Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation

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1 0 Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation 0 Grenzwerte von Funktionen In 33Kapitel 9 wurden Folgen und deren Grenzwerte eingeführt Mittels der Konvergenz von Folgen wird der Begriff der Konvergenz für Funktionen bei Annäherung an eine Stelle 0 des Definitionsbereichs bzw an den 58Rand des Definitionsbereichs eingeführt Definition Grenzwert einer Funktion an einer Stelle 0 ) Eine Funktion f : D R heißt an der Stelle 0 R konvergent gegen eine Zahl a R, falls für alle Folgen n ) n N mit n D, n 0 für alle n n N und n 0 gilt: f n ) n a a heißt Grenzwert von f an der Stelle 0 Als Notationen werden sowohl f) =a als auch f) 0 a verwendet 0 + bzw ), falls für alle Folgen n ) n N mit n D, n 0 für alle n n N, und n 0 gilt: f n ) n + bzw ) Als Notationen werden f) =+ und f) 0 + verwendet 0 Entsprechendes gilt für Anstelle der Bezeichnung Grenzwert wird auch der Begriff Limes verwendet Eine alternative Definition der Konvergenz von Funktionen ε-δ-definition) kann in Kamps et al 2003) nachgelesen werden Die 36Verknüpfung von Folgen und Funktionen wurde bereits benutzt, um 320Grenzwerte transformierter Folgen zu ermitteln, falls die betrachtete Funktion 348stetig ist

2 340 0 Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation Grenzwerte von Funktionen werden also auf Grenzwerte von Folgen zurückgeführt, n wobei alle Folgen mit n 0 betrachtet werden müssen Dabei muss die Stelle 0 nicht im Definitionsbereich von f liegen, sondern es genügt, wenn 0 Grenzwert von Folgen aus D ist Da die Anwendung der Definition iallg kein praktikables Verfahren ist, werden im Folgenden Kriterien entwickelt, die eine einfachere Bestimmung der Grenzwerte ermöglichen 0 Beispiel Grenzwert einer Funktion an einer Stelle 0 ) Für die durch f) = 2 definierte Funktion f : R R wird die Stelle 0 = 0 betrachtet Sei n ) n N eine beliebige) Folge mit Grenzwert 0 = 0 Dann gilt für die Folge f n )) n N die Aussage f n )= 2 n = n n n 0 0 = 0, da das 39Produkt zweier konvergenter Folgen gegen das Produkt der beiden Grenzwerte konvergiert Beispielhaft werden die durch n = 2 und n 2 +2 y n = 2n definierten Folgen betrachtet, deren Grenzwert jeweils 0 = 0 ist Die senkrechten Striche markieren jeweils die ersten 00 Folgenglieder von f n )) n N und fy n )) n N auf dem Funktionsgrafen von f Der Grenzwert von f an der Stelle 0 hängt nicht vom Funktionswert f 0 ) an dieser Stelle ab sofern dieser überhaupt definiert ist) Dies zeigt die durch g) = { 2, R \{0} 4, = 0 definierte Funktion g, die mit der quadratischen Funktion f nahezu übereinstimmt Lediglich an der Stelle 0 = 0 weichen f) und g) voneinander ab Trotzdem eistieren die Grenzwerte der Folgen g n )) n N bzw gy n )) n N mit den obigen Folgen n ) n N und y n ) n N und die aller anderen Folgen mit Grenzwert 0 = 0) Dies zeigt auch die nahezu identische) Illustration dh 0 kann ein 58Randpunkt von D sein Gemäß Definition werden nur Folgen mit n 0 betrachtet

3 0 Grenzwerte von Funktionen Für den Grenzwert der Folge g n )) n N gilt g n)= n n 2 n = 0 g0) = 4 analog für y n) n N ) Der Unterschied zwischen den Grenzwerten der Funktionen f und g an der Stelle 0 liegt darin, dass der Grenzwert von f der Funktionswert von f an der Stelle 0 = 0 ist Dies trifft für g nicht zu Die Funktion f wird daher 348stetig an der Stelle 0 = 0 genannt, während g dort unstetig ist Das folgende Beispiel illustriert eine Situation, in der keine Konvergenz vorliegt 02 Beispiel Indikatorfunktion) {, t<0 Sei f die durch ft) = [0, ) t)+ = definierte Funktion Dann ergibt 2, t 0 sich für die Folgen n ) n N und y n ) n N aus dem vorhergehenden Beispiel f n )=2, fy n )=, da n >0für alle n N gilt, und da y n <0für alle n N gilt Daraus folgt f n)= 2 = 2 und fy n)= =, dhdie n n n n Grenzwerte dieser Folgen sind verschieden f hat somit an der Stelle 0 = 0 keinen Grenzwert Dies wird auch in der Grafik deutlich, da die Funktion f an der Stelle 0 = 0 einen Sprung hat 2 << < < < < > > >>> > Gemäß Definition muss f n ) n a für jede Folge mit n 0 gelten Um nachzuweisen, dass der Grenzwert an der Stelle 0 nicht eistiert, genügt es daher entweder eine Folge z n ) n N anzugeben, so dass fz n )) n N nicht konvergiert, oder zwei konvergente Folgen n ) n N und y n ) n N zu finden, so dass die Grenzwerte der Folgen f n )) n N und fy n )) n N verschieden sind n

4 342 0 Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation Das vorhergehende Beispiel motiviert die Einführung von einseitigen Grenzwerten, dh die Annäherung erfolgt nur von links bzw nur von rechts Definition Einseitige Grenzwerte) { links Eine Funktion f : D R heißt an der Stelle 0 R von rechts konvergent gegen eine Zahl a R gegen ± ), falls f n ) n abzw ± ) für alle Folgen n ) n N mit n D, n und { linksseitiger a bzw ± heißt rechtsseitiger Grenzwert von f an der Stelle 0 n 0 { n < 0 n > 0 für alle n N 0+ Als Notationen werden f) =a und f) a für rechtsseitige bzw 0+ 0 f) =a und f) a für linksseitige Grenzwerte verwendet 0 Regel Zusammenhang zwischen Konvergenz und links- und rechtsseitiger Konvergenz) Eine Funktion ist konvergent an der Stelle 0 genau dann, wenn sie an der Stelle 0 rechts- und linksseitig konvergent ist und der links- und rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen Entsprechend werden Grenzwerte für die Annäherung an + bzw definiert Definition Konvergenz bei Annäherung an Unendlich) { + Eine Funktion f : D R heißt für konvergent gegen eine Zahl a R, falls { f n ) n n + a für alle Folgen n ) n N mit n D und n a heißt Grenzwert von f für + ), falls { + f n ) n + ) für alle Folgen n ) n N mit n D und + ) heißt Grenzwert von f für { + n n { + Die Pfeile in der Grafik markieren mit ihrer Spitze den Folgenwert und geben ferner die Annäherungsrichtung an die Stelle t = 0 an

