In diesem Text findet man. 1. den umfassenden Wegweiser zu allen Texten, deren Hauptthema Ableitungen sind.

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1 Analysis Zentraltet für Ableitungen In diesem Tet findet man 1. den umfassenden Wegweiser zu allen Teten, deren Hauptthema Ableitungen sind.. Zu jeder Ableitungsregel und zu jeder wichtigen Funktionsart Beispiele und Aufgaben zum Wiederholen Datei 1100 Stand. Januar 011 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 1100 Zentraltet für Ableitungen Vorwort Das Problem einer jeden Bibliothek ist sehr oft das Suchen und Finden eines geeigneten Tetes. Da es sehr viele Tete zu Ableitungen gibt, die zudem noch über diverse Funktionenbereiche verteilt sind, habe ich diesen Zentraltet für Ableitungen angefertigt. Er bringt eine ziemlich tief gehende Übersicht über Ableitungen von allerlei Funktionen. Und zu jedem Thema findet man Verweise auf andere Tete, die noch mehr Übungen bereitstellen. Außerdem folgt jetzt gleich eine Übersichtsliste aller Funktionen, in denen es um das handwerkliche Ableiten geht, also nicht um deren Anwendungen Zentraltet für Ableitungen (Dieser Tet) 1101 Ableitungen mit der Grenzwertmethode berechnen. Beweis einiger Ableitungsregeln mit der Grenzwertmethode. 110 Hier werden nur mit der Potenzregel, der Regel für konstante Faktoren und der Summenregel ganzrationale Funktionen abgeleitet, dann gebrochen-rationale Funktionen, die man in die Potenzschreibweise setzen kann, und ebenso einfache Wurzelfunktionen. Kettenregel, Produktregel und Quotientenregel werden nicht verwendet, 110 Kettenregel mit Anwendungen auf viele Funktionsarten 1105 Implizite Ableitungen (Teil 1 auf (höherem) Schulniveau) 111 Ableitungen zusammengesetzter Funktionen, Differenzierbarkeit Ableitungsbeispiele (Arbeit eines Schülers) 015 Ableitung gebrochen rationaler Funktionen Quotientenregel 016 Übungsaufgaben aus Ableitung von Wurzelfunktionen, auch komplizierte Funktionen Ableitung von Eponentialfunktionen. 501 Ableitung von Eponentialfunktionen mit vollständiger Induktion 601 Ableitung von Logarithmusfunktionen 7015 Ableitung von trigonometrischen Funktionen 5100 Implizite Ableitungen (Teil für Studenten) Februar 011.

3 1100 Zentraltet für Ableitungen Inhalt 1. Berechnung der Ableitung als Grenzwert der Sekantensteigung. Grundregeln der Ableitungen 5. Ableitung ganzrationaler Funktionen 7. Ableitung gebrochen rationaler Funktionen 10.1 Funktionsterme ohne Summe im Nenner 11. Funktionsterme ohne im Zähler, aber mit Summe im Nenner 1. Funktionsterme ohne im Zähler Summe im Nenner (Quotientenregel) 1 5. Ableitung von Wurzelfunktionen Nur mit Summenregel, konstante Faktoren und Potenzegel Ableitungen auch mit Kettenregel Ableitungen auch mit Produktregel Ableitungen auch mit Quotientenregel 19 6 Ableitung von Eponentialfunktionen Einfache Ableitungen mit Kettenregel 1 6. Ableitungen auch mit Produktregel 6. Ableitungen auch mit Quotientenregel 7. Ableitung von Logarithmusfunktionen Reine Logarithmusfunktionen 6 7. Logarithmus in einer Summe 7 7. Logarithmus in einem Produkt 7 7. Logarithmus in einem Bruch Andere Funktionstypen 8 8. Ableitung von trigonometrischen Funktionen Funktionen der Form f sinu, f cosu 1 8. Trigonometrische Terme in Summen 1 8. Trigonometrische Terme in Potenzen 8. Trigonometrische Terme in Produkten 8.5 Trigonometrische Terme in Brüchen Die Lösungen der Aufgaben befinden sich zum Teil in diesem Tet ab Seite 7, zum Teil auch in den anderen Ableitungsteten.

