5.2. Aufgaben zur Differentialrechnung

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Eike Schwarz
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1 Aufgabe : Mittlere und momentane Geschwindigkeit Bestimme graphisch a) die mittleren Geschwindigkeiten [;] [;] [;6] [8;9] [;] [4;6] [5;7] [6;8] b) die Momentangeschwindigkeiten () () () () (4) (5) (9) (9) 5.. Aufgaben zur Differentialrechnung in m () () (4) (6) Aufgabe : Graphische Differentiation Derie the -t-diagram from the -t-diagram by graphical differntiation: a) in m in m/s

2 b) in m in m/s (use different colours for b) and c)) c) in m

3 Aufgabe : Graphisches Differenzieren Skizziere den Verlauf der Ableitungsfunktion f (). y Aufgabe 4: Differentialquotient Bestimme die Funktionsgleichung der Tangente am Schaubild on f an der Stelle. Vereinfache den Differenzenquotienten mit Polynomdiision bei d) - f) und mit der. binomische Formel bei a) - c) und h) - i) a) f() für d) f() für g) f() für b) f() für e) f() für h) f() für c) f() für f) f() für i) f() für 4 Aufgabe 5: Ableitungsfunktion Bestimme die Ableitungsfunktion f () für alle D. a) f() b) f() c) f() 4 d) f() e) f() f) f(),5 Aufgabe 6: Ableitungsregel für Potenzfunktionen Bestimme die Ableitung f'() der folgenden Funktionen mit Hilfe der Ableitungsregel für Potenzfunktionen. a) f() b) f() c) f() d) f() e) f() f) f() Aufgabe 7: Faktor- und Summenregel Bestimme die Ableitung f () mit Hilfe des Differentialquotienten. a) f() 5 b) f() 5 c) f() + d) f() Aufgabe 8: Faktor- und Summenregel Bestimme die Ableitung f'() der folgenden Funktionen mit Hilfe der Faktor- und Summenregeln. a) f() c) f() e) f() ( + ) + 4 g) f() 5 sin() b) f() + 4 d) f() f) f() 4 ( ) h) f() cos() sin() Aufgabe 9: Schnittwinkel on Kuren Der Schnittwinkel zweier Kuren ist definiert als der kleiner der Winkel, den die Tangenten der beiden Kuren im Schnittpunkt einschließen. In welchen Punkten und unter welchem Winkel schneiden sich die Schaubilder on f und g? a) f() + + und g() c) f() + und g() + b) f() + und g() d) f() und g() + + Aufgabe : Tangenten mit orgegebener Steigung Bestimme alle Punkte ( y ) an denen eine Tangente mit der Steigung a an die Schaubilder der folgenden Funktionen angelegt werden kann. Gib die Gleichungen aller möglichen Tangenten an und skizziere das Schaubild. a) f() c) f() e) f() + b) f() + 4 d) f() f) f()

4 Aufgabe : Ableitungsregeln für trigonometrische Funktionen Bestimme die Funktionsgleichung der Tangente am Schaubild on f an der Stelle mit Hilfe der Ableitungsregeln für die trigonometrischen Funktionen. a) f() sin(), 4 b) f() sin(), c) f() cos(), 6 d) f() cos(), Aufgabe : Tangenten durch orgegeben Punkte Bestimme die Gleichungen aller möglichen Tangenten t durch den Punkt P am Schaubild der Funktion f: a) f() durch P( ) d) f() 4 durch P( 4) b) f() durch P( 6) e) f() durch P( ) c) f() durch P( ) f) f() 8 durch P( 6) Aufgabe : Tangentenprobleme mit Parametern a) Bestimme die Gleichungen aller möglichen Tangenten t durch den Punkt P(u ) mit u R an f(). b) Für welche t hat f t () + t an der Stelle eine waagrechte Tangente? c) Für welche t hat f() t + keine waagrechte Tangente? d) Für welche t steht die Tangente an der Parabel f() t im Punkt P(t f(t)) senkrecht zur Tangente im Punkt Q( t f( t))? Aufgabe 4: Hüllkuren on Geradenscharen Zeige, dass die folgenden Geradenscharen keine gemeinsamen Punkte besitzen. Zeichne die Schaubilder für die angegebenen t in ein gemeinsames Koordinatensystem. Wie lautet die Gleichung der Hüllkure f()? Welche Gemeinsamkeiten haben die Geraden und die Hüllkuren in den Punkte P(t f t (t))? Was ist eine Hüllkure? a) g t () t t mit t R für t {±; ±; ±; ±, } b) g t () t + t mit t R * für t {4; ; ;, ; 4 } c) g t () (t 4) t mit t R für t {±; ±;±,5; ±; ±,5, } Aufgabe 5: Normalen durch orgegeben Punkte Bestimme die Gleichungen aller möglichen Normalen n am Schaubild der Funktion f. durch den gegebenen Schnittpunkt S auf der Kure. durch den Punkt P außerhalb der Kure: a) f() durch S( 4) bzw. durch P( ) c) f() durch S( 4 ) bzw. durch P( ) b) f() durch S( ) bzw. durch P( 5 5 ) d) f() durch S(4 ) bzw. durch P( ) Aufgabe 6: Differenzierbarkeit Bestimme die Vorschrift und den Definitionsbereich der Ableitungsfunktion f'() und zeichne f und f' in ein gemeinsames Koordinatensystem. für für a) f() für für, falls b) f(), falls d) f() e) f() für,5 für für für c) f() sgn, falls, falls f) f() 4 4 für für 4

