Einige Bemerkungen zu den verallgemeinerten Kegelschnitten von Zvonimir Durčević

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1 Definition 1. Es seien B, D Punkte und c eine Gerade oder ein Kreis in einer Ebene ε siehe Abb. 1 bzw.. Lässt man einen Punkt auf c laufen, dann durchläuft der Schnittpunkt X der Geraden g : D mit der Streckensmmetralen h von B und eine Kurve k in ε, die wir im Folgenden verallgemeinerten Kegelschnitt nennen. B heiße Brennpunkt, D Leitpunkt und c Leitlinie des verallgemeinerten Kegelschnitts k. Bemerkung 1. Im Fall, wo c eine Gerade ist, ist die Ortskurve der Halbierungspunkte H der Strecken B jene Gerade c parallel zu c, die aus c durch Streckung aus B mit dem Faktor 1 entsteht. Analog: Ist c ein Kreis, dann ist die Ortskurve der Halbierungspunkte H der Strecken B jener Kreis c, der aus c durch Streckung aus B mit dem Faktor 1 entsteht. c c g h H X k D c r X H h c t L S 1 O S B D ϕ g M O B k p p b Abbildung 1: Verallgemeinerter Kegelschnitt k mit seinem Brennpunkt B, seinem Leitpunkt D und einer Geraden c als Leitlinie. Abbildung : Verallgemeinerter Kegelschnitt k mit seinem Brennpunkt B, seinem Leitpunkt D und einem Kreis c als Leitlinie. 1 Verallgemeinerter Kegelschnitt mit einer Geraden als Leitlinie Wir betrachten zunächst den Fall, wo c eine Gerade ist. Der Abstand des Brennpunktes B von c sei mit p bezeichnet, der Fußpunkt des Lotes aus B auf c heiße L. Für die analtische Beschreibung der Kurve k legen wir die - bzw. -Achse des Koordinatensstems in die Gerade c bzw. in das Lot aus B auf c. Somit fällt der Koordinatenursprung O in den Halbierungspunkt der Strecke BL. Der Leitpunkt D besitze Koordinaten d 1, d. Als Parameter verwenden wir die -Koordinate t von H. Die Punkte B p, 0 H haben dann bzgl. des gewählten Koordinatensstems die Koordinaten 0, t. Als Gleichung der p, t Geraden h erhalten wir p t t 0. 1 Seite 1 von 5

2 Die Gerade g wird durch die Parameterdarstellung d 1 d λ p d 1 t d, λ R erfasst. Durch Einsetzen von in 1 erhalten wir λ t pd 1 td p pd 1 td 4t, 3 was nach Einsetzen in die Koordinaten von X und somit einen Parametrisierung der Kurve k liefert: pd t p d 1 t p pd 1 4d t 8t p d 4pd 1 t 4d t 8t 3 p pd 1 4d t 8t, t R 4 Damit ist klar, dass es sich bei k um eine rationale Kurve mit algebraischer Ordnung kleiner gleich 3 handelt. Durch Elimination des Parameters t aus den beiden Gleichungen 4 erhalten wir ihre Gleichung: 8p 3 8d 4p 8d 1 4d 16pd 1 8pd p 4d1 8pd1 4pd p d p d 0 5 Bemerkung. Folgende Eigenschaften lassen sich für verallgemeinerte Kegelschnbitte mit einer Geraden c als Leitlinie leicht überprüfen: a Der Fernpunkt Y u der Geraden c gehört i. A. dem verallgemeinerten Kegelschnitt k an. Die Richtungen der weiteren Fernpunkte von k erhält man so: Man schneidet den Kreis k 1 mit Durchmesser BD mit der Leitgeraden c. Die Verbindungsgerade von D mit einem so erhaltenen Schnittpunkt gibt dann eine Asmptotenrichtung an. Die drei zwei reelle Punkte folgenden Fälle können auftreten: Hat k 1 mit der Leitgeraden einen reellen Punkt gemeinsam, zwei konjugiert komplee Punkte zwei reelle Fernpunkte. dann besitzt k neben Y u noch einen reellen Fernpunkt. zwei konjugiert komplee Fernpunkte. b Der Leitpunkt D gehört i.a. dem verallgemeinerten Kegelschnitt k als Singularität an. Weiters: Schneidet man den durch B gehenden und in D zentrierten Kreis k mit der Leitgeraden c, dann sind die Verbindungsgeraden von D mit zwei reellen Punkten diesen Schnittpunkten die Tangenten an k in D. Schneiden sich c und k in einem reellen Punkt, zwei konjugiert kompleen Punkten dann ist D der Kur- ve k. Doppelpunkt mit reellen Doppelpunktstangenten. Spitze Doppelpunkt mit konjugiert kompleen Doppelpunktstangenten isolierter Doppelpunkt c Liegt der Leitpunkt D auf Geraden BL -Achse gilt also d 0, dann besitzt der verallgemeinerte Kegelschnitt k diese Gerade als Smmetrieachse. Die Gleichung 5 der Kurve vereinfacht sich dann zu 8p 3 4p 8d 1 16pd 1 p 4d 1 8pd Seite von 5

