Geometrie für Geodäsie und Geoinformation MA9506 Vorlesung von PD Dr. Carsten Lange an der Technischen Universität München im Sommersemester 2018

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1 Geometrie für Geodäsie und Geoinformation MA9506 Vorlesung von PD Dr. Carsten Lange an der Technischen Universität München im Sommersemester 2018

2 1 Übersicht Kleine Vorlesung: 3 Semesterwochenstunden mit integrierten Übungen eventuell mit zusätzlichlichen Übungen? Große Wünsche der Ingenieurfakultät Bau Geo Umwelt! Voraussetzungen für aufbauende Vorlesungen!

3 Inhalt der Vorlesung: 1. Das, was man früher in der Schule lernte: Kegelschnitte Quadriken 2. Dazu: Differentialgeometrie Kurven Flächen Krümmungen

4 Was kann ich machen? 1. Nur Geometrie! Die Numerik macht der Computer. 2. Kaum Beweise! Vieles werde ich nur erzählen, nicht beweisen. 3. Fast alles vereinfacht! Rechnungen in der Ebene - Rechnungen im Raum analog.

5 2 Beispiel: Wie funktioniert GPS (Global Positioning System)? (sehr stark vereinfacht) Gegeben: Drei Satelliten S 1, S 2, S 3 Laufzeiten der Funksignale von den Satelliten zum Navi Somit auch: Entfernungen zu den Satelliten Gesucht: Position des Navis

6 Das Problem hat folgende einfache Lösung: Lege um Satellit S i eine Kugel mit gegebenem Radius, erhalten drei Kugeln K 1, K 2, K 3 K 1 K 2 ist ein Kreis k k K 3 liefert zwei Punkte P 1, P 2 Ein Punkt scheidet aus, weil er (z.b.) im Weltall liegt Im anderen Punkt liegt das Navi. Aber: Die Uhr des Navi ist nicht genügend genau! Navi kennt nicht Laufzeit des Funksignals von Satellit S i Navi kennt nur Laufzeitunterschiede der Funksignale! Mit anderen Worten: Navi kennt nur die Entfernungsunterschiede zu den Satelliten.

7 Stark Vereinfachtes Problem, geometrischer Kern: Gegeben: Zwei Punkte F 1, F 2 in der Ebene ein Abstand d R 0, d.h. eine nichtnegative reelle Zahl d Gesucht: Menge aller Punkte der Ebene, so dass die Differenz der Abstände zu F 1 und zu F 2 gleich d ist Mit anderen Worten: Wir suchen M := { P E 2 d(p, F1 ) d(p, F 2 ) = d }, wobei d(x, Y ) der Abstand (die Distanz) zwischen X und Y ist.

8 Was haben wir vereinfacht? 1. Wir nehmen nicht drei Satelliten sondern nur zwei Punkte. 2. Wir betrachten ein ebenes Problem, kein räumliches. 3. Wir haben in der Gleichung Betragsstriche gesetzt. Das ist der geometrische Kern eines Teilproblems. Wenn wir dieses Problem gelöst haben, sehen wir weiter.

9 3 Die Hyperbel in einem geeigneten Koordinatensystem Gegeben: Zwei Punkte F 1, F 2 in der Ebene ein Abstand d R 0, d.h. eine nichtnegative reelle Zahl d Gesucht: h := { P E 2 d(p, F1 ) d(p, F 2 ) = d } h ist eine Kurve, die von den Griechen Hyperbel genannt wurde. Tafelskizze:

10 3.1 Gleichung der Hyperbel h = { P E 2 d(p, F1 ) d(p, F 2 ) = d } Wir beschreiben h mit einem geeigneten Koordinatensystem: x-achse: durch F 1 und F 2 y-achse: Mittellot der Strecke F 1 F 2 In diesem Koordinatensystem gilt für die Punkte F 1 und F 2 : F 1 = ( c, 0) und F 2 = (c, 0) Nach Pythagoras: (x, y) h (x ( c)) 2 + y 2 (x c) 2 + y 2 = d bzw. (x, y) h (x + c) 2 + y 2 (x c) 2 + y 2 = d