5 0 Grenzwerte von Funktionen 343 In 343Übersicht 0 sind für einige wichtige Funktionen die zugehörigen Grenzwerte angegeben Mit diesen Resultaten können unter Verwendung von 344Übersicht 02 Grenzwerte weiterer Funktionen ermittelt werden 0 Übersicht Grenzwerte von Funktionen) Grenzwert für Funktion D 0 D + Polynome f) = n a j j, a n >0,n ungerade R f 0 ) + j=0 2 a n <0,nungerade R f 0 ) + 3 a n >0,ngerade R f 0 ) a n <0,ngerade R f 0 ) Betragsfunktion f) = R f 0 ) + + Potenzfunktionen f) = p,p>0 [0, ) f 0 ) + f) = = p,p>0 0, ) f p 0 ) 0 f) =+ 0+ f) = n,n N R\{0} f 0 ) n gerade n ungerade 0 Eponentialfunktionen f) =a, a> R f 0 ) a 0, ) R f 0 ) 0 + Logarithmusfunktionen f) =log a ), a> 0, ) f 0 ) + f) = 0+ 2 a 0, ) 0, ) f 0 ) f) =+ 0+ Gebrochen rationale Funktionen f) = h) g) R \{ g) =0} f 0) Zusammengesetzte Funktionen f) = n e a,n N,a>0 R f 0 ) + 0 f) = n e a, n ungerade,a>0 R f 0 ) 0 2 n gerade,a>0 R f 0 ) 0 + f) = n ln),n N 0, ) f 0 ) + 0+ f) =0 f) = ln),n N 0, ) f n 0 ) 0 f) = 0+

6 344 0 Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation Mit markierte Einträge bedeuten, dass dort kein Grenzwert betrachtet werden kann die relevante Stelle liegt nicht am 58Rand von D) Der Stern deutet an, dass der Grenzwert jeweils in der 345konkreten Situation ermittelt werden muss Die rechts- bzw linksseitigen Grenzwerte für die Ränder von D sind jeweils gesondert angegeben 02 Übersicht Grenzwerte von Summen, Differenzen, Produkten und Quotienten) 0 f) Grenzwert 0 g) f)+g) f) g) f)g) 0 f) g) a a b a+ b a b ab b a>0 0+ a a 0 + a>0 0 a a 0 a<0 0+ a a 0 a<0 0 a a ? a> a>0 + 0 a< a< ? 0 0 +? 0 + b> b<0 + + b>0 b< ? ? 0+? 0? ? +? +? +? +??? +? a, b bezeichnen jeweils reelle Zahlen Die mit? markierten Einträge müssen gesondert untersucht werden, da der Grenzwert jeweils von den betrachteten Funktionen abhängt Die Notationen 0+,0 bedeuten, dass f) =0 und dass f) in der 0 Nähe von 0 positiv bzw negativ ist Die Stelle 0, an der die Grenzwerte betrachtet werden, ist entweder eine reelle Zahl oder +, In jedem Fall muss 0 im Schnitt der Definitionsbereiche von f und g oder an dessen 58Rand liegen

7 0 Grenzwerte von Funktionen 345 Ein wichtiges Hilfsmittel zur Berechnung von Grenzwerten von Quotienten und Produkten sind die Regeln von l Hospital, die auf Methoden der 352Differenzialrechnung basieren Diese werden hier nicht behandelt s zb Kamps et al, 2003) Grenzwerte gebrochen rationaler Funktionen In 343Übersicht 0 wurden die Grenzwerte gebrochen rationaler Funktionen durch einen Stern markiert Dies liegt darin begründet, dass einige Fallunterscheidungen erforderlich sind Unterschieden werden zunächst Grenzwerte an den Definitionslücken und für +, Im Folgenden werden die beiden letzten Fälle ausführlich dargestellt Die möglichen Situationen an den Definitionslücken werden nur in Beispielen behandelt Regel Grenzwerte gebrochen rationaler Funktionen für +, ) Sei f = h g eine gebrochen rationale Funktion mit den Polynomen h und g Das Polynom h habe den Grad n mit Leitkoeffizient a n 0, das Polynom g habe den Grad m mit Leitkoeffizient b m 0 Dann gilt: Falls n<m: f) = f) =0 + 2 Falls n = m: f) = 3 Falls n>m: + f) = Der Grenzwert an f) = + b m { +,, falls an b m >0 falls an b m <0 f) kann folgender Tabelle entnommen werden a n b m >0 b m <0 m gerade m ungerade m gerade m ungerade n gerade + + n ungerade + + a n

8 ! Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation Grundsätzlich kann auch die folgende Regel zur Berechnung von Grenzwerten für verwendet werden: f) = f ) Die obigen Regeln werden beispielhaft an einigen gebrochen rationalen Funktionen erläutert 03 Beispiel Die durch f) = definierte Funktion hat den Definitionsbereich D = R \ {} Aus den obigen Regeln ergibt sich somit für 0 D der Grenzwert f) = 0 f 0 )Für die einseitigen Grenzwerte an der Definitionslücke 0 = folgt f) =, da f) =+, da ) =2, ) =0, ) =2, ) =0+ + Die Grenzwerte für +, werden mit Hilfe der obigen Tabelle ermittelt Da der Grad des Zählerpolynoms größer ist als der des Nennerpolynoms resultieren die Grenzwerte f) =, f) =+ + Alternativ können die Grenzwerte mit Hilfe einer 264Polynomdivision ermittelt werden Es gilt nämlich ) : ) = 2 + 2, so dass f) = Da der Summand gegen Null konvergiert, ergibt sich insgesamt das Resultat f) =+ + 2 für + und f) =, 04 Beispiel Die durch f) = definierte Funktion hat den Definitionsbereich D = R \{} Wie oben folgt f) =f 0 ) für 0 D DaZähler und Nenner 0 eine Nullstelle bei 0 = haben, werden die einseitigen Grenzwerte an der Stelle 0 = nach einer Polynomdivision ermittelt Diese liefert ) : ) = 2,

