Demo-Text für Hyperbolische Funktionen. Sinus hyperbolicus Kosinus hyperbolicus Tangens hyperbolicus. u. a.

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1 Höhere Analysis Hyperbolische Funktionen Sinus hyperbolicus Kosinus hyperbolicus Tangens hyperbolicus u. a. Tet Nr. 50 Stand: 5. Mai 08 Demo-Tet für FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 50 Hyperbolische Funktionen Vorwort Die sogenannten hyperbolischen Funktionen werden an Gymnasien in der Regel nicht (mehr) gezielt unterrichtet. Dabei sind sie lediglich spezielle Eponentialfunktionen und kommen in dieser Eigenschaft ohne Nennung ihrer spezifischen Namen durchaus vor. Was sie so interessant macht, ist ihre Verwandtschaft mit den trigonometrischen Funktionen. So gibt es diese Funktionen hyperbolisch trigonometrisch y sinh() Sinus hyperbolicus y sin() Sinus y cosh() y cos() Kosinus sinh() y tanh() cosh() y coth() tanh() y sech() cosh() y csch() sinh() sin() y tan() Tangens cos() y cot() Kotangens tan() y sec() Sekans cos() y csc() Kosekans sin() Die Funktionen Kotangens, Sekans und Kosekans werden seltener verwendet. In diesem Tet werden die hyperbolischen Funktionen eingeführt und beschrieben. Dazu gibt es den Tabellentet 50 mit zwei großen Übersichten. Inhalt sinh und cosh 3 tanh und coth 5 3 sech und csch 7 4 Zusammenhänge zwischen diesen Funktionen 0 5 Zusammenhänge mit den trigonometrischen Funktionen 4 mit kompleen Zahlen. Funktionen mit kompleen Argumenten. 5 Demo-Tet für

3 50 Hyperbolische Funktionen 3 sinh und cosh Die Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens nennt man auch Kreisfunktionen, weil sie Beziehungen zur Kreisgleichung aufweisen. Daneben gibt es die hyperbolischen Funktionen, die eine ähnliche Beziehung zu einer Hyperbelgleichung aufweisen. Definition sinh e e und cosh e e Man spricht sinh so aus Sinus hyperbolicus und entsprechend Kosinus hyperbolicus. Hyperbolische Funktionen Vergleich Kreisfunktionen Zusammenhang mit einer Hyperbel bzw. einem Kreis. A sei der Punkt A cosh(t) sinh(t) A sei der Punkt A cos(t) sin(t) Auf welcher Ortskurve liegt A? Auf welcher Ortskurve liegt A? Man rechnet: t t t t e e e e 4 e t e t e t e t t t t t e e e e y cosh t sin (t) 4 e t e t t t e e Also liegt A auf der Kurve mit der Gleichung y y cos t sin t Also liegt A auf der Kurve mit y Demo-Tet für Sie heißt Hyperbel. Sie ist ein Kreis. Man merke sich diese Beziehungen: cosh () sinh () und sin cos

4 50 Hyperbolische Funktionen 4 Eigenschaften der Funktion sinh: Symmetrie: Die sinh-kurve ist punktsymmetrisch zum Ursprung: e e e e e e sinh e e sinh' e e denn: sinh sinh Ableitung: sinh' Monotonie und Wertmenge: cosh sinh ist stetig in und es gilt also wächst sinh streng monoton: sinh' 0, W Stammfunktion: sinh d e e d e e C sinh d cosh() C Eigenschaften der Funktion cosh: Symmetrie: Die cosh-kurve ist symmetrisch zur y-achse: e e e e cosh e e cosh' e e denn: cosh cosh Ableitung: cosh' sinh Monotonie und Wertmenge: cosh ist stetig in., für < 0: Für > 0 gilt cosh' 0 cosh' 0 also fällt cosh für < 0 und steigt für > 0. Das Minimum ist 0 0 e e cosh0, W ;. Wertmenge: Stammfunktion: Näherungskurven für : cosh d e e d e e C cosh d sinh() C Demo-Tet für Für ist bekanntlich lim e 0 : e Also gilt für große : sinh und analog cosh Man erkennt dies gut in folgender Abbildung: e

