Übungsklausur Analysis & Geometrie Stausee & Personenaufzug Pflichtteil (ohne Hilfsmittel)

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Julius Junge
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1 Pflichtteil (ohne Hilfsmittel) ) Berechne die. Ableitung. a) f(x) 3x sin( x ) b) f(x) 3x sin( x ) (VP) 3 ) Berechne und vereinfache x 3) Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung sin( x) dx. (3VP) cos(x) cos(x) im Bereich x. (3VP) ) Gib eine Funktionsgleichung an. (VP) a) b) y y O 3 - x O 3 - x - 5) Gegeben sind die in der Abbildung dargestellte 6 Ebene E und die Gerade g : x t. a) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E. b) Zeige, dass g zu E orthogonal ist. c) Bestimme die Koordinaten des Schnittpunktes von E und g. d) Bestimme den Abstand des Ursprungs von der Ebene E. E (7VP) 6) In der Formelsammlung steht: Wenn f(x) g (x) g(x) ist, dann gilt f(x)dx ln g(x) b. x cos(x) a) Gegeben sind die Funktionen: f (x) ;f (x) x x sin(x) x. g (x) Erfüllen diese beiden Funktionen die Voraussetzung f(x)? g(x) 3 x b) Gib für die Funktion f mit f(x) die Funktion g an. Berechne dann x a b a f(x)dx. (5VP)

Wahlteil Analysis (mit GTR und Formelsammlung) Die momentane Änderungsrate des Wasservolumens in einem Stausee wird modellhaft beschrieben durch die Funktion,t f(t) t 5t e ; t (t in Monaten seit

2 Wahlteil Analysis (mit GTR und Formelsammlung) Die momentane Änderungsrate des Wasservolumens in einem Stausee wird modellhaft beschrieben durch die Funktion,t f(t) t 5t e ; t (t in Monaten seit Beobachtungsbeginn, f(t) in.m 3 pro Monat). a) () Skizziere den Graphen von f im angegebenen Intervall. () In welchem Zeitraum nimmt das Wasservolumen im Stausee ab? (3) Zu welchem Zeitpunkt innerhalb des betrachteten Zeitraumes nimmt das Wasservolumen am stärksten ab, zu welchem Zeitpunkt nimmt es am stärksten zu? () Berechne die mittlere Änderungsrate in den ersten vier Monaten. (5) Berechne das Integral f(t)dt und interpretiere das Ergebnis. (8VP) b) Das Wasser im Stausee wird auf Bakterien untersucht. Dazu wird im Labor in einer Schale mit der Grundfläche von 6cm eine Bakterienkultur angelegt, die anfangs eine Fläche von cm überdeckt. Nach 7 Tagen sind bereits 36cm bedeckt. Für die Vermehrung der Bakterien wird exponentielles Wachstum angenommen. () Bestimme eine Funktion, die die Größe der besiedelten Fläche in Abhängigkeit der Zeit beschreibt. () Wann ist die ganze Fläche der Schale von den Bakterien überdeckt? (3) In welchem Drei-Tage-Zeitraum nimmt die besiedelte Fläche um 7cm zu? (5VP) c) In einer zweiten Schale wird eine Bakterienkultur angelegt, die zu Beginn ebenfalls cm überdeckt. Hier werden täglich 7cm neu von der Bakterienkultur besiedelt, gleichzeitig sterben pro Tag,5% des aktuellen Bestandes aufgrund ungünstiger Wachstumsbedingungen ab. () Gib eine Differentialgleichung für den vorliegenden Wachstumsprozess an. () Um welche Wachstumsart handelt es sich? (3) Bestimme eine Funktion, die in diesem Fall die Größe der besiedelten Fläche in Abhängigkeit der Zeit beschreibt. (5VP)

3 Wahlteil Geometrie (mit GTR und Formelsammlung) Bei Bad Schandau in der sächsischen Schweiz steht einer der wenigen freistehenden Personenaufzüge Deutschlands. Das Grundgerüst des Aufzugs besteht aus einem senkrechten Pyramidenstumpf mit quadratischer Grundfläche (siehe Abb. ). Die Bodenfläche hat die Eckpunkte A(3-3 ), B(3 3 ), C(-3 3 ) und D(-3-3 ). Die Ausstiegsplattform hat die Eckpunkte P( - 8), Q, R und T (alle Angaben in Metern). a) () Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte Q, R und T. () Verlängert man die vier Stützpfeiler des Aufzugs, treffen sie sich in einem Punkt S. Gib die Koordinaten von S an. (3) Welchen Neigungswinkel hat ein Stützpfeiler zum ebenen Boden? () Für Feierlichkeiten werden die vier Seitenflächen des Aufzugs mit Stoff umhüllt. Wie viele Quadratmeter Stoff sind hierzu nötig? Abb. (8VP) b) Die obere Ausstiegsplattform des Aufzugs ist über eine Brücke mit dem Berghang verbunden. Die Brücke verläuft entlang einer Geraden parallel zur x Achse und beginnt in der Mitte zwischen den Punkten P und T. Der Berghang liegt in der Ebene F : x x3 6. () Gib eine Gleichung der Gerade g Brücke an, entlang derer die Brücke verläuft. () Wie lang ist die Brücke? (3) Die Stützstrebe der Brücke verläuft vom Punkt N( - 8) der Brücke zum Berghang. Wie lang ist die Stützstrebe, wenn sie senkrecht auf den Berghang steht? (5VP) c) Das Dach des Aufzuges liegt auf den Verlängerungen der Pfeiler auf (siehe Abb. ). So liegt z.b. beim Pfeiler, der durch die Punkte A und P verläuft das Dach im Punkt K auf. Der Punkt K hat von dem Punkt P einen Abstand von,5m. Ermittle die Koordinaten des Punktes K. (3VP) Abb.