9 0 Grenzwerte von Funktionen 347 so dass f) = 2 für D Somit gilt f) = 2) = = 2) = + + f) Somit gilt f) = Aus der Darstellung f) = 2 resultieren auch die Grenzwerte f) = und f) = 05 Beispiel Die durch f) = definierte Funktion hat den Definitionsbereich D = 2 R \{, } Eine Polynomdivision ergibt zunächst ) : 2 + ) =2 + +, so dass f) =2 + 2 gilt Für D ergibt sich wegen 2 = ) + ) f) =2 + Daraus resultieren die Grenzwerte ) + ) = D f) f 0 ) Die Grafen der gebrochen rationalen Funktionen aus den vorhergehenden Beispielen haben folgendes Aussehen f) = f) = f) =

10 348 0 Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation 02 Stetige Funktionen Definition Stetigkeit einer Funktion) Eine Funktion f : D R heißt stetig an der Stelle 0 D, falls f) = 0 f 0 ) f heißt stetig auf D, falls f an jeder Stelle 0 D stetig ist Ist f an einer Stelle 0 nicht stetig, heißt 0 Unstetigkeitsstelle und f unstetig an der Stelle 0 Anschaulich bedeutet die Stetigkeit einer Funktion an der Stelle 0,dassdortkein 34 Sprung oder 340 Loch vorliegt dh der Graf kann durchgezeichnet werden) Die in 343Übersicht 0 genannten Funktionen sind stetig auf ihrem Definitionsbereich Aus 344Übersicht 02 und der Definition der Stetigkeit ergeben sich folgende Aussagen Regel Verknüpfung stetiger Funktionen) Seien f : D R und g : D R stetig in 0 D Dannsind f + g, f g, f g und f g falls g 0) 0) f) stetig in 0 Istg 0 )=0, muss der Grenzwert g) 0 werden gesondert untersucht Aus dieser Regel folgt, dass Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten stetiger Funktionen wiederum stetig auf ihrem Definitionsbereich sind Eine entsprechende Aussage gilt für die 66Verkettung zweier Funktionen Regel Verkettung stetiger Funktionen) Seien g : D W stetig in 0 D und f : W R stetig in g 0 ) Dann ist f g stetig in 0 Aus diesen Regeln kann die Stetigkeit vieler Funktionen abgeleitet werden Hierbei ist zu beachten, dass 0 mit g 0 )=0 nicht im Definitionsbereich des Quotienten f liegt g

11 02 Stetige Funktionen Übersicht Beispiele stetiger Funktionen) Die folgenden Funktionen sind stetig auf ihrem Definitionsbereich 58Polynome 58gebrochen rationale Funktionen 58Eponentialfunktionen 59Logarithmusfunktionen 59trigonometrische Funktionen 59Betragsfunktion Analog zu einseitigen Grenzwerten wird auch die einseitige Stetigkeit von Funktionen definiert Diese ist in der Statistik von Interesse, da 383Verteilungsfunktionen stets rechtsseitig stetig, aber nicht unbedingt stetig sind Definition Einseitige Stetigkeit) Eine reellwertige Funktion f : D R heißt { 0 D, falls f) =f 0) 0 f) =f 0) 0 + { linksseitig rechtsseitig stetig an der Stelle { linksseitig f heißt rechtsseitig stetig auf D, falls f an jeder Stelle 0 D stetig ist { linksseitig rechtsseitig 06 Beispiel Fortsetzung 34Beispiel 02) Die durch die Vorschrift ft) = [0, ) t) +, t R, definierte Funktion ist an der Stelle 0 = 0 rechtsseitig stetig, da f auf dem Intervall [0, ) mit der konstanten Funktion gt) =2 übereinstimmt Somit gilt ft) = gt) = t 0+ t 0+ 2 = 2 = f0) Die Funktion ist in 0 = 0 nicht linksseitig) stetig, da 0+ t 0 ft) = t 0 = 2 = f0) Die durch ht) = 0, ) t) + definierte Funktion h ist hingegen an der Stelle 0 = 0 linksseitig, jedoch nicht rechtsseitig stetig Regel Zusammenhang zwischen Stetigkeit und links- und rechtsseitiger Stetigkeit) Eine Funktion ist an einer Stelle 0 stetig genau dann, wenn sie dort links- und rechtsseitig stetig ist

12 350 0 Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation Grenzwerte bei Verkettungen von Funktionen Die Bildung von Grenzwerten bei der Verkettung von Funktionen lässt sich in der folgenden Weise durchführen, falls die äußere Funktion stetig ist Regel Grenzwerte bei Verkettungen von Funktionen) Seien g : D W, f : W R Funktionen und f stetig auf W Dann gilt für ein 0 D bzw für einen Randpunkt 0 von D ) fg)) = f g) = fz 0 ), falls z 0 = g) W fg)) = z z 0 fz), falls z 0 = 0 g) ein Randpunkt von W ist Die Grenzen +, werden als Randpunkte interpretiert 07 Beispiel i) Die durch h) =ln 2 +e ) definierte Funktion h hat den Definitionsbereich D = R und ist Verkettung von fz) =lnz) und g) = 2 + e Für = 0 resultiert daher wegen 2 + e )= der Grenzwert ln 2 + e )= 0 0 ln) =0 Dies ergibt sich natürlich auch aus der Stetigkeit von h, diesich wiederum aus der Verkettung der stetigen Funktionen f und g ableitet Für den Grenzwert ln2 + e ) resultiert wegen 2 =+ und e = 0 das Ergebnis ln2 + e )= lnz) =+ z + ) ii) Die durch h) =ln definierte Funktion h hat den Definitionsbereich D =, ), auf dem sie stetig ist Als Verkettung von fz) =lnz) 2 und g) = resultiert bei Annäherung an den Rand = wegen 2 =+ der einseitige Grenzwert 2 ) ln 2 = lnz) =+ z + Eigenschaften stetiger Funktionen Stetige Funktionen haben einige interessante Eigenschaften, die insbesondere im Rahmen der 405Optimierung von Bedeutung sind Regel Zwischenwertsatz) Eine auf dem Intervall [a, b] stetige Funktion f nimmt jeden Wert im Intervall [minfa), fb)), mafa), fb))] mindestens einmal) an

