Exercise Sheet No. 12 Exercises with Solutions

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1 Eercise Sheet No. Eercises with Solutions Eercise 5: Find all global etrema of the following function on the interval [, ] f() ln( + ) +. Solution 5: Die Funktion f ist stetig und das Intervall [, ] kompakt. Damit nimmt f sein Maimum und Minimum an, und diese liegen entweder am Rand, oder im Innern des Intervalls. Die Werte am Rand können wir bestimmen: f() f() ln Etrema im Innern können nur Punkte mit waagerechter Tangente sein, für diese gilt f (), wir bestimmen also die Nullstellen der Ableitung f : f () + ( + ) () 4( + ) ( + ) ( + ) )( + ) + 4 4( + ) ( + ) ( ( + ) Im fraglichen Intervall liegt nur der Punkt und dort erhalten wir f( ) ln( + ) +. Der Vergleich der Funktionswerte liefert: in ist ein globales Maimum und in ein globales Minimum. Eercise 57: (a) Calculate the following anti-derivatives on (, ) using integration by substitution: d () ln, () d. (b) Calculate the following integral using integration by substitution first and integration by parts afterwards 4 ( ) arctan d. Hint: The derivative of arctan was calculated in Eercise 49. (c) Calculate the following integrals using integration by parts () (cos(t)) cos(t) dt, () (sin()) d, () ln()d. Solution 57:

2 (a) ) Wir betrachen das Integral ln d ln d. Es fällt auf, dass der Bruch ln mit der Ableitung des Nenners (nämlich ) multipliziert wird. Es bietet sich daher die Substitution u ln an. Dann ist du d und es folgt ln d u du du ln u + C ln(ln()) + C. u Achtung: Rücksubstitution im letzten Schritt nicht vergessen! ) Wir substituieren u, du. (Achtung: Die Substitution sin u geht hier nicht! Das liegt daran, dass das nicht aus (, ), sondern (, ) ist.) Somit folgt d u du du u / u / + C u + C. ) Die Substitution u() (u + ) liefert d 4u(u + ) du. Wenn ist u und wenn 4 ist u 4 also erhält man 4 arctan d 4u(u + ) arctan u du. d Partielle Integration mit f (u) 4u(u +), f(u) (u +) und g(u) arctan u, g (u) +u liefert [(u + ) arctan u] (b) ) Mit partieller Integration und sin (t) + cos (t) ergibt sich (u + ) du 4 arctan [ u + u] cos t cos t dt cos t sin t Nun gilt cos(4t) 8 cos 4 (t) 8 cos (t) +, also ist cos t dt + cos t dt cos 4 (t) dt 8 ) Wir setzen u ln() und v, also u ln()d ln() / cos t sin t dt cos 4 t dt ( cos(4t) dt. und v. Dann folgt d Hier führt also das Ableiten vom Logarithmus zum Ergebnis. ln() 9 + C ) Hier setzen wir u sin() und v sin(), also u cos() und v cos(). Dann gilt sin ()d sin() cos() + cos ()d sin() cos() + ( sin ())d sin() cos() + sin ()d Es funktioniert nicht beim cos ()d erneut partielle Integration zu versuchen, sondern muss die trigonometrische Identität sin ()+cos () nutzen. Insgesamt hat man nun: sin ()d sin() cos() sin () d. Bringt man nun die beiden Integrale auf eine Seite und dividiert durch zwei so erhält man das Endergebnis: sin ()d sin() cos() + C.

3 Eercise 58: Find the derivative F of the following function F F : [, ] R, F () : ln() sin(cos(t)) dt. Solution 58: Wir können F schreiben als: F () ln sin(cos t) dt + Wir definieren G: [, ] R durch: sin(cos t) dt G() : ln sin(cos t) dt. sin(cos t) dt + sin(cos t) dt. also F () G(ln ) + G( ). Aus den ersten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Skript Satz., Seite 99) folgt: Jetzt haben wir nach der Kettenregel: G () sin(cos ). F () G (ln ) + G ( sin(cos(ln )) ) + sin(cos( )). Eercise 59: Consider the value J of the integral J Prove the following lower and upper bounds on J / / sin() d. (a) ln < J < ln, (b) < J <. Solution 59: a) z (, ): J sin z Auf dem Intervall [, ] sind, sin >. d sin z(ln ln ) sin z ln streng wächst, folgt J < sin ln ln, J > sin ln ln ln. b) z (, ): J z sin d z (cos cos ) z sin z ln. Da die Sinusfunktion auf [, ]. Also J > bzw. J <. Eercise : For each of the following functions, find all anti-derivatives (a) f : (, ) R, f() (c) h: R R, h() earctan(). ( + ), (b) g : (, ) R, g() ln() ln(ln ) ( ) ln(), Solution : (a) d ln ln(ln ) u ln du d du u ln u du u ln u t ln u dt du u ln t + C ln ln u + C ln ln(ln ) + C udt dt ut t

4 (b) (c) ( ) t ln t ln t ln t e d dt d dt t e t u t dt dv e t dt t e t + te t u t du dt dt dv e t dt v e t t e t + e arctan d ( + ) t e t te t e t + C ln I t arctan dt d + sin t cos t et cos t+sin t cos t u sin t dv e t dt dt e t sin t e t cos t I I (et sin t e t cos t) + C du cos t v e t ln + C e t tan t ( + )dt ( + ) sin t cos t et dt sin t e t dt cos t :I e t sin t e t cos tdt du tdt v e t ( te t + tan t e t sin t tan t cos t + tan t dt u cos t dv e t dt Rücksubstitution: e arctan d ( e arctan sin(arctan ) e arctan cos(arctan ) ) + C ( + ) ) e t dt du sin t v e t ( )e arctan(). + sin t cos tet + sin t cos t dt. Tutorial Eercises with Solutions Eercise T4: Prove the following inequalities for all [, ]: (a) + > 4, (b) arcsin() +. Solution T4: (a) Wir betrachten die Funktion f : [, ] R der Differenz der beiden Terme: f() : + 4 +! > und wollen zeigen, dass sie strikt positiv ist. Diese stetige Funktion nimmt auf dem kompakten Intervall [, ] sein Minimum an; und zwar entweder am Rand ± oder im Innern (, ). Wenn die Aussage für das Minimum gilt, dann gilt sie auch für alle [, ]. Wir prüfen die Funktion am Rand: Wir berechnen f( ) > und f() >. Da hier die Aussage erfüllt ist, untersuchen wir nun etwaige Etrema im Inneren. f ist differenzierbar! Wir berechnen die Ableitung f () ( + 9 ) 8(( + ) 9 ) 8(( + ) 9 ) und bestimmen deren Nullstellen: (+ ) 4 ±, also und +. Etrema von f im Intervall (-,) sind nur an diesen Stellen möglich. Wir untersuchen f an diesen Stellen: f( ) > f( ) > Das Minimum von f auf [, ] liegt also bei, und da hier die geforderte Ungleichung erfüllt ist, haben wir die Ungleichung auf [, ] nachgewiesen.