4 Lösungen Pflichtteil: ) a) f (x) 3 cos( x ) x (P) b) f (x) 3sin( x ) 3x cos x x (P) P ) 3 (x sin( x))dx x cos x ( ) ( ) 3P 3) cos(x) cos(x) 3 cos(x) x ;x bzw. cos(x) cos(x) x3 ;x 3P ) a) f(x),5 sin( (x )),5 (P) b) f(x),5sin(x),5 (P) P 5) a) E : 3x x x3 6 (,5P) 6 3 m ;n b) g E, es gilt: ne mg n E;m g sind l. a. g E (,5P) c) g in E: 3( 6t) ( t) t 6 3 8t 8t t 6 8t t S( ) (P) d) d(o,e) (P) 7P 6) a) f erfüllt die Voraussetzung nicht: b) g(x) x x g (x) x x (,5P) f erfüllt die Voraussetzung nicht: g(x) sin(x) x g(x) cos(x) cos(x) (,5P) g(x) x (,5P) f(x)dx ln x ln() ln() ln. (,5P) 5P Summe: 6 Punkte

5 Lösungen Wahlteil Analysis: a) () Skizze (,5P) () Das Wasservolumen nimmt ab, wenn f(t) : f(t) t ;t Vom. bis zum. Monat nimmt das Wasservolumen ab. (,5P) (3) Extremstellen von f(t) t 8,6 (stärkste Abnahme); t (stärkste Zunahme, Randextremum) (,5P) () (5) f(t)dt 5,. Die mittlere Änderungsrate in den ersten vier Monaten beträgt 5.m 3 pro Monat. (,5P) f(t)dt 8,9 (P). Im Laufe der ersten Monate verringert sich das Wasservolumen im See um etwa 8.9m 3. (P) 8P b) () kt k7 g(t) g() e 36 e,59t g(t) e k =,59 (t in Tagen seit Anlegen der Bakterienkultur) (P),59t () 6 e t 7,998 8 Nach 8 Tagen wäre die gesamte Schale von den Bakterien bedeckt. (P) (3) g(t 3) g(t) 7 t 3 Vom dritten auf den sechsten Tag (P) 5P c) () f (t) 7,5 f(t) f (t),5 (56 f(t)) (P) () Es handelt sich um beschränktes Wachstum. (P) (3) f(t) S c e kt mit S 56;k,5;c : f(t) e,5t (t in Tagen seit Anlegen der Bakterienkultur) (P) 5P Summe: 8 Punkte

6 Lösungen Wahlteil Geometrie: a) () Q( 8); R(- 8); T(- - 8) (P) 3 3 () Schnitt der Geraden g AP : x 3 s (,5P) mit g BQ : x 3 t (,5P) 8 8 (I) 3 s 3 t s t in (II) (II) 3 s 3 t s 6 s 3 t 3 (III) 8s 8t S( 5) (,5P) (oder über Strahlensatz) 8 8 (3) sin 85,5 (,5P) () Seitenfläche ist Trapez 3 Höhe des Trapezes: h MABMPQ ( ) 8 35 (,5P) 8 6 ATrapez h ,m² (P) A 9,m² 36,56m² (,5P) 8P vier Seitenflächen b) () M PT( 8) (,5P) g Brücke : x t (,5P) 8 () Schnittpunkt von g Brücke mit Ebene F: ( t) 8 6 t 8 6 t 7 t 37 S( 39 8) (,5P) l MPTS 37 l 37m (,5P) (3) Abstand Punkt N zu Ebene F: x x3 6 HNF von F : (,5P) 5 ( ) d(n,f),5,5m (,5P) 5P g : x 3 s K(3 s 3 s 8s) (,5P) 8 c) AP 3 s s 8 8s 8 8s PK,5 3 s s ( s) ( s ) (8 8s),5 ( s) ( s ) (8 8s),5 (,5P) mit GTR: s,9 (s,75) K(,75,75,8) (P) 3P Summe: 6 Punkte

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