13 02 Stetige Funktionen 35 f) fb) a 0 b z 0 fa) Der Zwischenwertsatz ist beim Nachweis der Eistenz von Nullstellen einer Funktion von Bedeutung Hat beispielsweise eine stetige Funktion für a<beinen negativen Funktionswert fa) <0und einen positiven Funktionswert fb) >0,so folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass f mindestens) eine Nullstelle im Intervall [a, b] haben muss 08 Beispiel Die durch f) = definierte Funktion hat für = 0 und = 2 die Funktionswerte f0) =8 und f2) = 8, dhf hat wegen ihrer Stetigkeit im Intervall [0, 2] eine Nullstelle In der Tat gilt f) =0 Eine 264Polynomdivision ergibt nämlich:! ) : ) = Das Polynom hat nach der 97pq-Formel die Nullstellen = 2 und 2 = 4 Daher gilt f) = ) + 2) 4), wobei die Nullstelle 0 = im betrachteten Intervall liegt Bei der Bestimmung von 48globalen Etrema stetiger Funktionen ist der folgende Sachverhalt von Bedeutung Er wird im Rahmen der 405Optimierung angewendet Regel Etrema stetiger Funktionen) Eine auf dem abgeschlossenen und beschränkten) Intervall [a, b] stetige Funktion hat dort sowohl ein 43globales Minimum als auch ein globales Maimum

14 352 0 Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation 03 Differenziation In diesem Abschnitt wird der Begriff der Steigung einer Funktion an einer Stelle 0 des Definitionsbereichs eingeführt und untersucht Zur Motivation wird das Steigungsverhalten einer Straße betrachtet, die über einen Hügel führt Dieser hat etwa das folgende durch eine Funktion beschriebene) Profil: Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die Steigung sehr unterschiedlich ist Es gibt steilere und flachere Passagen sowie Bereiche des Anstiegs und Gefälles Die Quantifizierung dieser Steigungen wie das zb auf Verkehrsschildern 8% 6% 8% Steigung 6% Gefälle geschieht, ist mit den Methoden der Differenzialrechnung möglich Aus dem obigen Beispiel kann intuitiv ein Steigungsbegriff abgeleitet werden, indem eine zurückgelegte Wegstrecke in Beziehung zu den dabei geschafften Höhenmetern gesetzt wird Es entsteht ein Steigungsdreieck, das nachfolgend in ein Koordinatensystem eingezeichnet wird: h Höhenmeter Wegstrecke 0 w Daraus resultiert als Maß für die Steigung der Quotient Höhenmeter Wegstrecke = h w

15 03 Differenziation 353 Steigung einer Geraden Die vorgestellte Methode kann direkt auf lineare Funktionen übertragen werden, deren Funktionsterm in allgemeiner Form durch f) =a+b, R, mita, b R gegeben ist Werden zwei Punkte 0 < auf der -Achse gewählt, entsteht automatisch ein Steigungsdreieck: f ) f 0 ) f) f0) f) =a + b Daraus ergibt sich unabhängig von der Wahl von 0 und ) die Steigung f ) f 0 ) 0 = a + b) a 0 + b) 0 = a 0 ) 0 = a Da der Quotient stets den selben Wert besitzt, hat eine lineare Funktion f mit f) =a + b in jedem Punkt die Steigung a Steigung beliebiger Funktionen Es ist nahe liegend, den obigen Ansatz auch auf nicht-lineare Funktionen zu übertragen Dazu wird zunächst der Begriff des Differenzenquotienten eingeführt, der sich als Steigung einer Geraden durch die Punkte 0,f 0 )) und,f )) ergibt Definition Differenzenquotient) Seien f : D R eine Funktion, a, b) D ein offenes Intervall und 0 a, b) Für a, b) \{ 0 } heißt der Quotient f) f0) 0 der Stelle ) Differenzenquotient in 0 an Der Differenzenquotient ist bei festem 0 eine Funktion in mit Definitionsbereich D =a, b) \{ 0 }

16 354 0 Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation 09 Beispiel Quadratische Funktion) Für lineare Funktionen hat der Differenzenquotient an jeder Stelle den selben Wert Dies ist für andere Funktionen nicht der Fall Für die quadratische Funktion f) = 2 ergibt sich zb mit Hilfe der dritten 4binomischen Formel f) f 0 ) 0 = = 0) + 0 ) 0 = + 0, dh der Differenzenquotient hängt von den betrachteten Stellen und 0 ab Die Steigung an der Stelle 0 wird nun lokal durch die Steigung einer Geraden beschrieben, dh es wird eine Gerade gesucht, die durch den Punkt 0,f 0 )) läuft und die Steigung in diesem Punkt angibt Dazu wird der Differenzenquotient in 0 betrachtet, der eine Gerade mit der Steigung f) f 0 ) 0 durch den Punkt 0,f 0 )) definiert Für 0 beschreibt dieser Quotient die Steigung in 0 immer genauer Die blaue Gerade entspricht der Geraden, die als Ergebnis dieser Grenzwertbildung resultiert und den Grafen von f im Punkt 0,f 0 )) lediglich berührt Aus diesem Grund wird sie als Tangente T bezeichnet ft) ft) f 0 ) f 0 ) f) T 0 t f) T 0 t ft) ft) f 0 ) f) T 0 t f 0 ) f) T Die Steigung der Tangenten berechnet sich als Grenzwert des Differenzenquotienten in 0 an der Stelle für 0 Für die obige Funktion ergibt sich dh in der Nähe von 0 In der Skizze sind dies die jeweils schwarz eingezeichneten Geraden 0 t

