Teil 2. Ganzrationale und Gebrochen rationale Funktionen. Unbestimmte Integrale und Stammfunktionen auch mit Substitution

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1 Teil Ganzrationale und Gebrochen rationale Funktionen ANALYSIS Einführung in die Integralrechnung Unbestimmte Integrale und Stammfunktionen auch mit Substitution Kurze Theorie und dann Viel Praxis Datei Nr Stand. November 016 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Stoff-Verteilung Datei Nr Teil 1 (Theorie) Einführung in die Grundlagen: Änderungen und Differenziale Lineare Änderungen / Nicht-lineare Änderungen Lineare Änderungen auf der Tangente - Differenzialbegriff Das unbestimmte Integral Stammfunktionen - Grundintegral 1 Datei Nr Teil : (Theorie und Praxis) Datei Nr Teil 3 (Praxis) Datei Nr Teil 4 (Praxis) Integrationsregeln Unbestimmte Integrale für ganzrationale und gebrochen rationale Funktionen mit vielen Substitutionsarten. Umfangreiches Übungsmaterial Das bestimmte Integral für Potenzfunktionen, ganzrationale und gebrochen rationale Funktionen, auch mit Substitution. Datei Nr Teil 5 (Theorie und Praxis) Datei Nr Teil 5a (Praxis) Datei Nr Teil 5b (Praxis) Datei Nr Teil 6 (Praxis) Integration von Wurzelfunktionen Partielle Integration: alles Exponentialfunktionen alles) Ln-Funktionen alles Trigonometrische Funktionen alles Datei Nr Grundniveau für einfache Anforderungen Datei Nr Lernblatt: Höheres Niveau Datei Nr Datei Nr Datei Nr Datei Nr Text zum Gründlichen Wiederholen und Trainieren Potenzfunktionen, Rationale Funktionen, Wurzelfunktionen, Exponentialfunktionen und Trigonometrische Funktionen. Die wichtigsten Integrale Integrationsmethoden zu gebrochen rationalen Funktionen Übersicht Integration mit Partialbruchzerlegung Reduktionsformel für gebrochen rationale Funktionen Integration mit der Arkustangensfunktion Datei Nr Schwere Integrale

3 4801 Integrationsregeln 3 Vorwort Schulen, welche im Abitur CAS-Rechner zulassen, haben ihren Stoffbereich eingeschränkt. Damit werden viele Integrationsmethoden nicht mehr behandelt, weil dazu der Rechner verwendet werden darf. In den Pflichtaufgaben ohne Hilfsmittel werden jedoch bestimmte Grundkenntnisse abgeprüft. Dazu gehören die Integration von Potenzfunktionen aller Art, von ganzrationalen Funktionen und von gebrochen rationalen Funktionen, zu denen man kein Substitution benötigt. Daher gibt es jetzt neben diesem Text, der noch die ganze Anforderungsbreite enthält (und daher für Leistungskurse und Studenten nach wie vor von Bedeutung ist) den neuen Text: Integration Grundniveau Dort findet man weitere Beispiele und Aufgaben zu den genannten Funktionstypen. Es ist ein reiner Trainingstext. Inhalt 1 Grundregeln der Integration Was bisher geschah (Grundintegral 1) 4 1. Grundregeln der Integration 5 Integration ganzrationaler Funktionen 6 3 Integration gebrochen rationaler Funktionen Merkmal: Reine Potenzfunktion Merkmal: Potenzfunktion mit konstantem Faktor Merkmal: Der Nenner enthält keine Summe Merkmal: Der Nenner enthält eine Summe und der Zähler kein x 1. Methode: Potenzregel und innere Ableitung 10. Methode: Einfache Substitution Merkmal: Der Nenner enthält eine Summe und der Zähler auch x (Erweiterte Substitution) Merkmal: Der Nenner enthält eine Summe mit x und der Zähler auch x (Erweiterte Substitution quadratischer Terme) 17 4 Zusammenstellung aller Trainingsaufgaben 18 5 Lösungen aller Trainingsaufgaben 0-5

4 4801 Integrationsregeln Was bisher geschah 1 Grundregeln der Integration Als Differential einer Funktion y = f(x) bezeichnet man den Term dy f '(x) dx. Die Methode, ein Differenzial rückgängig zu machen, nennt man Integration. Es gilt die Schreibweise: dy y C bzw. f ' x dx f x C. Die Konstante C muss dazukommen, weil eine solche Konstante beim Ableiten verschwindet, also bei der Umkehrung nicht mehr rekonstruierbar ist. Geht man von einer Funktion f aus, dann nennt man die mit diesem sogenannten unbestimmten Integral erzeugte Funktion eine Stammfunktion F zu f: F(x) f x dx... C Weil dieses Integrieren die Umkehrung zum Ableiten ist, kann man die Probe machen: Es muss gelten: F' x Erstes bisher bekanntes Grundintegral aus Teil 1: Grundintegral 1: f(x) ln x C für n 1 n1 x n xdx C für n 1 n 1 (G1)

5 4801 Integrationsregeln 5 1. Grundregeln der Integration Grundregel 1: Konstante Faktoren stehen lassen Bereits vom Ableiten her weiß man, dass ein konstanter Faktor ohne Einfluss ist und stehen bleibt. f(x) k x f ' x k x. Das gilt dann genauso bei der Umkehrung des Ableitens: Beispiel: Grundregel : k f x dx k f x dx 5x dx 5 x dx 5 x C x C x 4 C 5x Probe: I Beispiel: Grundregel 3: Beispiel: Summanden werden getrennt integriert f x g x dx f x dx g x dx x x dx x dx x dx x x C x x C x x Probe: l Linearität des Integrals r f x s g x dx r f x dx s g x dx x 5x dx x dx 5 x dx x 5 x C x x C Die Regel 3 ist keine neue Regel, sie vereint lediglich die Grundregeln 1 und in einer Formel. Mit ihr können wir jetzt alle ganzrationalen Funktionen integrieren.

6 4801 Integration Ganz rationale Funktionen 6 Integration ganzrationaler Funktionen Mit der Potenzregel (1. Grundintegral) und den soeben gezeigten Grundintegralen lassen sich alle ganzrationalen Funktionen leicht integrieren, d.h. die Stammfunktion aufstellen. Beispiele (1) Berechne die Stammfunktion zu 1 f x x 3x F x x 3x dx x dx3 x dx dx F x x 3 x xc x x x C Die Aufspaltung in die einzelnen Teilintegrale lassen wir künftig weg und gehen so vor: Summanden werden getrennt integriert und die konstanten Faktoren bleiben stehen. () (3) x x 3 dx x x 3xC x x 3xC x 3x x 1 dx x 3 x x x C x x x x C a) 3x 1 dx b) x x5dx c) x 1 x 1 4 dx d) 1 3 x x 3 dx e) x x x x 5 dx f) x 4x 5x 3x 7 dx Trainingsaufgaben 1 Bestimme C so, dass das Schaubild der Stammfunktion F zu f durch den Punkt P geht: f x x 1 P3 1 g) f x x x P1 0 h) 3 f x x x 4 P i) 4