K2 - Klausur Nr. 2. Wachstumsvorgänge modellieren mit der Exponentialfunktion. keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt.

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Lukas Heintze
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1 K2 - Klausur Nr. 2 Wachstumsvorgänge modellieren mit der Exponentialfunktion Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen Ihnen bis zu 2 Punkte. / 2 1. Geben Sie eine möglichst einfache Funktionsgleichung einer exponentiellen Bestandsfunktion B an, für die gilt: a) 0 5 und 10% Zunahme pro Zeiteinheit. b) und Verdoppelungszeit 3 Zeiteinheiten. / 3 2. Gegeben ist die Funktion mit 3. Bestimmen Sie die Gleichung der Stammfunktion von mit 0. / 3 bitte wenden

2 3. Bestimmen Sie die Parameter für die Funktionsgleichung so, dass der Graph die folgenden Eigenschaften hat: Der Graph verläuft durch den Punkt 1/ ² und hat dort die Steigung ². / 5 Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.

3 Wahlteil K2 - Klausur Nr. 2 Wachstumsvorgänge modellieren mit der Exponentialfunktion Verwendung des GTR ist gestattet, bitte alle Lösungen auf den Doppelbogen. Name: 4. Die Funktion mit 20, beschreibt die Konzentration von eines Medikaments im Blut. gibt dabei die Zeitdauer in Stunden nach der Verabreichung an, die Konzentration in mg/l. a) Nach welcher Zeit erreicht die Konzentration ihren höchsten Wert? Wie groß ist dieser Wert? b) Wann ist die momentane Abnahme der Konzentration des Medikaments im Blut am größten? c) Zeichnen Sie den Verlauf des Graphen für die ersten 12 Stunden in ein geeignetes Koordinatensystem d) Wie hoch ist die mittlere Konzentration des Medikaments in den ersten 12 Stunden? e) Das Medikament ist nur wirksam, wenn die Konzentration im Blut mindestens 5mg/l beträgt. Wann sollte spätestens die nächste Verabreichung erfolgen, damit eine durchgehende Wirksamkeit auf jeden Fall sicher gestellt ist? / 8 5. Bei einem Vorgang mit logistischem Wachstum beträgt die Sättigung 500. Der Bestand beträgt zu Beginn 20 und eine Zeiteinheit später 26 Stück. Geben Sie eine Funktionsgleichung an, die den Wachstumsvorgang beschreibt. Vereinfachen Sie die Gleichung so weit wie möglich. / 5 6. Zeigen Sie durch allgemeine Rechnung, dass das Schaubild der Funktion mit für alle mit 0 einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt hat. / 4 Notenschlüssel siehe Erwartungshorizont siehe Viel Erfolg! Schule Notengebung m12_2_1112_wachstum.pdf von 30 Rückgabe am 22. Dezember 2011 Note: mündlich: Arithmetisches Mittel:

4 Erwartungshorizont Wachstumsvorgänge modellieren mit der Exponentialfunktion Pflichtteil keine Hilfsmittel gestattet, bitte alle Lösungen auf dieses Blatt. Name: 0. Für Pflicht- und Wahlteil gilt: saubere und übersichtliche Darstellung, klar ersichtliche Rechenwege, Antworten in ganzen Sätzen und Zeichnungen mit spitzem Bleistift bringen Ihnen bis zu 2 Punkte. / 2 1. Geben Sie eine möglichst einfache Funktionsgleichung einer exponentiellen Bestandsfunktion B an, für die gilt: a) 0 5 und 10% Zunahme pro Zeiteinheit. b) und Verdoppelungszeit 3 Zeiteinheiten. / 3 a) 5 1,1 b) Wegen B(6)=100 und Verdoppelung alle drei Zeiteinheiten gilt B(3)=50 und B(0)=25. Also 25 2 (2 ) 2. Gegeben ist die Funktion mit 3. Bestimmen Sie die Gleichung der Stammfunktion von mit 0. 3 / 3 wegen 0 muss gelten: 3 0, also. Deshalb lautet die gesuchte Gleichung 3 bitte wenden