17 f) f 0 ) = + 0 )= Differenziation 355 Damit hat die Tangente an den Grafen von f durch den Punkt 0,f 0 )) die Darstellung T) =f 0 ) ), R Definition Differenzierbarkeit, Ableitung) Seien f : D R eine Funktion und a, b) D ein offenes Intervall f heißt differenzierbar in 0 a, b), falls der Grenzwert des Differenzenquotienten 0) f) f 0 Differenzialquotient) an der Stelle 0 endlich) 0 eistiert Ist f differenzierbar in 0 a, b), wird der Grenzwert f 0 )= 0 f) f 0 ) 0 als Ableitung von f an der Stelle 0 bezeichnet f heißt differenzierbar auf a, b) bzw D, falls f in jedem 0 a, b) bzw 0 D differenzierbar ist In diesem Fall bezeichnet f die Ableitung oder Ableitungsfunktion von f 00 Beispiel Fortsetzung 354Beispiel 09) Der Differenzialquotient der durch f) = 2 definierten Funktion ist an der Stelle 0 R gegeben durch f) f 0 ) = Somit eistiert er an jeder Stelle 0 R und f ist differenzierbar auf R mit f ) =2, R Regel Tangentengleichung) Für eine in 0 D differenzierbare Funktion f : D R ist die Gleichung der Tangenten in 0 gegeben durch T) =f 0 )+f 0 ) 0 ), R Daher ist die Ableitung einer Funktion nur an einer Stelle 0 im 58Inneren des Intervalls a, b) definiert An den Rändern a, b können ggf einseitige Ableitungen eingeführt werden s Kamps et al 2003, Heuser 2009)

18 356 0 Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation 0 Beispiel Die durch f) = 2 definierte Funktion hat nach obigem Beispiel die Ableitung f 0 )=2 0 Daher gilt T) = )= , R Daher ist T) =2, R, die Tangentengleichung in 0 = An der Stelle 0 = 2 lautet sie T) = 4 4, R 02 Beispiel Betragsfunktion) Die 59Betragsfunktion ist im Nullpunkt nicht differenzierbar, da der Differenzialquotient an der Stelle 0 = 0 nicht eistiert Dies ergibt sich aus den einseitigen Grenzwerten = 0 = = 0+ = 0 0+ = 0 = 0+ = =, Am Grafen der Betragsfunktion äußert sich dies durch einen Knick an der Stelle 0 = 0 Die Steigung in diesem Punkt hängt somit davon ab, aus welcher Richtung der Punkt angenähert wird Aus dem vorhergehenden Beispiel lässt sich die Faustregel ableiten, dass Grafen differenzierbarer Funktionen keine Knicke haben Außerdem gilt die folgende Aussage Regel Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit) Ist eine Funktion differenzierbar an einer Stelle 0, so ist sie dort auch stetig Daher sind auf einem offenen Intervall) differenzierbare Funktionen auch stetig! Wie das Beispiel der Betragsfunktion zeigt, ist die Umkehrung dieser Aussage iallg falsch, dh eine stetige Funktion muss nicht differenzierbar sein Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion muss hingegen weder differenzierbar noch stetig sein Aus diesem Grund wird für differenzierbare Funktionen mit stetiger Ableitung der Begriff stetig differenzierbar eingeführt 359Höhere Ableitungen werden am Ende dieses Kapitels behandelt Berechnung von Ableitungen Die Berechnung des Differenzialquotienten ist iallg aufwändig Daher wird die Bestimmung der Ableitung unter Verwendung von Ableitungsregeln) meist auf bereits bekannte Ableitungen zurückgeführt 357Übersicht 04 enthält die Ableitungen wichtiger Funktionen

19 03 Differenziation Übersicht Ableitungen von Funktionen) f) Parameter/Parameterbereich D f ) c c R R 0 n n N R n n n N R\{0} n n n n+ n N gerade 0, ) n n n n N ungerade R n n a a R \{0} 0, ) a a e R e a a>0 R lna) a ln) 0, ) log a ) a 0, ) \{} 0, ) lna) sin) R cos) cos) R sin) n, 0 03 Beispiel Die Ableitung einer Wurzelfunktion kann aus der Ableitung von Potenzfunktionen gewonnen werden D =0, )) Die Ableitung der Quadratwurzel f) = = 2 ergibt sich mit a = 2 und der Regel a ) = a a gemäß f ) = 2 ) = 2 2 = 2 2 = 2, D Im allgemeinen Fall f) = n = n gilt mit a = n f ) = n n = n n n = = n n n n n n Ableitungen von Verknüpfungen der in 357Übersicht 04 genannten Funktionen zb Polynome) können mit Hilfe der folgenden Rechenregeln ermittelt werden Regel Ableitungsregeln) Für an der Stelle differenzierbare Funktionen f, g sind die folgenden Funktionen ebenfalls an der Stelle differenzierbar Ihre Ableitungen sind durch folgende Ausdrücke gegeben: Faktorregel: Die Ableitung von c f, c R, ist gegeben durch c f)) = c f )

20 358 0 Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation 2 Summenregel: Die Ableitung von f + g ist gegeben durch f)+g)) = f )+g ) 3 Produktregel: Die Ableitung von f g ist gegeben durch f) g)) = f ) g)+f) g ) 4 Quotientenregel: Die Ableitung von f g ist gegeben durch ) f) = f ) g) f) g ) g) g)) 2 Der Quotient ist nur für g) 0 definiert 04 Beispiel i) f) =4 2 : Nach der Faktorregel gilt: f ) =4 2 ) = 4 2 ) = 4 2 = 8 ii) f) = 3 + ln): Nach der Summenregel gilt: f ) = 3 + ln)) = 3 ) +ln)) = iii) f) = 2 2: f ) =2 2 iv) f) =3 + 3 : f ) = ln3)3 v) f) = 2 = 5/2 : f ) = 5 2 3/2 = 5 2 vi) f) = ln): Nach der Produktregel gilt: f ) = ln)) = ln)+ = ln)+ vii) f) = ln) : Nach der Quotientenregel gilt: f ) = viii) f) = + : f ) = +) ) +) 2 = 2 +) 2 ln) i) f) = 2 : f ) = 0 2 ) 2 2 ) 2 = 2 2 ) 2 ) f) = 2 e : f ) =2e + 2 e = + 2)e i) f) = e + e : f ) = e e ) e e +) e ) 2 = 2e e ) 2 ii) f) =sin) cos): f ) =cos)+sin) ) = ln) ln)) 2 = ln) ln)) 2

