Ableiten mit diesen drei Regeln: Potenzregel, Regeln für konstante Faktoren und Summen. Anwendung auf. Ganzrationale Funktionen

Transkript

1 Analysis Ableitungsfunktionen Ableiten mit diesen drei Regeln: Potenzregel, Regeln für konstante Faktoren und Summen Anwendung auf Ganzrationale Funktionen Gebrochen rationale Funktionen ohne Summe im Nenner Einfache Wurzelfunktionen Besonders wichtig ist der Zentraltet über Ableitungen 400 Datei 40 Stand 0. Dezember 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 40 Einfache Ableitungen Vorwort Das Problem einer jeden Bibliothek ist sehr oft das Suchen und Finden eines geeigneten Tetes. Da es sehr viele Tete zu Ableitungen gibt, die zudem noch über diverse Funktionenbereiche verteilt sind, habe ich diesen Zentraltet für Ableitungen angefertigt. Er bringt eine ziemlich tief gehende Übersicht über Ableitungen von allerlei Funktionen. Und zu jedem Thema findet man Verweise auf andere Tete, die noch mehr Übungen bereitstellen. Außerdem folgt jetzt gleich eine Übersichtsliste aller Funktionen, in denen es um das handwerkliche Ableiten geht, also nicht um deren Anwendungen. 400 Zentraltet für Ableitungen 40 Ableitungen mit der Grenzwertmethode berechnen. Beweis einiger Ableitungsregeln mit der Grenzwertmethode. 40 Hier werden nur mit der Potenzregel, der Regel für konstante Faktoren und der Summenregel ganzrationale Funktionen abgeleitet, dann gebrochen-rationale Funktionen, die man in die Potenzschreibweise setzen kann, und ebenso einfache Wurzelfunktionen. Kettenregel, Produktregel und Quotientenregel werden nicht verwendet, (Dieser Tet) 40 Kettenregel mit Anwendungen auf viele Funktionsarten 405 Implizite Ableitungen (Teil auf (höherem) Schulniveau) 4 Ableitungen zusammengesetzter Funktionen, Differenzierbarkeit Ableitungsbeispiele (Arbeit eines Schülers) 405 Ableitung gebrochen rationaler Funktionen Quotientenregel 406 Übungsaufgaben aus Ableitung von Wurzelfunktionen, auch komplizierte Funktionen Ableitung von Eponentialfunktionen. 450 Ableitung von Eponentialfunktionen mit vollständiger Induktion 460 Ableitung von Logarithmusfunktionen 4705 Ableitung von trigonometrischen Funktionen 500 Implizite Ableitungen (Teil für Studenten) Februar 0.

3 40 Einfache Ableitungen Inhalt. Grundregeln der Ableitung 4. Ableitung ganzrationaler Funktionen 5. Ableitung gebrochen rationaler Funktionen ohne Summe im Nenner 7 4. Ableitung einfacher Wurzelfunktionen Lösungen der Aufgaben

4 40 Einfache Ableitungen 4. Grundregeln der Ableitungen. Im Tet 40 wurden mit der Grenzwertmethode die folgenden Ableitungsregeln bewiesen:. Potenzregel: I n n n Beispiele: f f' f f' Diese Ableitungsregel gilt für beliebige Eponenten, also natürliche Zahlen, negative ganze Zahlen, Bruchzahlen usw. f Beispiele: f' f' f I I. Konstante-Faktoren-Regel: k f k f () Diese Regel besagt, dass beim Ableiten ein konstanter Faktor unberücksichtigt stehen bleibt. Beispiele: f f f' 5 5 f' 5 f f' 4 6 u() v() u () v (). Summenregel: I I I d.h.: Jeder Summand wird für sich selbst abgeleitet. Beispiele: 4 f 5 7 f '

5 40 Einfache Ableitungen 5. Ableitung ganzrationaler Funktionen Ausführliches Beispiel: f f' Jeder Summand wird einzeln abgeleitet und die konstanten Faktoren bleiben stehen. Auf den Summanden 4 7 will ich etra hinweisen: Seine Ableitung ist 4. (Man beachte, dass y = 4-7 eine Gerade mit der Steigung 4 darstellt= Oder so: 4 hat die Ableitung 4 und das Absolutglied - 7 die Ableitung 0. Weitere Beispiele: f f' a) f 4 f ' b) f' 8 Für spätere Anwendungen muss man eine Ableitungsfunktion noch zweimal ableiten. Dann spricht man von der. Ableitung,. Ableitung usw.: f 4 c) 6 f' 4 4. Ableitung(sfunktion):. Ableitung(sfunktion):. Ableitung(sfunktion): f 5 4 d) f'' f''' f'. Ableitung(sfunktion): f'' 4. Ableitung(sfunktion): f'''. Ableitung(sfunktion): 4

6 40 Einfache Ableitungen 6 Aufgabe Berechne jeweils Ableitungsfunktionen: a) f 4 4 b) 6 8 f c) f d) 4 8 f e) f f) 0 6 Aufgabe f 8 Berechne jeweils Ableitung. Zuvor soll der Funktionsterm durch Ausmultiplizieren vereinfacht werden. 5 4 f 5 f 8 a) b) 6 c) f d) f 8 4 6

7 40 Einfache Ableitungen 7. Ableitung gebrochen-rationaler Funktionen ohne Summe im Nenner Usw.