4 Ein wenig analytische Geometrie. 4.1 Einige Grundgebilde der projektiven Geometrie Geraden in homogenen Koordinaten

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1 4 Ein wenig analytische Geometrie 4.1 Einige Grundgebilde der projektiven Geometrie Geraden in homogenen Koordinaten (a) Im Raum/Ebene in Parameterform Siehe Figur a (ohne X g = P Q) P ( p), Q( q) verschiedene Punkte p, q linear unabhängig (l.u.) Parameterdarstellung von P Q =: g g : x = u p + v q mit (u, v) R 2 \ {(0, 0)} u = 0 liefert Q v = 0 liefert P Division durch u und v u =: v : liefert g \ {Q}. x = p + v q mit v R Division durch v liefert g \ {P }. Wenn Q ein Fernpunkt ist, liefert Division durch u die übliche Parameterdarstellung in affinen Koordinaten: 1

2 1 x 1 x 2 x 3 = 1 p 1 p 2 p 3 + v 0 q 1 q 2 q 3 (b) In der Ebene in Koordinatendarstellung Gleichung einer Geraden in affinen Koordinaten: a 1 x + a 2 y + a 0 = 0 (a 1, a 2 ) (0, 0) In homogenen Koordinaten: x = x 1, y = x 2 a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 0 = 0 a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 = 0 ( ) (*) ist die Gleichung einer Geraden in P 2 in homogenen Koordinaten. Für (a 1, a 2 ) = (0, 0) und a 0 0 liefert (*) die Ferngerade = 0. (In affinen Koordinaten ausgeschlossen) Für eigentliche Geraden ist (a 1, a 2 ) (0, 0) und es gilt: (0, a 2, a 1 ) ist Fernpunkt der Gerade. Siehe Figuren a, b, c (Zusammenfassung d) 2

3 Beobachtung: (*) ist symmetrisch in a und x. { } a Für festes ist (*) die x Gleichung { für die Menge } der Punkte auf einer Geraden. Geraden durch einen Punkt { } a ist homogener Koordinatenvektor x { } r Geraden eine. s Punktes Damit hat man zwei bijektive Abbildungen: Punkte eines P 2 homogene Koordinatenvektoren aus dem R 3 Geraden eines P 2 Die Menge der Geraden einer projektiv abgeschlossenen euklidischen Ebene P 2 bildet selbst eine projektiv abgeschlossene euklidische Ebene, die zu P 2 duale Ebene ˆP 2. 3

4 (Der Ferngeraden x x 2 = 0 entspricht dabei der Koordinatenursprung (1, 0, 0) eines kartesischen KS.) Tafelskizzen: Figur e Seien a, b Koordinatenvektoren zweier Geraden. Dann ist a T x = 0, b T x = 0 ein lineares Gleichungssystem (LGS) für deren Schnittpunkt X( x). Seien x, y Koordinatenvektoren zweier Punkte. Dann ist a T x = 0, a T y = 0 ein LGS für deren Vebindungsgerade g( a). Dualitätsprinzip der ebenen projektiven Geometrie: Ist A eine allgemeingültige Aussage in P 2, in der Punkte, Geraden, Verbinden von Punkten, Schneiden von Geraden und keine weiteren Operationen vorkommen, so erhält man aus A eine dazu duale Aussage Â, inden man ersetzt: 4

5 A Punkt Gerade verbinden schneiden  Gerade Punkt schneiden verbinden  braucht nicht mehr eigens bewiesen zu werden. Beispiel: Definition der harmonischen Lage von vier Geraden durch einen Punkt: Erinnerung: Geg.: ebenes Vierseit P QRS mit den Seiten p := P Q, q := QR, r := RS, s := SP Schnittpunkte der Gegenseiten p r =: {A}, q s =: {B} Schnittpunkte von AB mit den Diagonalen AB QS =: {C}, AB P R =: {D} Dann heißen die vier Punkte A, B, C, D (in dieser Reihenfolge) in harmonischer Lage. 5