5 50 Hyperbolische Funktionen 5 Definition und tanh coth tanh und coth sinh e e e cosh e e e Eigenschaften der Funktion tanh: Definitionsbereich: D, denn der Nenner ist stets positiv. Symmetrieverhalten: cosh e e e sinh e e e sinh sinh tanh tanh cosh cosh Die tanh-kurve also ist punktsymmetrisch zum Ursprung: Grenzwerte: Asymptoten Ableitung: kürzen e e e 0 lim tanh lim durche e e e 0 lim tanh wegen der Punktsymmetrie. Auf Grund dieser Grenzwerte hat die tanh-kurve zwei waagrechte Asymptoten: Für : y, für : y. tanh sinh() Nach der Quotientenregel folgt: cosh() cosh sinh tanh' tanh () oder: cosh cosh tanh' cosh sinh oder sech cosh cosh () tanh' tanh () sech () Ergebnis: Monotonie und Wertmenge: Da tanh in stetig ist und dort gilt cosh () tanh' 0, steigt die tanh-funktion streng monoton von - bis. Also gilt: tanh tanh() D ; Stammfunktion: sinh tanhd d Substitution: cosh Demo-Tet für du u tanhd ln u Rücksubstitution: u cosh u cosh du sinh d tanh d ln cosh Da Funktion cosh keine negativen Werte hat, kann man den Betrag weglassen: tanh d ln cosh C

6 50 Hyperbolische Funktionen 6 Eigenschaften der Funktion coth: Die Kotangens-Funktion ist die Kehrwertfunktion zur Tangensfunktion: Es ist coth cot cosh e e e sinh e e e und coth tan Definitionsbereich: Der Nenner hat eine Nullstelle: tanh e 0. coth besitzt die Polstelle = 0. 0 f D \. Wertmenge: W ; ; \ ; denn: Symmetrie: tanh coth coth oder coth tanh Die coth-kurve ist punktsymmetrisch zum Ursprung, denn es gilt: co th costh tanh tanh kürzen e e e 0 lim coth lim durche e e e 0 Grenzwerte: lim coth wegen der Punktsymmetrie. Asymptoten Auf Grund dieser Grenzwerte hat die tanh-kurve zwei waagrechte Asymptoten: Für : y, für : y. Ableitung: cot coth' cosh() Nach der Quotientenregel folgt: sinh() Ergebnis: sinh cosh sinh cosh cot sinh sinh sinh sinh cosh coth' oder sinh sinh coth' cot csch () sinh Monotonie: Da coth für < 0 stetig ist und dort gilt oder; csch coth' 0, fällt die coth-funktion streng monoton vonbis. Entsprechend fällt sie für > 0 von bis gegen. Demo-Tet für Stammfunktionen: cosh cothd d Substitution: sinh du u cothd ln u Rücksubstitution: u sinh u sinh du cosh d coth d ln sinh ln sinh coth d ln sinh C

7 50 Hyperbolische Funktionen 7 3 sech und csch Definition 3 sech e cosh e e e Sekans hyperbolicus und csc h Eigenschaften der Funktion sech: e sinh e e e Definitionsbereich: D, denn der Nenner ist stets positiv. Wertmenge: Für cosh gilt: cosh Symmetrie: W 0; Kosekans hyperbolicus. Für den Kehrwert folgt daraus: Die sech-kurve also ist symmetrisch zur y-achse, denn sech sech cosh cosh Grenzwerte: Asymptoten erweitern mit e e 0 lim sech lim lim 0 e e e 0 lim sech 0 wegen der Symmetrie. sech cosh Auf Grund dieser Grenzwerte hat die sech-kurve die -Achse als waagrechte Asymptote für. sinh sech cosh sech' cosh cosh' cosh Ableitung: Oder sech' Monotonie: Für > 0 ist sinh() > 0 sech' 0 : Für < 0 ist sinh() < 0 sech' 0 : sinh sinh tanh() sech() cosh cosh cosh( ) Da die Funktion sech in stetig ist bedeutet das, dass die Sekansh-Kurve für > 0 fällt und für < 0 steigt. Stammfunktion: Man schreibt die Funktion um in: cosh cosh sechd d d d cosh erweitern denn cosh sinh Demo-Tet für mit cosh() cosh sinh cosh sinh wegen Vereinfachung durch die Substitution u sinh du cosh d arctanu C arctansinhc du u Ergebnis: sech()d arctan sinh C

