Algebraische Kurven und Flächen

Transkript

1 Matheseminar, 6. Februar 2015

2 Algebraische Kurven Inhalt 1 Algebraische Kurven 2 Parametrisierung 3 Algebraische Flächen

3 Algebraische Kurven Definition Definition Eine ebene algebraische Kurve C ist die Lösungsmenge einer Gleichung F (x, y) = 0, wobei F ein Polynom in x und y ist. Wir schreiben C = {(a, b) R 2 F (a, b) = 0}.

4 Algebraische Kurven Beispiele

5 Algebraische Kurven Gegenbeispiele

6 Algebraische Kurven Aufgabe Zeichnen Sie die folgende Kurve F (x, y) = 2x 4 3x 2 y + y 2 2y 3 + y 4 = 0

7 Algebraische Kurven Mehrfache Punkte Definition Sei C eine Kurve (definiert durch F (x, y) = 0) und P = (a, b) ein Punkt. P ist ein einfacher Punkt der Kurve, wenn er auf C liegt, also F (a, b) = 0. P ist ein zweifacher Punkt der Kurve, wenn er zusätzlich F F x (a, b) = 0 und y (a, b) = 0 erfüllt. P ist ein (n + 1)-facher Punkt der Kurve, wenn er ein n-facher ist und n F x (a, b) = n n F x n 1 y... = n F y (a, b) = 0 erfüllt. n

8 Algebraische Kurven Grad Definition Der Grad von x a y b ist a + b. Wir schreiben deg(x a y b ). Der Grad von cx a y b ist a + b. Der Grad von c 1 x a 1 y b 1 + c 2 x a 2 y b 2 ist max(a 1 + b 1, a 2 + b 2 )

9 Algebraische Kurven Aufgaben Bestimmen Sie die Vielfachheit der Punkte auf den Kurven F (x, y) = x 3 y 2, P 1 = (0, 0), P 2 = (1, 1) F (x, y) = x 3 2x + 1 y 2, P 1 = (0, 1), P 2 = (1, 0) F (x, y) = y 2 (y 1)(y 2)(y + 5) (x 2 1) 2, P 1 = (1, 5), P 2 = (1, 0) Bestimmen Sie den Grad der Polynome F (x, y) = (x 2 + y 2 ) 2 (y 2) + y(4x 4 + x 2 + y 2 ) F (x, y) = x 2 (3x 2 y 2 ) 2 + y 2 (x 2 + y 2 )

10 Parametrisierung Inhalt 1 Algebraische Kurven 2 Parametrisierung 3 Algebraische Flächen

11 Parametrisierung Aufgabe Finden Sie (rationale) Punkte auf den folgenden Kurven F (x, y) = (x 2 + y 2 ) 3 x 2 (x y 2 ) + 8y 2 (y 2 + 2) = 0 F (x, y) = (x 2 + y 2 1) 3 x 2 y 3 = 0 F (x, y) = x 2 + 2xy + y 2 + x + 2y 2 = 0

12 Parametrisierung Parametrisierung Definition Sei C = {(a, b) R 2 F (a, b) = 0} eine algebraische Kurve. Eine (rationale) Parametrisierung P(t) von C ist ein Paar P(t) = (r(t), s(t)) für das gilt: F (r(t), s(t)) = 0 für alle t R. Für fast alle Punkte (x, y) C gibt es ein t, sodass P(t) = (x, y). Die beiden Komponenten r und s sind rationale Funktionen, also von der Form a 0 + a 1 t + a 2 t a n t n b 0 + b 1 t + b 2 t b m t m

13 Parametrisierung Beispiel F (x, y) = x 2 +y 2 1 = 0 ( ) P(t) = 2t, 1 t2 1+t 2 1+t 2 P(0) = (0, 1) P(1) = (1, 0) P( 1) = ( 1, 0)

14 Parametrisierung Idee Gegeben sei eine Kurve C vom Grad d

15 Parametrisierung Idee Gegeben sei eine Kurve C vom Grad d Wir nehmen an, der Ursprung sei ein (d 1)-facher Punkt von C

16 Parametrisierung Idee Gegeben sei eine Kurve C vom Grad d Wir nehmen an, der Ursprung sei ein (d 1)-facher Punkt von C. Geradenschar h(x, y) = y tx

17 Parametrisierung Aufgabe Finden Sie eine Parametrisierung der folgenden Kurven Ellipse Neilsche Parabel Kartesisches Blatt Maclaurin Trisektrix b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 x 3 y 2 x 3 + y 3 3xy y 2 (a x) x 2 (x + 3a)

18 Parametrisierung Idee Gegeben sei eine Kurve C vom Grad d Wir nehmen an, der Ursprung sei ein (d 1)-facher Punkt von C. Geradenschar h(x, y) = y tx

19 Parametrisierung Algorithmus Gegeben sei eine Kurve C vom Grad d Wir nehmen an, der Ursprung sei ein (d 1)-facher Punkt von C. Geradenschar h(x, y) = y tx F (x, y) = F d (x, y)+f d 1 (x, y)

20 Parametrisierung Algorithmus Gegeben sei eine Kurve C vom Grad d Wir nehmen an, der Ursprung sei ein (d 1)-facher Punkt von C. Geradenschar h(x, y) = y tx F (x, y) = F d (x, y)+f d 1 (x, y) F (x, tx) = x d 1 (xf d (1, t) + F d 1 (1, t))

21 Parametrisierung Algorithmus Gegeben sei eine Kurve C vom Grad d Wir nehmen an, der Ursprung sei ein (d 1)-facher Punkt von C. Geradenschar h(x, y) = y tx F (x, y) = F d (x, y)+f d 1 (x, y) F (x, tx) = x d 1 (xf d (1, t) + F d 1 (1, t)) g(x) = xf d (1, t) + F d 1 (1, t)

22 Parametrisierung Algorithmus Gegeben sei eine Kurve C vom Grad d Wir nehmen an, der Ursprung sei ein (d 1)-facher Punkt von C. Geradenschar h(x, y) = y tx F (x, y) = F d (x, y)+f d 1 (x, y) F (x, tx) = x d 1 (xf d (1, t) + F d 1 (1, t)) g(x) = xf d (1, t) + F d 1 (1, t) Parametrisierung: ( F d (1,t) d d 2 (1,t), t F d (1,t) d d 2 (1,t) )

23 Parametrisierung Aufgabe/Lösung Finden Sie eine Parametrisierung der folgenden Kurven Ellipse Neilsche Parabel Kartesisches Blatt Maclaurin Trisektrix b 2 x 2 + a 2 y 2 a 2 b 2 x 3 y 2 x 3 + y 3 3xy y 2 (a x) x 2 (x + 3a) ( ) ( ) ( ( 2ab 2 a 2 t 2 +b 2 + a, 2ab 2 t a 2 t 2 +b 2 (t 2, t 3 ) 3t t 3 +1, 3t2 t 3 t t 2 +1, t t 2 ) ) 3 t 2 +1

24 Algebraische Flächen Inhalt 1 Algebraische Kurven 2 Parametrisierung 3 Algebraische Flächen

25 Algebraische Flächen Definition Definition Eine algebraische Fläche S ist die Lösungsmenge einer Gleichung F (x, y, z) = 0, wobei F ein Polynom in x, y und z ist. Wir schreiben S = {(a, b, c) R 3 F (a, b, c) = 0}.

26 Algebraische Flächen Beispiele

27 Algebraische Flächen Vereinigung und Schnitt

28 Algebraische Flächen Surfer