3 Führt man nun noch den Grenzübergang durch, der D in den Fernpunkt der Geraden BL bringt, dann wird k zu jener Parabel, die B als Brennpunkt und c als Leitlinie besitzt. Das verifiziert man z.b., indem man die Gleichung 6 durch d 1 dividiert und dann d 1 gegen gehen lässt, was 6 in die Gleichung der genannten Parabel überführt: In diesem Sonderfall liegt Y u nicht auf k. p d Die -Achse des gewählten Koordinatensstems hat neben Y u noch zwei weitere Punkte S 1 und S mit k gemeinsam. Diese erhält man durch die in Abb. 1 dargestellte Konstruktion. Liegt der Leitpunkt D auf BL -Achse, dann fallen S 1 und S zusammen. Verallgemeinerter Kegelschnitt mit einem Kreis als Leitlinie Nun sei die Leitlinie c ein Kreis mit Mittelpunkt M und Radius r siehe Abb.. Wir wählen in diesem Fall jenes Koordinatensstem, dessen Ursprung O mit M zusammenfällt und dessen -Achse den Brennpunkt B enthält. B hat somit Koordinaten b, 0, jene des Leitpunktes D seien d 1, d. Bezeichnet ϕ den Winkel zwischen der -Achse und einem Radiusvektor O von c, dann ist r cos ϕ, ϕ [0, π 7 r sin ϕ eine Parametrisierung von c. Damit besitzt der Punkt H die Koordinaten 1 b cos ϕ, 1 sin ϕ und die Streckensmmetrale h hat die Gleichung r cos ϕ b r sin ϕ 1 r b 0. 8 Die Gerade g wird durch die Parametrisierung d 1 d λ r cos ϕ d 1 r sin ϕ d, λ R 9 erfasst. Durch Einsetzen von 9 in 8 erhalten wir λ rd 1 cos ϕ rd sin ϕ r b bd 1 rb d 1 cos ϕ rd sin ϕ r bd 1, 10 was nach Einsetzen in 9 die folgende Parametrisierung des verallgemeinerten Kegelschnitts k liefert: rd1 cos ϕ rd sin ϕ r b bd 1 r cos ϕ d1 d 1 r b d 1 cos ϕ rd sin ϕ r bd 1 rd1 cos ϕ rd sin ϕ r b bd 1 r sin ϕ d d r b d 1 cos ϕ rd sin ϕ r bd 1, ϕ [0, π 11 Durch die übliche Halbwinkelsubstitution t : tan ϕ und somit cos ϕ 1 t t, sin ϕ 1 t 1 t Seite 3 von 5

4 erhält man eine rationale Parametrisierung von k: d 1 λt d r 1 t d 1 1 t 1 t rt d 1 t 1 t 1 mit λt rd 11 t 4rd t r bd 1 b t 1 rb d 1 1 t 4rd t bd 1 r t 1. Damit ist klar, dass es sich bei k um eine rationale Kurve von höchstens 4. Ordnung handelt. Die Gleichung von k ergibt sich durch Elimination des Parameters t aus den beiden Zeilen von 1: 4 b r d 4 8d 1 d 3 4 b r d 1 d 8d 1 d 3 4 d 1 r 4 4 b d 1 r b bd 3 8d r b bd 1 4 br b d 1 r bd 1 8r d 3 r b 8bd 1 r b 4b d 1 8b d 4r d 1 d 8bd b r bd 1 r b 4b d1 r d1 r d r b bd1 d d 1 r b d r b r b d 1 d 0 13 Bemerkung 3. Für einen verallgemeinerten Kegelschnitt k, dessen Leitlinie c ein Kreis ist, gilt: a k besitzt die beiden absoluten Kreispunkte als konjugiert komplee Fernpunkte. Die Richtungen der weiteren Fernpunkte von k erhält man so: Man schneidet den Kreis k 1 mit Durchmesser BD mit dem Leitkreis c. Die Verbindungsgerade von D mit einem so erhaltenen Schnittpunkt gibt dann eine Asmptotenrichtung an. Die drei zwei reelle Punkte folgenden Fälle können auftreten: Hat k 1 mit c einen reellen Punkt gemeinsam, dann besitzt zwei konjugiert komplee Punkte zwei reelle Fernpunkte. k neben den beiden absoluten Kreispunkten noch einen reellen Fernpunkt. zwei konjugiert komplee Fernpunkte. b analog zu Bemerkung, b, wobei lediglich das Wort Leitgerade durch das Wort Leitkreis zu ersetzen ist. c Liegt der Leitpunkt D auf jenem Durchmesser von c, der auch B enthält d.i. die -Achse gilt also d 0, dann liegt k smmetrisch bzgl. der -Achse. Die Gleichung 13 von k vereinfacht sich dann zu 4 b r 4 4 b r d 1 4 d 1 r 4 4r b b d br b d 1 r bd 1 r b r b 4d 1 b d 1 r b r b 4d1 r b bd1 d 1 r b d1 r b 0 14 Fällt D sogar in den Mittelpunkt M O von k, gilt also d 1 d 0, dann besitzt die Gleichung von k die folgende Gestalt: 4r b 4br b 4r r b 0 15 Seite 4 von 5

5 Daraus 1 erkennen wir, dass k in das Paar isotroper Geraden g... i 0, g... i 0 durch M O hierbei ist i 1 und den durch b r r b r 4 0 erfassten Kegelschnitt l zerfällt. l besitzt B und D als Brennpunkte und N b, 0 als Mittelpunkt. Für b < r also für B innerhalb des Leitkreises c ist l eine Ellipse mit Hauptachsenlänge r und Nebenachsenlänge r b, für b > r also für B außerhalb von c stellt sich eine Hperbel mit Achsenlänge r und Asmptotensteigungen ± b r r ein. 1 Wir lassen hier den Fall r b beiseite, welcher bedeutet, dass B auf c liegt. In diesem Fall zerfällt k in das angeführte isotrope Geradenpaar g, g und in die -Achse, welche doppelt zu zählen ist. Seite 5 von 5