8 50 Hyperbolische Funktionen 8 Eigenschaften der Funktion csch: csc h sinh e e Definitionsbereich: Nullstelle des Nenners: e e e e 0 0 ist also eine Polstelle der Kosekans-Funktion: D \0 Symmetrie: Die csch-kurve also ist punktsymmetrisch zu O : csch c sch sinh sinh Grenzwerte: erweitern e 0 lim csch lim lim 0 mit e e e e 0 Asymptoten lim csch 0 wegen der Punktsymmetrie. Auf Grund dieser Grenzwerte hat die csch-kurve die -Achse als waagrechte Asymptote für. cosh csch sinh csch' sinh sinh' sinh cosh cosh' coth csch sinh sinh Ableitung: oder Monotonie: Da cosh() > 0 für alle D, ist csch'() 0 für alle D Da csch für <0 und für >0 stetig ist, fällt diese Funktion in beiden Teilbereichen streng monoton und zwar: Für 0 von0bis, für 0 von bis 0. Wertebereich daher: W \0 Stammfunktion:. Berechnungsmethode: sinh sinh du cschd d erw. mit d d sinh denn sinh cosh u sinh() wegen cosh sinh sinh cosh Vereinfachung durch die Substitution Berechnung des Integrals u cosh du sinh d du durch Partialbruchzerlegung: u A B... u u u u ergibt AuBu Für u = : B B und für u = -: A A u u Damit folgt: u u du du du ln u ln u C ln C u u u u Ansatz: Ergebnis: Demo-Tet für Rücksubstitution: cosh csch d ln C (*) cosh

9 50 Hyperbolische Funktionen 9 Zusatz: Auf Seite wird diese Umrechnungsformel besprochen: tanh cosh() cosh() Daraus folgt: Damit kann man (*) umformen in cosh() cosh() cosh() ln tanh ln ln ln cosh() cosh() cosh() cschd ln tanh C Stammfunktion:. Berechnungsmethode: Zunächst wird die Funktion sehr trickreich erweitert. csch() coth() csch () coth()csch() csch()d csch() d d csch() coth() csch() coth() Jetzt kann man mit dieser Substitution vereinfachen: u' csch' coth u csch coth du d ' d NR.: csch'() coth csch coth' csch sinh und cothcsch csch du d csch coth csch d Damit wird das Integral zu: du ln u C u Rücksubstitution csch d ln csch coth C Dies ist eine andere Darstellung derselben Stammfunktion. (Wer weiß denn sowas?) Demo-Tet für

10 50 Hyperbolische Funktionen 0 4 Zusammenhänge zwischen diesen Funktionen. Nach Seite gilt: cosh () sinh (). Aus den Definitionen erhält man sofort diese Beziehungen: () sinh cosh () e e e e e e e e e e e cosh sinh e e e e e e e 4 (3) sinh cosh sinh, siehe (). 3. Wie bei den trigonometrischen Funktionen gibt es hier Additionstheoreme: (4) sinhu v sinhucoshv coshu sinhv (5) sinhu v sinhucoshv coshu sinhv (6) coshu v coshucoshv sinhu sinhv (7) coshu v coshucoshv sinhu sinhv (8) tanhu tanhv tanhu v tanhu tanhv (9) tanhu tanhv tanhu v tanhu tanhv Beweis von (4): sinh u v e e Linke Seite: uv uv Rechte Seite: sinhu coshv coshu sinhv e uv uv u u v v u u v v e e e e e e e e e uv 4 uv u v e e e uv e e 4 uv uv uv e e e uv Die Formeln (5), (6) und (7) lassen sich analog beweisen. Beweis von (8) Linke Seite: 4 u v e e uv sinh(u v) sinh u cosh v cosh u sinh v tan(u v) cosh u v cosh u cosh v sinh u sinh v Jetzt kürzt man den Bruch durch cosh(u) und durch cosh(v): Demo-Tet für sinh(u) sinh(v) coshu coshv tanhu tanhv tan(u v) sinh(u) sinhv tanhu tanh v coshu coshv Die Formel (9) lässt sich analog beweisen.

