Merkblatt zur Integration (1)

Transkript

1 Als erstes sollte man sich anschauen Merkblatt zur Integration () ) was die Integrationsvariable ist B.: ( y ) d y + C, da y eine KONSTANTE ist y Analog: ( y ) dy + C, da hier eine KONSTANTE ist ) ob es sich um eine Summe (oder eine Differenz) handelt B.: ( + + ) d : + ; + (+) - lni+i ; + ( ) ( ) Also: + + ) d + ln + + ( ) + C + ( (kann man noch umformen) Bem.: a + b nicht nach den Rechenregeln für rationale Funktionen integrieren! Es gilt: a + b d ln Ia + b I + C a B.: + d + : Also: + d + + C (kann man noch umformen)

2 Merkblatt zur Integration (B) ) ob sich ein Quotient aus zwei ganzrationalen Funktionen in eine Summe (Diff.) von Brüchen zerlegen lässt (Partialbruchzerlegung) + + B.: d + Da der Zählergrad größer ist als der Nennergrad, folgt als erstes die Polynomdivision mit Rest: Also ist d + ( )d + der ganzrationale Anteil + ist problemlos zu integrieren ( + ) ( * ) Ärger macht der Rest. (Blöderweise ist nämlich der Zähler nicht die Nennerableitung). Der Nenner lässt sich aber darstellen wie folgt: + ( +,5) ( ), da die beiden Nullstellen des Nenners,5 und + sind. Der Ansatz: + + {kürzen} + + 0,5,5 A B + { Hauptnenner! } +,5 A ( ) + B ( +,5) ( +,5) ( ) A A + B +,5 B! ( +,5) ( ) ( A + B) +,5 B A ( +,5) ( ) liefert A + B ( ) { das Vielfache von },5 B A ( ) { der konstante Wert im Zähler } Dieses LGS hat die Lösungen A 0,; B 0,8 Somit wird + + 0, 0,8 d d + ) d + 0,5,5 ( + +,5 0, ln I +,5 I + 0,8 ln I I + C ( ** ) Insgesamt gilt mit ( * ) und (**) + + d , ln I +,5 I + 0,8 ln I I + C { Es gibt noch kompliziertere Ausdrücke und auch Sonderfälle, aber... }

3 Merkblatt zur Integration () Welche Integrationsmethode muss ich (vermutlich) anwenden? a) rationale Integranden B.: ( + + ) d (siehe auch Merkblatt ) + Man kann alle Summanden mit Hilfe der Potenzgesetze umschreiben, und fast wie ganzrationale Funktionen integrieren ; + (+) - lni+i ; + ( ) ( ) Also: + + ) d + ln + + ( ) + C + ( (kann man noch umformen) Bem.: Den Faktor beim. Term erhält man entweder durch Integration durch Substitution oder als Killfaktor, den man { Kettenregel!!! } zur Kompensation des Ausdrucks + benötigt. (Wer das nicht kennt, sollte es vorsichtshalber lieber lassen, und z: + substituieren Substitution e), also Seite 5! ) b) Produkte aus rationalen Integranden und der Sinus Kosinus oder Eponentialfunktion (evtl. sinh() oder cosh()) B.: sinh( ) d. Der erste Faktor verschwindet beim Differenzieren, den zweiten kann man beliebig oft differenzieren oder integrieren er ist nicht totzukriegen. Hier sollte man partiell integrieren: u: u ; v sinh() v cosh() u vd, also sinh( ) d cosh() cosh() d v d uv u cosh() sinh( ) Bem.: bei sinh() d müsste man zweimal dem ersten Faktor auf den Pelz rücken, also u:, und zweimal partiell integrieren (leicht gemein!!!)

4 Merkblatt zur Integration () c) Produkte aus zwei Sinus Kosinus oder Eponentialfunktionen (evtl. sinh() oder cosh()) (Fachbegriff: transzendente Funktionen) B.: ( e sin ) d Man kann man beliebig oft differenzieren oder integrieren beide Faktoren sind nicht totzukriegen. Hier sollte man zweimal partiell integrieren, und danach die beiden Integrale auf eine Seite bringen: u: e u e ; v : sin v cos u v d uv u vd, also ( e sin ) d e ( cos) [e ( cos ) ] d, also ( e sin ) d e cos + ( e cos ) d, Jetzt ist für das Integral auf der rechten Seite u: e u e ; v : cos v sin. Es gilt: ( e cos ) d { e sin (e sin ) d }. Insgesamt gilt jetzt: ( e sin ) d e cos + { e sin (e sin ) d } ausmultiplizieren: ( e sin ) d e cos + e sin ( e sin ) d, also: 5 ( e sin ) d e cos + e sin, und damit ( e sin ) d ( e cos + e sin ) 5

5 Merkblatt zur Integration () d) Der Logarithmus Trick ln d??? Hier glaubt man, kein Produkt von Funktionen vor sich zu haben (was ja de facto auch stimmt), aber man kann ein Produkt bilden, und dann mit der partiellen Integration die Lösung bestimmen, wie folgt: u: u ; v: ln v u vd uv uv d, also ( ln ) d ln d, also ( ln ) d ln d ln Anwendungsbeispiel : arctan d??? u: u ; v: arctan v + u vd uv uv d, also arctan d arctan d. + Bem.: Das Integral auf der rechten Seite ist von der Form g g mit der Stammfunktion ln I g I Nennerableitung (Allgemein Quotient: ; Stammfkt ist: ln I Nenner I. Nenner Das erhält man aber auch mit der Substitution z: Nenner ) Damit folgt: arctan d arctan ln I + I + C { Da + > 0 in IR, kann man die Betragstriche durch runde Klammern ersetzen }

6 Merkblatt zur Integration (5) e) die Substitution g ( ) d) Wie schon auf der Seite erwähnt, lassen sich Integrale der Form d g( ) mit Hilfe der Substitution z: g() lösen wie folgt: d g () g ( ) d, also: d g () g( ) g ( ) ln I z I + C ln I g() I + C z g ( ) Diese Sonderform kann man als Formel verwenden! sin B.: tan d d cos sin d cos (cos ) d ln I cos I + C cos B.: d + a ln I + a I + C für jeden beliebigen Wert von a d) Erfolgversprechend ist die Substitution auch bei der Form " Funktion " " innere Ableitung der Funktion nach der Kettenregel" d n B.: (sin cos ) d z: sin; cos ; d n (sin cos ) d z n d, also cos cos cos z n n+ z + C n + n+ sin + C n + Wer sich nicht sicher ist, ob seine Integration richtig ist, kann das Ergebnis durch Differenzieren bestätigen (hoffentlich). to be continued...!!!???