conjugate=false)); p0:=implicitplot( b0-3, x[1]=-3..3,x[2]=-3..3,numpoints=2000): display(p0);

10 x x 1 p1:=implicitplot( b1-3, x[1]=-3..3,x[2]=-3..3,numpoints=2000): display(p1);

11 1 x x 1 Wir zeichnen jetzt noch die Hauptachsen der gedrehten Ellipse ein. achsen:=implicitplot(x1^2-x2^2,x1= ,x2= ,color= blue,numpoints=1000): display(p1,achsen,scaling=constrained);

12 1 x x 1 Jetzt machen wir dasselbe fuer H und fuer H3, auch den Polynomen fuer H_1 und fuer H_3 sieht man nicht direkt an, welche Kurven man erhaelt: H; H_1:=Transpose(t). H. t; H3; H3_1:=Transpose(t). H3. t;

13 b2:=expand(bilinearform(xv,xv,h3_1,conjugate=false)); p2:=implicitplot( b2-3, x[1]=-3..3,x[2]=-3..3): display(p2,achsen,scaling=constrained); 3 2 x x 1 b3:=expand(bilinearform(xv,xv,h_1,conjugate=false)); p3:=implicitplot( b3-3, x[1]=-3..3,x[2]=-3..3): display(p3,achsen,scaling=constrained);

14 3 2 x x 1 Zum Abschluss zeichnen wir auch noch eine Parabel. implicitplot( x1^2-2*x2, x1=-3..3,x2=-3..3);

15 3 2 x x1 Und weil's so schoen war, zeichnen wir auch noch ein paar der zugehoerigen Rotationskoerper, die natuerlich auch als Quadriken gegeben sind:: Ellipsoid:=implicitplot3d(3*x^2+2*y^2+z^2=3,x=-1..1,y=-2..2,z=-2..2,scaling=constrained,numpoints=30000,style=patchcontour): display(ellipsoid);

16 Hyperboloid:=implicitplot3d(3*x^2+2*y^2-z^2=3,x=-2..2,y=-3..3,z= -2..2,scaling=constrained,numpoints=30000,style=patchcontour): display(hyperboloid);

17 Hyperboloid2:=implicitplot3d(3*x^2+2*y^2-z^2=-3,x=-3..3,y=-5..5, z=-5..5,scaling=constrained,numpoints=30000,style=patchcontour): display(hyperboloid2);

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