Meine persönliche Einschätzung der Aufgaben der Klausur vom :

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1 Meine persönliche Einschätzung der Aufgaben der Klausur vom.9.: a) h) Einige leicht, andere Standard, einige zum (kurzen) Nachdenken. ) Standard. Vergleiche Aufgabe 9, Bonusaufgabe a) Standard. Vergleiche Aufgabe 45, Bonusaufgabe 46, Aufgabe 9 b) Leicht. Vergleiche Bonusaufgabe 5 c) Standard. Vergleiche Aufgabe Bonusaufgabe 6, Bonusaufgabe 7 4) Standard. Vergleiche Bonusaufgabe. 5) Sehr leicht (eine Matrixmultiplikation, wenn per Induktion; sonst Rechnerei) 6) Leicht (Schulstoff), aber etwas Rechnerei 7) Anspruchsvoll. Vergleiche Aufgabe 75, Bonusaufgabe 76, Aufgabe 6 8) Standard. 9a) Standard. Vergleiche Aufgabe 9d. 9b) Standard. ) Standard. W. Oevel

2 Mathematik II für Informatiker Sommersemester Walter Oevel Klausur.9. Name: Vorname: Matrikelnummer: Aufgabe: Σ Bonus Σ max Punkte: () erreichte Punkte: Note: Kontrollieren Sie diese Klausur auf Vollständigkeit: sie sollte Seiten haben (Aufgaben ). Tragen Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer auf allen Seiten ein. Lösungswege und Lösungen sind in die Klausurvorlage (evtl. auf die Rückseiten) einzutragen. Sollte der Platz nicht ausreichen, so stellt die Klausuraufsicht zusätzliches Papier zur Verfügung. Die Klammerung der Klausur nicht lösen! Nicht mit Bleistift und nicht in Rot schreiben! Dauer: Minuten Zulässige Hilfsmittel: 4 handschriftliche Seiten + nichtprogrammierbarer Taschenrechner Aufgabe : (Quickies, jeweils oder oder Teilpunkte) Hier sind keine Begründungen erforderlich, nur ja, nein oder gar nichts ankreuzen! Falsche Antworten ergeben negative Punkte! a) Jedes Polynom vom Grad n hat n verschiedene komplexe Nullstellen. ja nein b) Die Reihe k k k + c) Für f(x) x x konvergiert gegen einen endlichen Wert. ja nein gilt: lim f(x) lim f(x). ja nein x x + sin(x) d) lim. ja nein x x e) Es gilt sin(x) O(x) im Limes x. ja nein f) Die Funktion x x ist am Punkt x stetig. ja nein g) Die Funktion x + x ist am Punkt x differenzierbar ja nein h) Für (glatte) Funktionen f gilt stets f (e x ) e x dx f(e) f(). ja nein

3 Aufgabe : (Folgen, Punkte) Betrachten Sie die durch die Rekursion x n+ + x n, x definierte Folge (x n ). a) Zeigen Sie, dass die Folge nach oben beschränkt ist. b) Zeigen Sie, dass die Folge streng monoton wächst. c) Zeigen Sie, dass die Folge konvergiert. d) Berechnen Sie den Grenzwert. a) Durch Induktion wird gezeigt: x n <. Start: x <, OK. Schritt n n + : x n < x n+ + x n < +. b) Mit x n < ergibt sich x n+ + x n > x n + x n x n. Für alle x mit < x < gilt aber < x < x < x x < x. Wegen x n < ergibt das insgesamt: x n+ > x n > x n. c) Eine monotone beschränkte Folge ist stets konvergent. Damit folgt c) aus a) und b). d) Der Grenzwert x muss die Gleichung x + x erfüllen: x + x (x ) + x (x ) x x ± 4 + ± {,. Es kommt nur der positive Wert x in Frage. Ergebnis: d) Grenzwert

4 Aufgabe : (Reihen, Punkte) a) Berechnen Sie (k + ) (k + ). k b) Bestimmen Sie eine explizite Darstellung von f(x) x k+ ( x hinreichend klein). c) Welche rationale Zahl wird durch die Dezimalzahl dargestellt? a) Partialbruchzerlegung: (k + ) (k + ) a k + + b a (k + ) + b (k + ) (a + b) k + ( a + b) k + (k + ) (k + ) (k + ) (k + ) k k a + b, a + b a, b (k + ) (k + ) k + k +, (k + ) (k + ) ( k + ) k + k b) Die geometrische Reihe konvergiert für x < : x k+ x k x x (x ) k k k k x x. c) k 4 k ( ) Ergebnis: a) (k + ) (k + ) b) x k+ c).45 k k