5 Aufgabe : Mittlere und durchschnittliche Geschwindigkeit a) [;] m s [;6] m s [;] m s [5;7] m s b) () m s () m s (4) m s (9) 4 m s 5.. Lösungen zu den Aufgaben zur Differentialrechnung [;] m s [8;9] m s [4;6] m s [6;8] m s () m s () m s (5) m s () m s in m () m s (4) m s () m s (6) m s Aufgabe : Graphisches Differenzieren siehe rechts a) in m/s b), c) in m/s b) - - c) -5 5

6 Aufgabe : Graphisches Differenzieren y Aufgabe 4: Differentialquotient a) t() c) t() 4 5 e) t() + g) t() 4 + i) t() 4 + b) t() 9 d) t() 6 8 f) t() h) t() + Aufgabe 5: Ableitungsfunktionen a) und b) siehe Skript c) d) e) f) f(+δ) Δ f() (+Δ) Δ 4 4 Δ (4 6 Δ 4 Δ Δ ) Δ f(+δ) f() Δ Δ +Δ f(+δ) Δ f() ( Δ) - ( Δ) 4. +Δ Δ Δ 6 Δ 4 Δ Δ Δ Δ ( Δ) +Δ Δ Aufgabe 6: Ableitungsregel für Potenzfunktionen a) f () b) f () Aufgabe 7: Faktor- und Summenregel (4 6 Δ 4 Δ Δ ) 4. Δ Δ (+Δ) (+Δ). c) f () Δ Δ Δ ( Δ) +Δ +Δ +Δ d) f () e) f () a) f () 5 b) f () 5 c) f () + d) f () Aufgabe 8: Faktor- und Summenregel a) f () c) f () 6 7 e) f () 6( + ) g) f () 5 cos() Δ( Δ) Δ ( Δ) +Δ. b) f () d) f () + f) f() 4 ( ) h) f () sin() cos() Aufgabe 9: Schnittwinkel a) S ( 4 ) mit α 45 und S ( ) mit α 45. b) S( ) mit α 45 c) S ( ) mit α 6,44 und S ( + ) mit α 7, und S ( + ) mit α 7, d) S ( ) mit α 8,4 und S ( ) mit α (Berührpunkt!) Aufgabe : Tangenten mit orgegebener Steigung a) t() + 4 durch P( 4) b) t () + durch P ( ) und t () durch P ( 5 ) c) t () + 7 durch P ( 7 ), t () + durch P ( ) und t () 5 durch P ( 7 ) f) f () 6

7 d) t() + 8 durch P( 6 4 ) e) t() + durch P( ) und t() durch P( ) f) t() + durch P( ) Aufgabe : Ableitungsregeln für trigonometrische Funktionen a) t() 4 + b) t() c) t() + + d) t() + Aufgabe : Tangenten durch orgegebene Punkte a) t () mit Berührpunkt B( ) und t () 6 9 mit Berührpunkt B( 9). b) t () mit dem Berührpunkt B( ) und t () 6 4 mit dem Berührpunkt B( 5 6). c) t () 6 4 mit Berührpunkt B(5 66) und t () mit Berührpunkt B( ) 7 d) t () 4 mit Berührpunkt B( ) und t () + mit Berührpunkt B( ) e) t () 4 mit Berührpunkt B( und t () mit Berührpunkt B( 6) f) t() + 6 mit Berührpunkt B( 5) Aufgabe : Tangentenprobleme mit Parameter a) t () mit Berührpunkt B( ) und t u () 4u 4u mit Berührpunkt B(u 4u ) b) Die Ableitung f t () 6 + t muss an der Stelle Null sein: f t ( ) + t t. c) f t () t + t ± t keine Lösung für < t < d) Die Steigung der ersten Tangenten ist t t a, die der zweiten t ( t) t. Die beiden Geraden stehen senkrecht aufeinander, falls t, d.h. für t ±. (Es gibt nur scheinbar zwei Lösungen!) t Aufgabe 4: Hüllkuren on Geradenscharen Alle Geraden der Schar sind Tangenten der Hüllkure an den Punkten P(t f t (t)), d.h., sowohl die Funktionswerte als auch die Steigungen stimmen an der Stelle t überein: f(t) g t (t) und f (t) g t (t). a) f() b) f() c) f() 4 Aufgabe 5: Normalen durch orgegeben Punkte a) n () durch S( 4), n /() ± + durch S /(± ) und n : durch S ( ) b) n () 9 8 mit S( ), n () mit S ( ), n () mit S (± ±), n () 4 5 mit S ( ) c) n () 4 4 durch S( 4 ) und n /() ± + durch S /(± ) d) n () durch S(4 ) und n () + durch S ( ) (n () durch S( ) ist keine Normale, da die Ableitung der Wurzelfunktion in S( ) nicht definiert ist!) Aufgabe 6: Differenzierbarkeit a) siehe Skript d) f () b) f () sgn () mit D R\{} e) f () c) f () mit D R\{} f) f () für für mit D R für für mit D R 4 für für mit D R 7

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