11 Wegen der Betragsstriche ändert Quadrieren nichts an der Lösung: ( (x + c) 2 + y 2 (x c) 2 + y 2 ) 2 = d 2 Zweite binomische Formel: (x + c) 2 + y 2 2 (x + c) 2 + y 2 (x c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = d 2 Wurzel isolieren, erste und zweite binomische Formel: 2x 2 + 2c 2 + 2y 2 d 2 = 2 (x + c) 2 + y 2 (x c) 2 + y 2 Erneutes Quadrieren und binomische Formeln: 4x 4 + 4c 4 + 4y 4 + d 4 + 8x 2 c 2 + 8x 2 y 2 4x 2 d 2 + 8c 2 y 2 4c 2 d 2 4y 2 d 2 = 4(x 2 + c 2 + y 2 + 2xc)(x 2 + c 2 + y 2 2xc)

12 Binomische Formeln: 4x 4 + 4c 4 + 4y 4 + d 4 + 8x 2 c 2 + 8x 2 y 2 4x 2 d 2 + 8c 2 y 2 4c 2 d 2 4y 2 d 2 = 4(x 2 + c 2 + y 2 ) 2 4(2xc) 2 Ausmultiplizieren: 4x 4 + 4c 4 + 4y 4 + d 4 + 8x 2 c 2 + 8x 2 y 2 4x 2 d 2 + 8c 2 y 2 4c 2 d 2 4y 2 d 2 = 4x 4 + 4c 4 + 4y 4 + 8x 2 c 2 + 8x 2 y 2 + 8c 2 y 2 16x 2 c 2 Das gibt: d 4 4x 2 d 2 4c 2 d 2 4y 2 d 2 = 16x 2 c 2

13 d 4 4x 2 d 2 4c 2 d 2 4y 2 d 2 = 16x 2 c 2 Sortieren nach x 2 und y 2 : 4(4c 2 d 2 )x 2 4d 2 y 2 = d 2 (4c 2 d 2 ) 4x 2 d 2 4y2 4c 2 d 2 = 1 x 2 ( d2 ) 2 Substitution a := d 2 und b := c 2 a 2 : y 2 c 2 ( d 2 ) 2 = 1 x 2 a 2 y2 b 2 = 1

14 Ergebnis: Normalform der Hyperbel h = { P E 2 d(p, F1 ) d(p, F 2 ) = d } wobei h : ( x ) 2 ( ) y 2 x 2 = 1 bzw. h : a b a 2 y2 b 2 = 1 a := d 2 und b := c 2 a 2 geeignetes Koordinatensystem: F 1 = ( c, 0) und F 2 = (c, 0) Folgerung 1: Symmetrie der Hyperbel h h ist symmetrisch bezüglich der x-achse h ist symmetrisch bezüglich der y-achse h ist punktsymmetrisch zum Ursprung

15 Alternative Beschreibung der Hyperbel h : ( x a ) 2 ( y b) 2 = 1 h : ( ) x a + y b ( ) x a y b = 1 Folgerung 2: Asymptoten der Hyperbel h Für (dem Betrag nach) große x und y gilt für Hyperbelpunkte (Warum?) x a + y b << 1 oder x a y b << 1 Die beiden Geraden mit den Gleichungen: x a + y b = 0 und x a y b = 0 heißen Asymptoten von h. bx + ay = 0 und bx ay = 0

16 3.2 Parameterdarstellung der Hyperbel h : ( x a ) 2 ( y b) 2 = 1 Erinnerung: Hyperbelfunktionen Kosinus hyperbolicus cosh x := ex + e x 2 cosh ist gerade Funktion, der Graph ist achsensymmetrisch zur y-achse. lim x cosh x = + lim x cosh x = + cosh 0 = 1 d dx cosh x = sinh x Sinus hyperbolicus sinh x := ex e x 2 sinh ist ungerade Funktion, der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. lim x sinh x = lim x sinh x = + sinh 0 = 0 d dx sinh x = cosh x Skizzen cosh 2 x sinh 2 x = 1

17 Setzen wir für t R x(t) := a cosh t und y(t) := b sinh t, so erhalten wir Punkte ( x(t), y(t) ), für die gilt: x(t) 2 a 2 y(t)2 b 2 = cosh 2 t sinh 2 t = 1. Folgerung: Für a, b > 0 ist durch x(t) := a cosh t und y(t) := b sinh t (t R) eine Parameterdarstellung (PD) einer ebenen Kurve definiert, die in der Hyperbel h mit der Normalform enthalten ist. Beschreibt die PD ganz h? Skizze x 2 a 2 y2 b 2 = 1