21 03 Differenziation 359 Regel Kettenregel) Seien g differenzierbar an der Stelle und f differenzierbar an der Stelle g) Dann ist f g differenzierbar an der Stelle mit Ableitung fg))) = g ) f g)) Der erste Faktor der rechten Seite heißt innere Ableitung, der zweite äußere Ableitung 05 Beispiel Die Ableitung einer allgemeinen Eponentialfunktion h) =a mit a>0, a lässt sich aus der Ableitung der Eponentialfunktion direkt bestimmen Dazu wird die Darstellung h) =a = e lna) = flna)) =fg)) mit g) =lna) und ft) =e t verwendet Unter Verwendung der Kettenregel gilt nämlich mit f t) =e t und g ) =lna): h ) =g ) f g)) =lna) f lna)) =lna)e lna) = lna)a 06 Beispiel i) h) = 2 ) 2 : h ) =2 2 2 ) =4 3 4 ii) h) = ) 3 : h ) = ) ) 3 =6 + 5) ) 2 =8 + 5) ) 2 iii) h) = 2 + : h ) = = 2+ iv) h) =e 2 : h ) =2e 2 v) h) =e 4 : h ) = 4 ) e 4 =4 3 )e 4 vi) h) =ln3 3 ): h ) =9 2 ) 3 3 = Ableitungen höherer Ordnung Da die Ableitung einer Funktion wiederum eine Funktion mit evtl eingeschränktem Definitionsbereich) ist, kann sie selbst ebenfalls auf Differenzierbarkeit untersucht werden Auf diese Weise werden Ableitungen höherer Ordnung definiert Die zweite Ableitung der Funktion f ist somit Ableitung der Funktion f Siewird mit f oder mit f 2) bezeichnet: f =f ) Allgemein gilt im Fall der Differenzierbarkeit von f n) n N): f n+) =f n) ) 07 Beispiel Die durch f) = gegebene Funktion hat die erste) Ableitung f ) = Die zweite Ableitung f ist gegeben durch f ) =6 2 6) = 2 Die dritte Ableitung ist f 3) ) =2, so dass alle höheren Ableitungen gleich Null sind, dh f n) ) =0 für n 4

22 360 0 Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation 04 Differenziation parameterabhängiger Funktionen! In 357Übersicht 04 wurden bereits Parameter benutzt, um Ableitungen von Funktionen eines bestimmten Typs anzugeben Die durch ft) = t n definierte Funktion hat den Parameter n N Ihre Ableitung ist gegeben durch f t) =nt n DieNützlichkeit des Parameters besteht darin, dass mit dieser Beschreibung die Ableitung für eine Klasse von Funktionen angegeben wird In einer konkreten Situation wird die Ableitung durch Einsetzen eines speziellen Werts für den Parameter ermittelt Grundsätzlich werden Parameter beim Differenzieren wie Konstanten behandelt Maßgeblich für die Differenziation ist nur das Argument der Funktion 08 Beispiel i) F) = e λ mit Parameter λ: ii) Fy) =y α mit Parameter α: F ) =λe λ F y) =αy α iii) Ft) = e λtβ mit Parametern λ und β: F t) =λβt β e λtβ iv) Fz) = μ+z mit Parameter μ: F z) = μ+z) 2 05 Aufgaben 0 Aufgabe 363Lösung) Bestimmen Sie mit Hilfe von 343Übersicht 0 und 344Übersicht 02 die Grenzwerte der Funktion an den Rändern ihres Definitionsbereichs a) f) = b) f) = c) f) = d) f) = 3 ln)+ 2 e) f) = e 2 3 f) f) = ) 02 Aufgabe 364Lösung) Überprüfen Sie die Funktionen auf Stetigkeit an den angegebenen Stellen a) f) =2 an der Stelle 0 = 0 b) f) = ) 2 an der Stelle 0 = 2 + bzw werden als Ränder des Definitionsbereichs verstanden, wenn der Definitionsbereich nach oben bzw unten unbeschränkt ist

23 05 Aufgaben 36 c) f) = {, 0 0, = 0 an der Stelle 0 = 0 d) f) = { 2 2+, 0, = an der Stelle 0 = e) f) = {, 0, < 0 an der Stelle 0 = 0 03 Aufgabe 364Lösung) Leiten Sie die Funktionen mit Definitionsbereich 0, ) unter Verwendung der Faktor- und Summenregel ab a) f) = b) f) = c) f) =4 4 4 d) f) = e) f) = f) f) = Aufgabe 365Lösung) Leiten Sie die Funktionen mit Definitionsbereich 0, ) unter Verwendung der Faktor-, Summen- und Produktregel ab a) f) =e b) f) =4 4 c) f) =2 ln)+ln 3 ) d) f) =3 4 sin) e) f) =e + 4 ) 2 f) f) =ln)) 2 e 05 Aufgabe 365Lösung) Leiten Sie die Funktionen mit Definitionsbereich 0, ) ab a) f) = b) f) = 2+ c) f) = d) f) =5 3) 5 e) f) = )4 f) f) = ) 5