11 50 Hyperbolische Funktionen 4. Formeln zum doppelten Argument: Für u = v = folgen aus (4), (6) und (8): (0) sinh sinh cosh () cosh cosh sinh () tanh Mit cosh () sinh () folgt cosh sinh und auch noch cosh() cosh () tanh tanh 5. Formeln zum dreifachen Argument: (3) sinh(3) 4sinh () 3sinh() 3 Denn für v = und u = folgt aus sinhu v sinhu coshv coshu sinhv (4) cosh() ) sinh 3 sinh() cosh( sinh : sinh sinh () cosh() sinh() cosh 3 sinh sinh() sinh() cosh 3 sinh () sinh() sinh( ) sinh () 3 3. sinh () sinh() sinh() sinh () cosh(3) 4 cosh () 3cosh() 3 Denn für v = und u = folgt aus (6): coshu v coshu coshvsinhu sinhv (5) cosh cosh 3 cosh sinh sinh cosh() cosh sinh() sinh() cosh() 3 cosh () cosh() sinh ( ) cosh() 3 co sh () cosh () cosh () cosh() 3 3 cosh () cosh() cosh () cosh() 3 3 tanh () 3tanh() tan () 3 tanh () 6. Formeln zum halben Argument: (6) sinh (7) cosh (8) (9) cosh() cosh() (Hier ohne Beweis) sinh() cosh() tanh coth() csch() cosh() sinh() sinh() cosh() cot h coth() csch() cosh() sinh() Demo-Tet für

12 50 Hyperbolische Funktionen Beweis zu (6) und (7): Aus der Formel () cosh sinh folgt, wenn man durch ersetzt: cosh sinh sinh cosh() und daraus: cosh() sinh( ) Analog dazu erhält man aus Beweis zu (8): cosh() cosh () : und daraus: cosh() cosh cosh cosh() cosh cosh() cosh() sinh cosh() cosh() tanh cosh cosh() cosh() cosh() ) cosh() cosh() tanh cosh sinh() cosh() cosh( Man kann den Bruch unter der Wurzel auch anders erweitern und erhält dann: cosh() sinh cosh() cosh() tanh cosh cosh() cosh() cosh() ) cosh sinh() tanh cosh() cosh() 7. Summenformeln (ohne Beweis) (0) sinh(u) sinh(v) sinh u v u v cosh () sinh(u) sinh(v) sinh u v u v cosh () cosh(u) cosh(v) cosh u v u v cosh (3) cosh(u) cosh(v) sinh u v u v sinh cosh() cosh( Demo-Tet für

13 50 Hyperbolische Funktionen 3 8. Viele weitere Umrechnungsformeln (Siehe Tet 50 mit großer Tabelle). (4) (5) (6) (7) (8) (9) tanh sgn sech sinh() sgn() cosh sgn tanh coth sech csch coth() csch () cosh() sinh () tanh () cot () sech() csch() sinh cosh () sgn tanh() sgn() sgn() sech () cosh() coth() sinh () csch () sinh () cosh() sgn() coth() sgn() sgn() csch () sinh() tanh() cosh () sech cot () csch() sech() tanh () cosh() cot h() sinh () csch () sgn() tanh () sech() csch() sgn() coth () sgn() sinh() tanh() cosh () sech Beweis zu (4): a) b) c) d) cosh () sinh () sinh () cosh () sinh() cosh () Ist 0 sinh() 0, ist 0 sinh() 0. Das Vorzeichen der Wurzel ist also das Vorzeichen von, also sgn(). sinh() sinh() tanh() tanh() sinh () sinh() cosh() sinh () tanh () sin () sinh () tanh () tanh () sinh () sinh () Quadrieren: tanh () sinh () tanh () sinh () tanh () tanh () sinh () tanh () tanh() sinh () sinh() tanh () tanh () bei gleichen Vorzeichen links und rechts. cosh() sinh () coth() coth() sinh() sinh () sinh() sinh() Quadrieren: coth () sinh () sinh () coth () sinh () sinh () sinh coth () sinh() coth () Für positives benötigt man +, für negatives das Minuszeichen. sgn() Also verwendet man besser dafür sgn(): sinh() coth () Demo-Tet für sech () sinh () cosh () sech () sech () denn nach Definition ist cosh(). Es folgt: sec() sech () sech () sinh() sgn() sech() sech()