18 4 Die Ellipse in einem geeigneten Koordinatensystem Gegeben: Zwei Punkte F 1, F 2 in der Ebene ein Abstand d R 0, d.h. eine nichtnegative reelle Zahl d Gesucht: e := { P E 2 d(p, F1 ) + d(p, F 2 ) = d } e ist eine Kurve, die von den Griechen Ellipse genannt wurde. Sie kann mir der sogenannten Gärtner-Konstruktion leicht gezeichnet werden. Die Gerade durch F 1 und F 2 ist die Hauptachse von e und das Mittellot der Strecke F 1 F 2 ist die Nebenachse von e. Die Hauptachse schneidet die Nebenachse im Mittelpunkt von e. Die Schnittpunkte der Hauptachse mit e sind die Hauptscheitel von e und ihr Abstand zum Mittelpunkt heißt große Halbachse. Die Schnittpunkte der Nebenachse mit e sind die Nebenscheitel von e, ihr Abstand zum Mittelpunkt heißt kleine Halbachse.

19 4.1 Gleichung der Ellipse e := { P E 2 d(p, F1 ) + d(p, F 2 ) = d } Analog zum Vorgehen bei der Hyperbel wird die Ellipse e in einem geeigneten Koordinatensystem durch ihre Normalform ( ) x 2 ( ) y 2 e : + = 1 a b bzw. x 2 e : a 2 + y2 b 2 = 1 beschrieben. Dabei gilt a := d 2 und b := c 2 a 2 geeignetes Koordinatensystem: F 1 = ( c, 0) und F 2 = (c, 0) Folgerung: Symmetrie der Ellipse e h ist symmetrisch bezüglich der x-achse (Hauptachse) h ist symmetrisch bezüglich der y-achse (Nebenachse) h ist punktsymmetrisch zum Ursprung (Mittelpunkt) Tafelskizze

20 4.2 Eine Parameterdarstellung und eine Gleichung der Ellipse Erinnerung: trigonometrische Funktionen Kosinus cos ist gerade Funktion, der Graph ist achsensymmetrisch zur y-achse. cos 0 = 1 d dx cos x = sin x Sinus sin ist ungerade Funktion, der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. sin 0 = 0 d dx sin x = cos x cos 2 x + sin 2 x = 1 Skizzen dazu am Einheitskreis und für die Graphen

21 Für beliebige a, b > 0 und t R setzen wir x(t) := a cos t und y(t) := b sin t, Dann gilt für die Punkte (x(t), y(t)): x(t) 2 a 2 + y(t)2 b 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1. Folgerung: Für a, b > 0 ist durch x(t) := a cos t und y(t) := b sin t (t R) eine Parameterdarstellung (PD) einer ebenen Kurve definiert, die in der Ellipse e mit der Normalform enthalten ist. Beschreibt die PD ganz e? Skizze x 2 a 2 + y2 b 2 = 1

22 Bemerkungen: Die Parameterdarstellungen x(t) := a cos t und y(t) := b sin t (t [0; 2π]) und x(t) := a cos t und y(t) := b sin t (t [ π; π]) beschreiben ebenfalls die gesamte Ellipse. Für a = b = r hat man eine PD eines Kreises vom Radius r: x(t) := r cos t und y(t) := r sin t (t [0; 2π]) Statt x(t) := a cos t und y(t) := b sin t schreiben wir oft kürzer x := a cos t und y := b sin t (t [0; 2π]). Üblich ist auch die Vektorschreibweise ( ) a cos t x (t) := (t [0, 2π]). b sin t

23 4.2 Die Ellipse als normal-affines Kreisbild Die Abbildungen x := b a x und y = y überführen die PD in die PD x := a cos t und y := b sin t (t [0; 2π]). x := b cos t und y := b sin t (t [0; 2π]). Die PD einer Ellipse mit Halbachsen a und b wird also in eine PD eines Kreises vom Radius b transformiert. Dieselben Abbildungen überführen die Gleichung x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 in x 2 b 2 + y 2 b 2 = 1. Die Gleichung der Ellipse wird also in eine Kreisgleichung transformiert.