24 362 0 Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation 06 Aufgabe 366Lösung) Begründen Sie, dass die Grenzwerte für jeweils gleich Eins und für jeweils gleich Null sind und dass die Funktionen stetig auf R sind Berechnen Sie ferner die Ableitung evtl mit Ausnahme der Stellen 0 = 0 und 0 = ) { 0, < 0 a) F) = e, 0 { e 2, < 0 b) F) =, 0 0, < 0 c) F) =, 0, > d) F) =e e, R 07 Aufgabe 366Lösung) Berechnen Sie die Grenzwerte der durch die folgenden Ausdrücke definierten gebrochen rationalen Funktionen im Unendlichen a) f) = 22 b) ft) = 3t3 5t 2 2t 3 +5t c) gy) = 2y2 +y 2y 2 d) gs) = s s2 4s 4 s 5 +s 3 e) f) = 22 ) ) 2 f) fv) = +v6 3v+2) 3 v+) 6 g) f) = α mit α R h) ht) = t2 2t k mit k N 0 i) fy) = αy)4 +y 4 3y y 2 2) 2 mit α R 08 Aufgabe 369Lösung) Berechnen Sie die ersten und zweiten Ableitungen der folgenden, parameterabhängigen Funktionen f a) ft) =αt 2 + t, t R, mitα R b) f) = + β 2 ) 3, R, mitβ R c) fy) =lnδy), y>0, mitδ>0 d) fz) =ln + δz), z>0,mitδ>0 e) fy) = y) /β, y 0, ), mitβ>0 f) ft) =t δ, t>0,mitδ>0 g) f) =e μ)α, R, mitα N 0 und μ R h) fz) =lnδz)e z μ), z>0,mitδ>0und μ R

25 06 Lösungen Lösungen 0 Lösung 360Aufgabe) a) D = R; Ränder:, ) =+, ) =+ b) D = R; Ränder:, )=+, )= c) D = R \{}; Ränder:, +, Aus der Polynomdivision resultieren folgende Aussagen: ) : ) =4, = 4 ) =+, = 4 ) = = 4 ) = = 4 ) = Die Funktion kann daher an der Stelle = durch den Funktionswert 3 stetig fortgesetzt werden d) D =0, ); Ränder: 0, + da ) 3 ln)+ 2 = =+ und Der Grenzwert e) D = R; Ränder:, ln) = ln) 2 + ) + 2 ) 3 ln) + 2 ) = gilt 0+ 3 ln)+2 ) ist gleich + + e2 3 )=, e2 3 )=0 =+,

26 364 0 Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation f) D = R \{0}; Ränder:, +,0 + ) ) 5 = 3 + e ln2) = 0, 3 ) )= 3 = 43 e ln2) + e ln2) =, denn der erste und der zweite 5 e ln2) 3 3 ) Grenzwert sind jeweils gleich Letzteres folgt aus An der Stelle = 0 ergeben sich als Grenzwerte 0 0+ ) = 3 ) =+ 3 eln2) 3 = 0 Diese Aussage resultiert aus den Grenzwerten 0 2 =, 4 3 = 0 und = bzw = Lösung 360Aufgabe) a) b) c) 2 = 0+ Stelle 0 = 0 2 = 0, = 2) =0, alsoistf stetig an der 0 2+ )2 =, 2 )2 =, alsoistf stetig an der Stelle 0 = 2 Alternativ gilt f) = ) 2 = ) 2,dhfist ein quadratisches Polynom und daher insbesondere stetig auf R 0+ =+ f0) =0, 0 = f0) =0, alsoistf an der Stelle 0 = 0 nicht stetig d) Wegen = ) = für gilt für die Grenzwerte ) =0 und 2 2+ = ) =0 = + Daher ist f an der Stelle 0 = wegen f) =0 stetig e) Wegen 0+ = 0 = f0) und 0 zwar rechtsseitig stetig, aber nicht stetig = ist f an der Stelle 0 = 0 03 Lösung 36Aufgabe) a) f ) = ) = = ) b) f ) = = = c) f ) = ) = ) = = 6 3

27 06 Lösungen 365 d) f ) = ) ) 4 = = = e) f ) = ) = 2 2) ) 3 3 4) 4 = f) f ) = ) ) = = ) ) 5 3 = Lösung 36Aufgabe) a) f ) =e ) = e 2 + e = e 2 + 2)+5 4 = + 2)e b) f ) =4 4 ) = ln4) = 3 4 ln4) + 4) c) f ) =2 ln)+ln 3 )) = 2 ln)+2 +3 ln)) = 2 ln) d) f ) =3 4 sin)) = 2 3 sin)+3 4 cos) =3 3 4 sin)+ cos)) e) f ) =e + 4 ) 2 ) =e + 4 ) e + 4 )) =e + 4 ) e + ln4) 4 )+ e + ln4) 4 ) e + 4 ) = 2e + 4 ) e + ln4) 4 )= 2e ln4) e ) ln4) ) f) f ) =ln)) 2 e ) =ln) ln)) e +ln)) 2 e =ln) + ln)) e +ln)) 2 e = e ln) 2 + ln)) 05 Lösung 36Aufgabe) a) f ) = ) = ) 2 2) 2 b) f ) = c) f ) = = = ) = 2 + ) ) = 2 + ) 2 2 = 2 2+ ) 2 ) = 4+3) 2 +) ) 2+) = ) 2 2 +) 2 d) f ) = 5 3) 5) = 55 3)4 5 = 255 3) 4 e) f ) = )4) = ) ) 2 = ) ) 3 ) ) f) f 3 ) = ) 5 = ) 5 3 = ) ) = ) ) 2