5 3. Bestimmen Sie die Parameter für die Funktionsgleichung so, dass der Graph die folgenden Eigenschaften hat: Der Graph verläuft durch den Punkt 1/ ² und hat dort die Steigung ². Die Ableitung lautet. / 5 1. Bedingung verläuft durch 1/ ² : 1 ², also. 2. Bedingung dort Steigung ² : 1 ², also. Man sieht sofort, dass 1 sein muss, Deshalb gilt (b in 1. eingesetzt):, also. Sobald Sie diesen Pflichtteil abgegeben haben, können Sie Ihren grafikfähigen Taschenrechner (GTR) für die Bearbeitung des Wahlteils verwenden.

6 Erwartungshorizont Wahlteil 4. Die Funktion mit 20, beschreibt die Konzentration von eines Medikaments im Blut. gibt dabei die Zeitdauer in Stunden nach der Verabreichung an, die Konzentration in mg/l. a) Nach welcher Zeit erreicht die Konzentration ihren höchsten Wert? Wie groß ist dieser Wert? Eingabe des Funktionsterms in den GTR liefert den Hochpunkt H(2/14,72). Nach zwei Stunden wird die höchste Konzentration von 14,72 mg/l erreicht. b) Wann ist die momentane Abnahme der Konzentration des Medikaments im Blut am größten? Der GTR liefert den Wendepunkt W(4/10,83). Nach vier Stunden ist die Abnahme der Konzentration am größten. c) Zeichnen Sie den Verlauf des Graphen für die ersten 12 Stunden in ein geeignetes Koordinatensystem. Skizze siehe rechts. d) Wie hoch ist die mittlere Konzentration des Medikaments in den ersten 12 Stunden? 6,6 Die durchschnittliche Konzentration beträgt in den ersten 12 Stunden 6,6 mg/l. e) Das Medikament ist nur wirksam, wenn die Konzentration im Blut mindestens 5mg/l beträgt. Wann sollte spätestens die nächste Verabreichung erfolgen, damit eine durchgehende Wirksamkeit auf jeden Fall sicher gestellt ist? Spätestens zu dem Zeitpunkt, an dem die Konzentration nach dem Maximum wieder 5 mg/l beträgt, sollte die nächste Verabreichung erfolgen: Schnittstelle des Graphen von k mit der Geraden 5 (GTR): 6,52 Nach sechseinhalb Stunden sollte spätestens die nächste Gabe erfolgen. (2 ) (2 ) (1,5 ) (1,5 )

7 5. Bei einem Vorgang mit logistischem Wachstum beträgt die Sättigung 500. Der Anfangsbestand beträgt 20 und nach einer Zeiteinheit 26 Stück. Geben Sie eine Funktionsgleichung an, die den Wachstumsvorgang beschreibt. Für das logistische Wachstum gilt allgemein: Wegen der Vorgaben ( 500 und 0 20) gilt: Wegen 1 26 muss gelten: 26 Auflösen nach k liefert (GTR): 0, Die gesuchte Gleichung lautet also,.. Manche rechnen auch zu Fuß (ist aber im Wahlteil nicht nötig!): I Klammer auflösen I I : I logarithmieren 500 I ln : 500 I runden 0,

8 6. Zeigen Sie durch allgemeine Rechnung, dass das Schaubild der Funktion mit für alle mit 0 einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt hat. Zunächst bildet man die ersten beiden Ableitungen: Die Nullstellen der ersten Ableitung sind Kandidaten für die gesuchten Extremstellen, wegen der notwendigen Bedingung: 0 2 0, also 2 0, da 0 für alle x Deshalb ist 0 oder. Einsetzen der gefundenen Werte in die zweite Ableitung, wegen der hinreichenden Bedingung: 0 und Minimalstelle Maximalstelle

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