6 Tafelskizze: Figur f-duale Harmonische Lage Dual dazu: Geg.: ebenes Viereck pqrs mit den Ecken P := pq, Q := qr, R := rs, S := sp Verbindungsgeraden der Gegenecken P R =: a, QS =: b Verbindungsgerade von ab mit den Schnittpunkten der Gegenseiten (ab)(qs) =: c, (ab)(pr) =: d Dann heißen die vier Geraden a, b, c, d (in dieser Reihenfolge) in harmonischer Lage. Konstruktion der vierten harmonischen Geraden d zu drei gegebenen Geraden a, b, c: 6

7 .. Diese (alte) Figur wurde mit Cinderella erstellt. Neue Figur siehe: Figur g-duale Konstruktion Harmonische Lage Man sieht an der Figur Vier Geraden a, b, c, d in P 2 durch einen Punkt G liegen harmonisch Ihre Schnittpunkte mit einer beliebigen Geraden h mit G / h liegen harmonisch. 7

8 4.1.2 Ebene im projekiven Raum P 3 (a) In homogenen Koordinaten Parameterform: Eine Ebene ε wird aufgespannt durch drei nicht kollineare Punkte P ( p), Q( q), R( r). (Punkte heißen kollinear, wenn sie auf einer gemeinsamen Geraden liegen.) Dann sind p, q, r l.u. ε : x = u p + v q + w r, (u, v, w) R 3 \ { o T }. Division durch u: v u =: v, w u =: w : x = p + v q + w r, (v, w ) R 2 liefert ε \ QR. Sind p, q, r fest gewählt, so sind (u, v, w) (0, 0, 0) homogene Koordinaten in ε, (v, w ) affine Koordinaten in ε \ QR. 8

9 Ist P ein eigentlicher Punkt, und sind Q, R Fernpunkte, so erhält man die Darstellung 1 x y z = 1 p x p y p z + v 0 q x q y q z + w 0 r x r y r z, also (bis auf die erste Zeile) die bekannte Parameterdarstellung einer Ebene im R 3. Dann sind (v, w ) affine Koordinaten in ε. (b) Alternative Beschreibung in Koordinatendarstellung: Eine Ebene ε in E 3 kann man auch beschreiben durch eine Gleichung in affinen Koordinaten: a 1 x+a 2 y+a 3 z+a 0 = 0, (a 1, a 2, a 3 ) (0, 0, 0). In homogenen Koordinaten: x = x 1 x, y = x 2 0 x, z = x 3 0 x : 0 a 1 x1 + a 2 x2 + a 3 x3 + a 0 = 0 a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0 ( ) (*) ist die Gleichung einer Ebene ε in P 3, falls (a 0, a 1, a 2, a 3 ) (0, 0, 0, 0). 9

10 Falls (a 1, a 2, a 3 ) = (0, 0, 0) und a 0 0: Fernebene des P 3. (*) und = 0: Ferngerade von ε { } a Für festes ist (*) die x Gleichung { für die Menge } aller Punkte in einer Ebene. Ebenen durch einen Punkt { } x ist homogener Koordinatenvektor a { } eines Punktes. einer Ebene Bijektive Beziehungen: Punkte eines P 3 homogene Koord.-Vektoren eines R 4 Ebenen eines P 3 Die Menge der Ebenen eines dreidimensionalen projektiv abgeschlossenen euklidischen Raumes P 3 bildet selbst einen dreidimensionalen projektiv abgeschlossenen euklidischen Raum, den zu P 3 dualen Raum ˆP 3. 10

11 Siehe: Figur DualitätsprinzipRaum Seien a, b Koordinatenvektoren zweier Ebenen. Dann ist a T x = 0, b T x = 0 ein lineares Gleichungssystem (LGS) für deren Schnittgerade g. Seien x, y Koordinatenvektoren zweier Punkte. Dann ist a T x = 0, a T y = 0 ein LGS für deren Vebindungsgerade g. Dualitätsprinzip der räumlichen projektiven Geometrie: Ist A eine allgemeingültige Aussage in P 3, in der Punkte und Ebenen (und Geraden) sowie Verbinden und Schneiden und keine weiteren Operationen vorkommen, so erhält man aus A eine dazu duale Aussage Â, inden man ersetzt: 11

