Integral- und Differentialrechnungen für USW Lösungen der Beispiele des 9. Übungsblatts

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1 Integral- und Differentialrechnungen für USW Lösungen der Beispiele des 9. Übungsblatts. Bestimmtes Integral durch Grenzwert: (a) Das bestimmte Integral ist gegeben durch den Grenzwert der Riemannschen Summe, 0 n xdx = lim S(n), S(n) = ˆxi x i wobei hier ausgewählt worden sind ( ) i x i =, i = 0,..., n, ˆx i = x i, i =,..., n n und x i = x i x i = ( ) i n i= ( ) i, i =,..., n Die entsprechende Riemannsche Summe ist gegeben durch n ( ) [ i ( ) i ( ) ] i S(n) = = n n n n n 3 i[i (i ) ] i= oder anhand der Summen-Formeln (Seite 70 im Skriptum), Der Grenzwert ist S(n) = n 3 [i i] = n(n + )(n + ) n 3 6 lim i S(n) = lim n (n + )(n + ) } {{ 3n } =/3 lim i= (n + ) }{{ n } =0 (b) Mit dem Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnungen, x x + x= dx = 0 + = 3/ = 3 x=0 (c) Der Befehl Plot[Sqrt[x],{x,0,}] stellt die Funktion f(x) = x im Intervall [0, ] grafisch dar n 3 n(n + ) = 3

2 und der Befehl Integrate[Sqrt[x],{x,0,}] berechnet den Flächeninhalt (/3) unter der Kurve.. Stammfunktionen: (a) Für eine allgemeine Funktion u(x), u(x) p+ f(x) = u (x)u(x) p, p R F (x) = c + p +, ln(u(x)), p p = (b) Für eine allgemeine Funktion u(x), f(x) = u(x) u (x) F (x) = c + u(x) ln(), (c) Für eine allgemeine Funktion u(x), f(x) = cos(u(x))u (x) F (x) = c + sin(u(x)), (d) Für eine allgemeine Funktion u(x), f(x) = sin(u(x))u (x) F (x) = c cos(u(x)), (e) Für eine allgemeine Funktion u(x), f(x) = sec (u(x))u (x) F (x) = c + tan(u(x)), (f) Für eine allgemeine Funktion u(x), f(x) = u (x)/( + u (x)) F (x) = c + tan (u(x)), Die analogen Hausaufgaben auf Seite 53 im Skriptum werden ähnlich gelöst. 3. Rationale Funktionen: (a) Durch die quadratische Ergänzung (x + x + ) = (x + ) +, + x + x dx = dx (x + ) + Durch die Substitution u = x +, du = dx, dx (x + ) + = du u + = tan u + c = tan (x + ) + c,

3 (b) Durch die algebräische Modifikation x = (x + x + ) (x + ), x + x + x dx = [( x ) + x + + x + x = ] (x + ) (x + ) dx + wobei die obige quadratische Ergänzung verwendet worden ist. Durch die Substitution u = x +, du = dx, x + x + x dx = dx u (u u + du = x + ) u + du Durch die Kettenregel (oder äquivalent durch die Substitution v = u +, dv = udu), x + x + x dx = x ln(u + ) + c = x ln((x + ) + ) + c, oder ohne die quadratischen Ergänzung, x + x + x dx = x ln(x + x + ) + c, (c) Durch die algebräische Modifikation x + 3x + = (x + )(x + ), + 3x + x dx = () (x + )(x + ) dx Für die Partialbruchzerlegung, () (x + )(x + ) = A x + + B x + multipliziert man die Gleichung mit (x + )(x + ), und die unbekannten A und B erfüllen, () = A(x + ) + B(x + ), x oder { x = : = A() + B(0) x = : = A(0) + B( ) d.h. A = und B =. Daher + 3x + x dx = [ x + x + ] (x + ) (x + ) dx = x + dx x + dx Durch die Kettenregel (oder äquivalent durch die Substitutionen x + = u, dx = du bzw. x + = v, dx = dv), [ + 3x + x dx = x + ] dx = ln(x + ) ln(x + ) + c, x + oder mit den Eigenschaften der Logarithmusfunktion, + 3x + x dx = ln(x + ) ln(x + ) + c = ln ( (x + ) (x + ) ) + c, 3