28 366 0 Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation 06 Lösung 362Aufgabe) a) Es gilt F) = 0 = 0 und F) = e )= Zur Untersuchung der Stetigkeit ist lediglich die Stelle 0 = 0 zu betrachten, da sich die Stetigkeit in den anderen Punkten des Definitionsbereichs aus der Stetigkeit 349grundlegender Funktionen ergibt Wegen 0+ e )=0 = f0) = 0 ist F auch stetig in 0 = 0 und damit stetig auf R 0 { Die Ableitung ist gegeben durch f) =F 0, < 0 ) = e, > 0 b) Es gilt F) = = 0 und F) = = ZurUntersuchung der Stetigkeit ist lediglich die Stelle 0 = 0 zu betrachten vgl a)) e 2 Wegen = = f0) = ist F auch stetig in 0 e 2 0 = 0 und damit 0+ stetig auf R { Die Ableitung ist gegeben durch f) =F 2e 2, < 0 ) = 0, > 0 c) Es gilt F) = 0 = 0 und F) = = Zur Untersuchung der Stetigkeit sind lediglich die Stellen 0 = 0 und = zu betrach- ten vgl a)) Wegen 0 = 0 = f0) = und = = f) = 0 0+ ist F auch stetig in 0 = 0 und = und damit stetig auf R + 0, < 0 Die Ableitung ist gegeben durch f) =F ) =, 0 < < 0, > d) Aus e )= und + e )=0 resultieren die Grenzwerte F) = = e e z ez = 0, F) = = e z = + + e e z 0 Als Verkettung stetiger Funktionen ist F auch stetig auf R Die Ableitung ist nach der Kettenregel gegeben durch f) =F ) =e e e = e e = e +e ), R 07 Lösung 362Aufgabe) Die Grenzwerte für werden jeweils mittels der Beziehung bestimmt f) = f )

29 a) Für f) = 22 gilt: f) = 2 ) = 2 ) f) = 2 = 2 + ) b) Für ft) = 3t3 5t 2 2t 3 +5t gilt: 3 5 t ft) = t t = 3 2 t 2 t t ft) = t t 2 5 t = t 3 06 Lösungen 367 = c) Für gy) = 2y2 +y 2y 2 gilt: gy) = y y gy) = y y 2 + y 2 y y y 2 y 2 y 2 Alternativ kann auch wie folgt vorgegangen werden: da der Term = = gy) = 2y2 + y y ± = +, 2y 2 2y 2 y 2y 2 d) Für gs) = s s2 4s 4 s 5 +s 3 e) Für f) = 22 ) ) 2 in beiden Fällen gegen Null konvergiert gilt: gs) = s s gs) = s s gilt: 4 s 4 s 3 s + s 5 s 2 = 0 4 s 4 s 3 s + = 0 s 5 s 2 2 f) = 4 ) + 2 = ) 2 ) 2 2 f) = 4 2 ) + 2 = 0 5 4

30 368 0 Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation Alternativ können die Terme im Zähler und Nenner ausmultipliziert werden und dann die Grenzwerte bestimmt werden: f) = 22 ) ) 2 = f) Für fv) = +v6 3v+2) 3 v+) 6 gilt: v + fv) = 6 v v ) v v + 6 = v + v fv) = 6 v v ) v v + 6 = v Alternativ können die Terme im Zähler und Nenner ausmultipliziert werden und dann die Grenzwerte bestimmt werden: fv) = ) 3 ) 3 + v 6 27v 3 54v 2 36v 8 v 6 + 6v 5 + 5v v 3 + 5v 2 + 6v + g) Für f) = α mit α R gilt: h) Für ht) = t2 2t k α f) = f) = α = α = α mit k N 0 werden folgende Fälle betrachtet: k = 0: In diesem Fall ist der Nenner konstant und es gilt: t ht) = 2 t t 2 = t t2 )= ht) = t t t) 2 2 = t t 2 )= 2 k = : In diesem Fall ist die höchste Potenz im Zähler und es gilt: t ht) = 2 t t 2t = t t t t 2 = t) ht) = 2 t t = t t + 2t t t + 2 =

31 06 Lösungen k = 2: In diesem Fall ist die höchste Potenz im Nenner gleich der höchsten Potenz im Zähler und es gilt: ht) = t t ht) = t t t 2 2t 2 = t t) 2 2 t) 2 = t t 2 t 2 2 = 2 t 2 t 2 2 = 2 4 k 3: In diesem Fall ist die höchste Potenz im Nenner und es gilt: t ht) = 2 t t 2t = k t ht) = t t i) Für fy) = αy)4 +y 4 3y y 2 2) 2 gilt: fy) = y y fy) = y y t) 2 2 t) k = t t k 2 t k t k 2 = 0 t k 2 t k 2 ) = 0 t k k y α) y ) 2 2 = α 4 + y 2 y + α) y ) 2 2 = α 4 + y 2 08 Lösung 362Aufgabe) a) Für ft) =αt 2 + t, t R, mitα R gilt: f t) =2αt +, f t) =2α b) Für f) = + β 2 ) 3, R, mitβ R gilt mit Produkt- und Kettenregel: f ) =2β 3 + β 2 ) 2 = 6β + β 2 ) 2, [ ] f ) =6β + β 2 ) 2 + 2β 2 + β 2 ) = 6β + β 2 ) + 5β 2 ) c) Für fy) =lnδy), y>0, mitδ>0gilt mit den 94Logarithmusgesetzen: fy) =lnδy) =lnδ)+lny), so dass f y) = y, f y) = y 2

32 370 0 Grenzwerte, Stetigkeit, Differenziation d) Für fz) =ln + δz), z>0,mitδ>0gilt mit der Kettenregel: f z) = δ + δz, f z) = δ2 + δz e) Für fy) = y) /β, y 0, ), mitβ>0gilt: [ f y) = ) β y)/β ] = β y)/β, f y) = β ) β ) y) /β 2 = β β 2 y)/β 2 f) Für ft) =t δ, t>0,mitδ>0gilt: f t) = δ)t δ, f t) =δδ )t δ g) Für f) =e μ)α, R, mitα N 0 und μ R gilt: f ) = α μ) α e μ)α, f ) = αα ) μ) α 2 e μ)α + α μ) α ) 2 e μ) α [ = αα ) μ) α 2 + α 2 μ) 2α 2] e μ)α ] = α [ α + α μ) α μ) α 2 e μ)α h) Für fz) =lnδz)e z μ), z>0,mitδ>0und μ R gilt zunächst mit den 94Logarithmusgesetzen und e z μ) = e μ z : fz) =lnδz)e z μ) = lnδ)+lnz) ) e μ z Daraus folgt mit e μ z) = e μ z : f z) = z eμ z lnδ)+lnz) ) ) e μ z = z lnδ) lnz) e μ z, f z) = z 2 ) ) e μ z z z lnδ) lnz) e μ z = z 2 2 ) z + lnδ)+lnz) e μ z = z 2 2 ) z + lnδz) e μ z