12 A Punkt Gerade Ebene verbinden schneiden  Ebene Gerade Punkt schneiden verbinden  braucht nicht eigens bewiesen zu werden Quadriken Gleichung einer eigentlichen Fläche zweiter Ordnung, einer eigentlichen Quadrik, im E 3 in affinen Koordinaten: a 11 x 2 + a 22 y 2 + a 33 z 2 + 2a 12 xy + 2a 13 xz + 2a 23 yz+ 2a 01 x + 2a 02 y + 2a 03 z + a 00 = 0 mit (a 11, a 22, a 33, a 12, a 13, a 23 ) o T. Gleichung einer eigentlichen Kurve zweiter Ordnung, eines eigentlichen Kegelschnitts in E 2 in affinen Koordinaten: a 11 x 2 +a 22 y 2 +2a 12 xy+2a 01 x+2a 02 y+a 00 = 0 mit (a 11, a 22, a 12 ) o T. 12

13 Rechnung für Kegelschnitte: homogene Koordinaten: x = x 1 x, y = x 2 0 a 11 ( x 1 ) 2 + a 22 ( x 2 ) 2 + 2a 12 ( x 1 )( x 2 )+ 2a 01 ( x 1 ) + 2a 02 ( x 2 ) + a 00 = 0 Multiplikation mit x 2 0 : a 11 x a 22x a 12x 1 x 2 + 2a 01 x 1 + 2a 02 x 2 + a 00 x 2 0 = 0 Umsortieren und: a 10 := a 01, a 20 := a 02, a 21 := a 12 liefert: a 00 x a 01 x 1 + a 02 x 2 + a 10 x 1 + a 11 x a 12x 1 x 2 + a 20 x 2 + a 21 x 2 x 1 + a 22 x 2 2 = 0. Mit a 00 a 01 a 02 a 10 a 11 a 12 a 20 a 21 a 22 =: A = A T 13

14 ist A symmetrisch und die Kegelschnittsgleichung kann man schreiben als: x T A x = 0. ( ) Definition: Ist A O, A T = A, eine 3 3-Matrix, so ist (*) die Gleichung einer Kurve zweiter Ordnung (eines Kegelschnitts, einer Quadrik) in P 2 in homogenen Koordinaten. Definition: Ist A O, A T = A, eine 4 4- Matrix, so ist (*) die Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung (einer Quadrik) in P 3 in homogenen Koordinaten. Warum ist für projektive Quadriken die Forderung an A schwächer als für affine Quadriken? Ist det A 0, so heißt die Quadrik nichtentartet, sonst entartet. Für jede Quadrik lässt sich durch eine Projektivität erreichen, dass ihre Gleichung in Normalform (NF) vorliegt: x x2 p x2 p+1... x2 r = 0. Dabei ist 2p r. 14

15 Kein Beweis, sondern ein Beispiel: x 2 0 2x x 3 + x x 1x 3 + 2x 2 2 2x 2 x 3 + 5x 2 3 = 0 Wir klammern 2 aus allen gemischten Produkten aus, in denen vorkommt: x ( x 2 + 2x 3 ) + x x 1x 3 + 2x 2 2 2x 2 x 3 + 5x 2 3 = 0 Wir ergänzen die ersten zwei Summanden nach einer binomischen Formel zu einem vollständigen Quadrat und ziehen die Ergänzung wieder ab: x ( x 2 + 2x 3 ) + ( x 2 + 2x 3 ) 2 ( x 2 + 2x 3 ) 2 + x x 1x 3 + 2x 2 2 2x 2 x 3 + 5x 2 3 = 0 Wir fassen das vollständige Qudrat zusammen, multiplizieren den Rest aus uns sortieren geschickt: ( x 2 + 2x 3 ) 2 + x x 1x 3 + x x 2 x 3 + x 2 3 = 0 Jetzt kommt nur noch in der ersten Klammer vor. Wir machen weiter mit x 1 : ( x 2 + 2x 3 ) 2 + x x 1x 3 + x 2 3 x2 3 + x x 2x 3 + x 2 3 = 0 ( x 2 +2x 3 ) 2 +(x 1 +x 3 ) 2 +x x 2x 3 = 0 15