4 1100 Zentraltet für Ableitungen 11 Beispiele.1 Funktionsterme ohne Summe im Nenner Ableitung: f' 8 (1) f 8 () () Dieses Beispiel ist als Musterbeispiel anzusehen. Man wandelt den Bruch in ein Produkt aus Zahl und -Potenz um. Bei Ableiten bleibt der Faktor stehen und die -Potenz wird mit der Potenzregel abgeleitet, indem man den alten Eponenten als Faktor davor schreibt und dann die Hochzahl verkleinert. Aus - wird dadurch - (nicht -1!). Am Ende schreibt man statt - wieder einen Bruch. Das Minuszeichen würde ich vor dem Bruch stehen lassen. f() 1 f' Jetzt muss man den Bruch zuerst in zwei Summanden zerlegen, kürzt und bringt mit negativem Eponenten nach oben. Dann leitet man ab, wobei aus -1 dann - wird. Am Ende bringt man den Term wieder in Bruchform. f() 5 1 () f() (5) f() Aufgabe f'() f'() Eine Schwierigkeit liegt hier im Vorziehen des Minuszeichens, damit erhält der Zähler des. Bruches ein Pluszeichen. Wir leiten ein zweites Mal ab: 6 6 f() f'() 1 f' (a) (d) f() f() 5 8 (b) (e) f() f() 8 ( ) (c) (f) f() f() 9 10

5 1100 Zentraltet für Ableitungen 1. Funktionsterme ohne im Zähler, aber mit Summe im Nenner Beispiel (6): f f Wie man sieht, schreibt man in diesem Fall den Nenner mit negativer Hochzahl als Faktor zum Zähler. Nun leitet man mit der Kettenregel ab. Diese wird anschaulich, wenn man zuerst den Klammerinhalt durch u substituiert: Setze u = Damit lautet die Funktion f() u 1. Die Kettenregel verlangt nun, dass man erstens u -1 in -u - ableitet, und dass man zweitens noch mit der Ableitung u' (innere Ableitung) multipliziert: f' u u' u' u Wegen u = + 16 ist u' =. Nun macht man die Substitution wieder rückgängig: f' 8 16 ( 16) Das Ganze geht natürlich auch ohne Substitution: Man leitet die Klammer mit der Potenzregel ab: (-1 vor; neue Hochzahl - ) und multipliziert mit der inneren Ableitung (der Klammer): 1 f 16 f ' 1 16 Ich schreibe zum besseren Verständnis die innere Ableitung auch dann hin, wenn sie 1 ist und man sei eigentlich weglassen könnte. Beispiel (7): Beispiel (8): Beispiel (9): Beispiel (10): f() ( ) 1 6 f() 6( 1) ( 1) f() ( 16) ( 16) 1 f() 1( ) 1 f '() ( ) 1 ( ) innere Ableitung 1 1 f'() 1(1) 1 ( 1) f '() 6( 16) 18 ( 16) f'() 1( ) ( ) 1 ( ) ( ) Aufgabe 5 Berechne je zwei Ableitungen (a) f() (b) f() (c) f() 8 ( ) (d) f() 18 ( 9) Die zweite Ableitung kann in b) und c) erst nach dem nächsten Abschnitt berechnet werden!

6 1100 Zentraltet für Ableitungen 1. Funktionsterme mit im Zähler und Summe im Nenner 5 Beispiel (11): f() Quotientenregel: u u'v v'u v v Zähler: u() = - 5 mit u'() = Nenner: v() = + mit v'() =. f'() ( ) ( ) ( ) ( ) Zweite Ableitung: ( ) ( 5) Aus der 1. Ableitung ist der Zähler ( 5) ( ) f() ( ) ( ) ( 5 ) also u 5 u' 5 und der Nenner. Dessen Ableitung wird mit der Kettenregel berechnet: v v'. d. h.: Ableitung der Klammerpotenz multipliziert mit der inneren Ableitung (des Klammerterms). Bei jeder. oder höheren Ableitung haben wir nun eine interessante Situation: Der Klammerterm des Nenners tritt in beiden Summanden des Zählers auf und kann somit ausgeklammert werden, blau eingefärbt der Klammerterm: f( ) Wir klammern im Zähler diesen Klammerterm aus: f() Nun können wir diesen Klammerterm kürzen: f( ) ( 5) ( ) ( ) ( 5 ) ( ) ( ) ( 5) ( ) ( 5 ) ( ) ( 5) ( ) ( 5 ) ( ) Die eckige Klammer wird im Zähler nicht mehr benötigt, und man kann ihn zusammenfassen: f( ) ( 0 16) ( ) Die Klammer im hinteren Teil des Zählers empfiehlt sich, weil man ohne diese Klammer die Vorzeichen ändern muss: f() ( ).. f''() ( ) ( )

7 1100 Zentraltet für Ableitungen 1 Beispiel (1) f() USW: