VERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK. Es gibt drei ganz einfache Techniken zum Integrieren von etwas komplizierteren

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Elmar Goldschmidt
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1 VERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK ÜBUNGEN Es gibt drei ganz einfache Techniken zum Integrieren von etwas komplizierteren Funktionen: () Mit der Partialbruchzerlegung lässt sich jede gebrochen-rationale Funktion integrieren (falls der Nenner auch nichtreelle Nullstellen hat, muss man entweder mit kompleen Zahlen rechnen oder die Umkehrfunktion des Tangens als Grundfunktion einführen). () Mit der partiellen Integration lässt sich ein Integral in ein anderes verwandeln, das mit etwas Glück leichter zu integrieren ist als das ursprüngliche. Eine Erfolgsgarantie gibt es dabei aber nicht. () Die Substitutionsregel ist das mächtigste Hilfsmittel zum Umformen von Integralen. Auch hier kann man nur so lange Probieren, bis die Sache klappt oder bis man erfolglos aufgibt.. Partialbruchzerlegung Wir wollen zeigen, wie man das Integral + d berechnen kann. Wer den Nenner mit Vieta nicht direkt zerlegen kann, löst die Gleichung +, findet = und =, und hat dann + = ( )( + ). Mit dem Ansatz + = A + + B (diese Gleichung soll für alle gelten) finden wir durch Wegschaffen des Nenners, also Multiplikation mit + = ( + )( ) = A( ) + B( + ). Ausmultiplizieren und Zusammenfassen ergibt = (A + B) A + B.

2 ÜBUNGEN Wenn diese Gleichung für alle gelten soll, muss A + B = und A + B = sein. Addition der beiden Gleichungen liefert B = und damit A =, und wir haben + = +, was sich durch Bilden des Hauptnenners auf der rechten Seite leicht nachrechnen lässt. Damit folgt + d = + d d = ln( + ) ln( ). Aufpassen muss man, wenn das quadratische Polynom im Nenner nicht mit beginnt. Betrachten wir dazu d. Hier findet man die Nullstellen des Nenners zu = und =. Daraus folgt, dass 6 + ein Vielfaches von ( )( ) sein muss, und wenn man die Koeffizienten von ansieht, erkennt man, dass 6 + = 6( )( ) gelten muss. Die Faktoren 6 = ziehen wir jetzt so in die Klammern, dass alle Brüche verschwinden: 6( )( ) = ( ) ( ) = ( )( ). Ausmultiplizieren zeigt, dass die Zerlegung korrekt ist. Der Ansatz führt nun wie oben auf = A + B = + und damit auf d = ln( ) + ln( ).

3 VERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK. Partielle Integration Die Partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel (uv) = u v + uv. Integriert man diese Gleichung, erhält man (uv) = u v + uv, was natürlich nur eine Abkürzung für die genauere Schreibweise (u() v()) d = u ()v() d + u()v () d ist. Nun ist (uv) = uv, also folgt uv = u v + uv. Angewandt wird dies in der Form u v = uv uv. Betrachten wir beispielsweise das Integral sin() d. Hier gibt es (mindestens) zwei Möglichkeiten: () Wir setzen u = und v = sin ; () Wir setzen u = sin und v =. Im ersten Fall ist u = und v = cos, und partielle Integration liefert sin() d = sin cos() d. Diese Gleichung ist zwar richtig, aber das Integral auf der rechten Seite ist komplizierter als das ursprüngliche. Im zweiten Fall ist u = cos und v =, also sin() d = cos ( cos ) d. Dies sieht viel besser aus, weil sich das Integral auf der rechten Seite ausrechnen lässt: sin() d = cos + sin. Probe durch Ableiten ergibt wie gewünscht. ( cos + sin ) = cos + sin + cos = sin Bei Integralen wie ln() d hilft es, u = zu setzen.

4 ÜBUNGEN. Substitution Die Integration durch Substitution ist die Umkehrung der Kettenregel: aus u(v()) = u (v()) v () folgt u(v()) = v () u (v()) d. Im einfachsten Fall kann man die Anwendbarkeit sehen: es ist e d = e, cos()e sin d = e sin, + d = ln( + ). Dies sind im wesentlichen einfache Anwendungen folgender Regeln: u ()e u() d = e u(), u () cos(u()) d = sin(u()), u () sin(u()) d = cos(u()), u () d = ln u(). u() Mit etwas Übung lernt man, solche Dinge auf Anhieb zu sehen. Wenn man mit bloßem Auge nichts sieht, geht man anders vor. Wir betrachten noch einmal die Gleichung u(v()) = u (v()) v () d. Wir setzen im rechten Integral v() = z und dz = d z = v (), also v ()d = dz. Dann ist u (v()) v () d = u (z) dz = u(z), also nach Rücksubstitution u (v()) v () d = u(v())

5 VERTIEFUNGSKURS MATHEMATIK 5 wie gewünscht. Diese Art von Substitution liefert also korrekte Ergebnisse; auch hier ist nicht gesagt, dass jede Substitution das Integral vereinfacht. Betrachten wir beispielsweise + d. Mit z = + wird z =, also dz = d, wegen = z daher + d = (z ) z dz. Mit z = z ist (z ) z = (z )z = z z, also + d = (z z ) dz = z 5 5 z. Resubstitution ergibt + d = ( + ) 5 5 ( + ) = 5 = 5 5 ( ) = = Anstatt zu resubstituieren kann man auch die Grenzen umrechnen: mit z = + wird aus den Grenzen = bzw. = des Integrals z = bzw. z = : + d = z 5 5 z = 5 5 ( ) = wie eben.

6 6 ÜBUNGEN Übungsaufgaben Alle Ergebnisse sind durch Ableiten zu kontrollieren! () Bestimme eine Stammfunktion d = d = ( + ) 7 d = (sin ) cos() d = ( + ) d = 5 + d = e e + e 6 d = d = d + d = cos() d = sin d = e + d = e e + e 6 d = () Bestimme eine Stammfunktion von mit Hilfe der Substitution = sin z und der Gleichung (sin ) + (cos ) = () Berechne folgende Integrale mit der jeweils angegebenen Substitution: d = z / d = z ( + ) d = z

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