5 (b) Wir betrachten wieder die Funktion f : [, ] R der Differenz der beiden Terme: f() : arcsin()! und wollen zeigen, dass sie nicht positiv ist. f ist stetig und nimmt auf dem kompakten Intervall [, ] sein Maimum an. Entweder auf dem Rand ± oder im Innern (, ). Wenn die Aussgae für das Maimum gilt, so gilt sie auch für alle [, ]. Wir prüfen die Funktion am Rand: Wir berechnen f( ) < und f(). Da hier die Aussage erfüllt ist, untersuchen wir nun etwaige Etrema im Inneren. Wieder ist f differenzierbar auf (, )! Wir berechnen die Nullstellen der Ableitung f in (, ): arcsin () f () sin (arcsin()) cos(arcsin() sin (arcsin()) ( 4 ) 4( )( + ) Somit sind Etrema in ± möglich, wir untersuchen f an diesen Stellen: Für ± ist arcsin(± ) ± und damit f( ) + 4 < + <, f( ) 4 < <. Das Maimum von f auf [, ] liegt also bei, und da hier die geforderte Ungleichung erfüllt ist, haben wir die Ungleichung auf [, ] nachgewiesen. Eercise T5: Calculate the following anti-derivatives using integration by parts ( ) (a) sin()d, (b) arctan d, (c) (ln y) dy. (d) Show that the following equation holds (cos()) d (sin()) d. Solution T5: (a) Wir integrieren zweimal partiell, wobei jeweils die -Potenz differenziert wird, [ ] sin d ( cos )+ cos d cos + sin sin d cos + sin + cos +C. (b) Wir schreiben arctan(/( )) arctan(/( )) und integrieren partiell, wobei wir die Konstante integrieren und arctan(/( )) ableiten, arctan d arctan ( ) ( ) + d arctan + ( ) + d. Wir bemerken, dass im letzten Integral im Zähler fast die Ableitung des Nenners steht, es fehlt nur eine Konstante. Die beschaffen wir uns folgendermaßen: Wir ergänzen im Zähler des Integrals geschickt den Term /, ziehen ihn durch ein neues Integral wieder ab, und klammern / aus, damit wir aufleiten können, arctan + ( ) + d arctan + arctan ( ) ( ) + d + d ( ) + + ln ( ) + + arctan( ) + C.

6 (c) Wegen ln ydy y ln y y+c integrieren wir partiell, wobei wir ln y einmal integrieren und einmal ableiten, (ln y) dy (y ln y y) ln y (y ln y y) y dy y(ln y ) ln y (ln y )dy y(ln y ) ln y [y ln y y y] + C y ln y y ln y + y + C y(ln y ) + y + C. (d) Mit einer partiellen Integration erhalten wir Außerdem gilt cos d [sin cos ] + sin sin d sin d. cos d ( sin ) d sin d Deshalb gilt (Integral auf der rechten Seite nach links bringen... ) cos d. cos d Eercise T: Calculate the following integrals using integration by substitution (a) cos() e sin() d, (b) d, cos(ln()) (c) d, (d) + ln() ln() d. Solution T: zsin() dz d cos() dzcos()d ez dz [e z ] e e e (a) / cos() e sin() d Hier ist das zu Substituierende leicht zu entdecken, die Ableitung ist auch schon in der richtigen Form vorhanden. (b) d z +7+ dz d +7 dz(+7)d Rücksubst. z dz ln z + C ln C Der Zusatz +C soll ausdrücken, dass die gesuchte Stammfunktion nur bis auf Addition einer Konstante C R eindeutig ist. Natürlich hat man auch ohne diese Konstante bereits eine Stammfunktion gefunden, das Integral also korrekt gelöst. Manchmal interessiert man sich jedoch für alle möglichen Stammfunktionen (zum Beispiel um dann später eine spezielle Stammfunktion zu suchen, die zusätzliche Bedingungen erfüllt). In diesem Fall ist es sinnvoll, die Konstante jeweils mit dazu zu schreiben, damit man die Übersicht behält, welche Wahlmöglichkeiten man noch hat. (c) cos(ln()) d zln() dz d dz d cos(z)dz sin(z) + C Rücksubst. sin(ln()) + C (d) z ln() ln() z +ln() ln() d dz d dz d ln() + C + z z dz ( Rücksubst. z )dz ln z +z +C ln ln() + Hier bieten sich viele Substitutionen an, z.b. auch z ln() oder z + ln(), nur muss man dann etwas mehr danach arbeiten. Eine geschicktere Substitution am Anfang erleichtert die weiteren Berechnungen.