14 50 Hyperbolische Funktionen 4 5 Zusammenhang mit den trigonometrischen Funktionen mit kompleen Zahlen i Im Tet 500 Komplee Zahlen Teil wird die Eulersche Formel e cosisin angegeben und mehrfach bewiesen (ab Seite 9). Aus dieser Gleichung kann man diese Folgerungen ziehen: i e cosi sin () i e cosisin cosi sin () sin sin cos cos. denn und Durch Addition () + () folgt: i i e e cos i sin cos i sin Folgerung: i i und wegen cosi gilt: cosi Durch Subtraktion () () erhält man: Folgerung: und wegen gilt: e e cos i i e e cos (A) i e i i e e e (B) i e e i sin i i e e sin i (C) sin i e i e i i sin i e e i (D) Man erkennt den Zusammenhang zu den hyperbolischen Funktionen so: sinh erweitern i e e i e e e e e e i sinh mit i i i und das ist identisch mit sin(i): Ergebnis: isinh sini bzw. sinh sini i sini (E) i sinh(i) isini isin() isin d. h. sinh(i) i sin (F) Daher folgt: Demo-Tet für Außerdem ist: cosh cosi e e (G) Daher folgt: cosh(i) cos(i ) cos( ) cos() also: cosh(i) cos() (H)

15 50 Hyperbolische Funktionen 5 Funktionen mit kompleen Argumenten Wir benötigen: sinh(i) isin und cosh(i) cos() Aus sinhu v sinhu coshv coshu sinhv folgt sinh iy sinh coshiy cosh sinhiy d. h. sinh( iy) sinh cosy i cosh siny Aus coshu v coshu coshv sinhu sinhv folgt folgt cosh iy cosh coshiy sinh sinhiy d. h. coshiy cosh cosy isinh siny Für die folgende Formel aus dem Tet 630 benötigen wir sin i i sinh() und cos(i) cosh() Aus sinu v sin(u) cos(v) cos(u) sin(v) sin iy sin() cos(iy) cos() sin(iy) folgt d. h. sin iy sin() cosh(y) i cos() sinh(y) Aus cos(u v) cos(u) cos(v) sin(u) sin(v) folgt cos( iy) cos() cos(iy) sin() sin(iy) d. h. cos( iy) cos() cosh(y) i sin() sinh(y) Demo-Tet für

16 50 Hyperbolische Funktionen 6 6 Aufgaben Berechne a) cosh ln b) sinh ln c) tanh ln d) sech ln Demo-Tet für

17 50 Hyperbolische Funktionen 7 Lösung u u a) Die Anwendung von cosh(u) e e Ergebnis: cosh ln Nun benötigt man die Formel führt zu: e e e ln e ln ln ln e lnu u und erhält damit: Man bringt den Klammerinhalt auf einen gemeinsamen Nenner: Die. binomische Formel wird angewandt: cosh ln ln ln ln b) sinh ln e e e Ergebnis: ln e ( ) Hier ist die Berechnung anlog zu a) durchgeführt worden. Demo-Tet für sinh ln

18 50 Hyperbolische Funktionen 8 e c) Hier wird die Formel tanh(u) von Seite 5 benötigt: u e ln ln e e tanh ln tanh ln ln ln u e e Ergebnis: u Nun benötigt man die Formel lnu e Dieser Doppelbruch wird mit (-) erweitert: () () tanh ln d) Wir benötigen die Definitionsgleichungen sech(u) Ergebnis: u und erhält damit: cosh(u) sech ln ln ln coshln e e u ln e ln e Nun benötigt man die Formel e lnu u und erhält damit: Algebraische Umformungen der Doppelbrüche: Die Nennerbrüche erhalten einen gemeinsamen Nenner: u u und cosh(u) e e : Demo-Tet für Mit dem Kehrwert des Nennerbruches multiplizieren, zusammenfassen und kürzen: ( ) sech ln