16 ( x 2 + 2x 3 ) 2 + (x 1 + x 3 ) 2 + x x 2 x 3 + x 2 3 x2 3 = 0 ( x 2 + 2x 3 ) 2 + (x 1 + x 3 ) 2 + (x 2 + x 3 ) 2 x 2 3 = 0 Wir setzen: x 0 := x 2 + 2x 3, x 1 := x 1 + x 3, x 2 := x 2 + x 3, x 3 := x 3 oder x 0 x 1 x 2 x 3 = x 1 x 2 x 3 ( ) Damit erhält man die neue Quadrikgleichung: x x x 2 2 x 2 3 = 0, also die Normalform. Wir haben es so eingerichtet, dass gilt: Die Transformationsmatrix in (*) ist eine obere Dreiecksmatrix mit nicht verschwindenden Diagonalelementen, also mit einer Determinante 0. 16

17 Geht das immer? Was ist mit x 1 = 0 Quadratische Ergänzung nicht möglich! Trick: =: x 0 + x 1 x 1 =: x 0 x 1 } x 1 = x 2 0 x 2 1 Damit hat man Quadrate erhalten. Gegebenenfalls kann man jetzt quadratisch ergänzen. 17

18 Quadrik-Normalformen im P 3 : Nichtentartete Quadriken: (1) x x2 1 + x2 2 + x2 3 = 0... nichtentartete nullteilige Quadrik (nichtentartet, weil die Anzahl der Quadrate 4 = ist, nullteilig, weil Null die Anzahl der Minuszeichen in der Normalform ist) Die nichtentartete nullteilige Quadrik enthält keine (reellen) Punkte. (2) x x2 1 + x2 2 x2 3 = 0... ovale Quadrik (Kugel, Ellipsoid, elliptisches Paraboloid, zweischaliges Hyperboloid) (3) x x2 1 x2 2 x2 3 = 0... ringartige Quadrik (einschaliges Hyperboloid, hyperbolisches Paraboloid) Siehe: Figur Quadrik-3D 18

19 Entartete Quadriken: (1) x x2 1 + x2 2 = 0... nullteiliger Kegel, Doppelpunkt in (1) x T = (0, 0, 0, 1) (2) x x2 1 x2 2 = 0... einteiliger Kegel (Kegel, elliptischer Zylinder, parabolischer Zylinder, hyperbolischer Zylinder) Das waren Kegel mit punktförmiger Spitze in (2) x T = (0, 0, 0, 1). (3) x 2 0 x2 1 = 0... (+x 1 )( x 1 ) = 0 (reelles) schneidendes Ebenenpaar (Paar einander schneidender Ebenen, Paar zueinander paralleler Ebenen) (4) x 2 0 +x2 1 = 0... (+ix 1 )( ix 1 ) = 0 nullteiliges Ebenenpaar, konjugiert komplexes Ebenenpaar mit der reellen Schnittgeraden = x 1 = 0 Doppelgerade x 2 0 = 0... Doppelebene 19

20 Normalformen von Kegelschnitten in P 2 : Siehe: Figur Quadrik-2D Nichtentartete Kegelschnitte: (1) x x2 1 + x2 2 = 0... nichtentarteter nullteiliger Kegelschnitt (2) x x2 1 x2 2 = 0... nichtentarteter einteiliger Kegelschnitt (Ellipse, Parabel, Hyperbel) Figur ProjektiväquivalenterKreis Entartete Kegelschnitte: (1) x 2 0 +x2 1 = 0... (+ix 1 )( ix 1 ) = 0 nullteiliges Geradenpaar, Doppelpunkt in (1) x T = (0, 0, 1) (2) x 2 0 x2 1 = 0... (+x 1 )( x 1 ) = 0 (einteiliges) schneidendes oder paralleles Geradenpaar (3) x 2 0 = 0... Doppelgerade 20