4 4. Partielle Integration: (a) Für das Integral x cos(x)dx wird x durch ihre Ableitung vereinfacht. Daher verwendet man die Substitutionen, x cos(x) = u(x)v (x) u(x) = x v (x) = cos(x) u (x) = v(x) = sin(x) u (x)v(x) = sin(x) x cos(x)dx = x sin(x) sin(x)dx = x sin(x) + cos(x) + c, (b) Für das Integral x ln(x)dx wird ln(x) durch ihre Ableitung vereinfacht. Daher verwendet man die Substitutionen, x ln(x) = u(x)v (x) u(x) = ln(x) v (x) = x u (x) = /x v(x) = x / u (x)v(x) = x/ x ln(x)dx = x ln(x) xdx = 4 x ln(x) 4 x = ln(x ) x + c, 4 (c) Für das Integral xe x dx wird x durch ihre Ableitung vereinfacht. Daher verwendet man die Substitutionen, xe x = u(x)v (x) u(x) = x v (x) = e x u (x) = v(x) = e x u (x)v(x) = e x xe x dx = xe x e x dx = xe x e x + c = e x (x ) + c, 4

5 (d) Für das Integral e x sin(3x)dx verwendet man den ähnlichen Ansatz auf Seiten 5-5 im Skriptum. Zuerst verwendet man die Substitutionen, e x sin(3x) = u(x)v (x) u(x) = sin(3x) v (x) = e x u (x) = 3 cos(3x) v(x) = e x / u (x)v(x) = 3 ex cos(3x) e x sin(3x)dx = ex sin(3x) 3 e x cos(3x)dx Dann für das letzte Integral verwendet man die Substitutionen, e x cos(3x) = f(x)g (x) f(x) = cos(3x) g (x) = e x f (x) = 3 sin(3x) g(x) = e x / f (x)g(x) = 3 ex sin(3x) f(x)g (x)dx = f(x)g(x) f (x)g(x)dx zwischen den eckigen Klammern, [ e x sin(3x)dx = ex sin(3x) 3 ex cos(3x) + 3 ] e x sin(3x)dx Man summiert das letzte Integral auf beiden Seiten, ( ) e x sin(3x)dx = ex sin(3x) 3 4 ex cos(3x) und es folgt, 5. Trigonometrische Identitäten: e x x sin(3x) 3 cos(3x) sin(3x)dx = e + c, 3 (a) Für das Integral x dx erkennt man in x die Form der trigonometrischen Identität sin (θ) = cos (θ). Anhand der Substitution x = sin(θ), dx = cos(θ)dθ bekommt man die folgende Transformation des Integrands x = sin (θ) = cos(θ) = cos(θ) 5

6 wobei vorläufig angenommen wird, dass cos(θ) = cos(θ) 0 gilt. Man sieht unten, dass diese Annahme zu einer gültigen Stammfunktion führt. Mit der obigen Substitution ergibt sich x dx = cos (θ)dθ Mit der trigonometrischen Identität cos (θ) = (+cos(θ)) lässt sich der Integrand cos (θ) so vereinfachen, cos (θ)dθ = [ + cos(θ)]dθ = [ θ + sin(θ)] Der Term sin(θ) lässt sich direkt bezüglich x umschreiben, wenn die trigonometrische Identität sin(θ) = sin(θ) cos(θ) verwendet wird. Das Integral bezüglich θ ist dann cos (θ)dθ = [θ + sin(θ) cos(θ)] + c, Mit x = sin(θ) und x = cos(θ) x dx = cos (θ)dθ = [θ + sin(θ) cos(θ)] = [sin (x) + x ] x +c, In Hinblick auf die obige Annahme dass cos(θ) = cos(θ) gilt, bestätigt man zur Kontrolle, dass die Ableitung der rechten Seite mit dem Integrand x übereinstimmt. (b) Für das Integral dx x x erkennt man in x die Form der trigonometrischen Identität sec (θ) = tan (θ). Anhand der Substitution x = sec(θ), dx = sec(θ) tan(θ)dθ bekommt man die folgende Transformation des Nenners des Integrands x x = sec (θ) sec (θ) = sec (θ) tan(θ) = sec (θ) tan(θ) wobei vorläufig angenommen wird, dass tan(θ) = tan(θ) 0 gilt. Man sieht unten, dass diese Annahme zu einer gültigen Stammfunktion führt. Mit der obigen Substitution ergibt sich dx sec(θ) tan(θ)dθ x x = sec (θ) tan(θ) = cos(θ)dθ = sin(θ) + c, Durch x = sec(θ) und x sin(θ) = sin(θ) sec(θ) = sin(θ) cos(θ) = tan(θ) = tan(θ) = sec (θ) = x dx x x x = sin(θ) + c = + c, x In Hinblick auf die obige Annahme dass tan(θ) = tan(θ) gilt, bestätigt man zur Kontrolle, dass die Ableitung der rechten Seite mit dem Integrand /(x x ) übereinstimmt. 6