5 Aufgabe 4: (Polynomwurzeln, 8 Punkte) Bestimmen Sie alle (komplexen) Wurzeln des Polynoms z 4 z + z z +. (Hinweis: Eine der Wurzeln ist i ). Da bei reellen Polynomen Wurzeln immer in konjugiert komplexen Paaren auftauchen, ist neben z i auch z i eine Wurzel. Damit läßt sich der quadratische Faktor (z i) (z+i) z + per Polynomdivision abspalten: ( z 4 z + z z + ) : (z + ) z z +. z 4 + z z + z z + z z z + z Also: z 4 z + z z + (z + ) (z z + ). Die Wurzeln des zweiten Faktors ergeben sich aus der Standardformel für quadratische Gleichungen: z,4 ± ± i. Damit haben wir alle Wurzeln: z i, z i, z + i, z 4 i. Ergebnis: z i, z z z 4 4

6 Aufgabe 5: (Matrizen, einfacher Beweis, 6 Punkte) ( ) n + n n Beweisen Sie die folgende Matrixidentität: n n + (Hinweis: Diagonalisierung führt zum Ziel, es geht aber auch einfacher.), n N. Man kann die Formel über Diagonalisierung herleiten: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n ( ) ( ) ( n n ) ( n + n n n + ). Da die Formel aber vorgegeben ist, geht es auch wesentlich einfacher. Es bietet sich als Beweis eine einfache Induktion zur Verifikation der Formel an: Start n : ( ) ( ) (?) ( ) + (OK). Schritt n n + : ( ) n+ ( + ) ( ) n ( ) ( n + ( ) ( n + + n n + n + n + n + + n n + n + n ) ( n+ + n+ n+ n+ +. n n n + ) n ) n + 5

7 Aufgabe 6: (Extremwerte, Punkte) Ein Kegel der Höhe h und des Grundradius r hat die Oberfläche A π r + π r r + h und das Volumen V π r h/. Bestimmen Sie das Verhältnis h/r des Kegels, der bei gegebener Fläche A das maximale Volumen hat. Mittels A π r + π r r + h ergibt sich h als Funktion von r: A π r π r r + h A π r r r + h ( A π r r ) h + r h A π r A π. Das Volumen V ist zu maximieren. Wir maximieren V : V (r) π 9 r4 h π ( A 9 r4 π r A ) A ( π 9 A r π r 4). Das Maximum ergibt sich als Nullstelle der Ableitung: (!) d ( A r π r 4) A r 8 π r r A dr 4 π. Einsetzen in h liefert: h A π r A π Das Verhältnis h/r ergibt sich damit zu: Ergebnis: h/r 4 A π A π h r A π. A/π A/(4 π) 8 h r 8 6

8 Aufgabe 7: (Differentiation von Umkehrfunktionen, Punkte) Sei g f die Umkehrfunktion der Funktion f(x) x + e x. Bestimmen Sie: a) g(), b) g (), c) g (). a) Durch Einsetzen findet man f(), also g(). b) Nach Vorlesung gilt mit y f(x), x g(y): g (y) f (x) + e x + e g(y) (g()) g () + e g() + e. c) g (y) d dy g (y) d dy + e g(y) ( + e g(y) ) d dy eg(y) ( + e g(y) ) eg(y) d dy g(y) ( + e g(y) ) eg(y) + e g(y) e g(y) ( + e g(y) ) g e g() () ( + e g() ) e ( + e ) 8. Ergebnis: a) g() b) g () c) g () 7

9 Aufgabe 8: (Grenzwerte, 6 Punkte) Bestimmen Sie lim x x (e/x ). Mit der Umformulierung lim x e /x x (e/x ) lim x /x ergibt sich eine Situation für x, auf die l Hospital anwendbar ist: e /x lim lim x /x x d dx (e/x ) d dx x lim x e /x x x lim x e/x e limx x e. Ergebnis: Grenzwert 8

10 Aufgabe 9: (Unbestimmte Integration, Punkte) Bestimmen Sie folgende Stammfunktionen: cos(ln(x)) a) dx, b) sin(x) cos(x) e sin(x) dx. x a) Substitution y ln(x), dy/dx /x, dy dx/x: cos(ln(x)) dx cos(y) dy sin(y) + c sin(ln(x)) + c. x b) Substitution: y sin(x), dy cos(x) dx: sin(x) cos(x) e sin(x) dx y e y dy. Partielle Integration: y e y dx g (y) f(y) Rücksubstitution: y f(y) e y g(y) Probe: d ( ) sin(x) e sin(x) e sin(x) + c dx f (y) e y g(y) dx y e y e y dy y e y e y + c. sin(x) cos(x) e sin(x) dx sin(x) e sin(x) e sin(x) + c. cos(x) e sin(x) + sin(x) cos(x) e sin(x) cos(x) e sin(x) sin(x) cos(x) e sin(x) (OK). cos(ln(x)) Ergebnis: a) dx x b) sin(x) cos(x) e sin(x) dx 9

11 Aufgabe : (Bestimmte Integration, uneigentliche Integrale, Punkte) Betrachten Sie I n : x n+ e x dx mit n {,,,...}. a) Zeigen Sie: I n y n e y dy. b) Leiten Sie eine Rekursionsformel her, die I n auf I n zurückführt. c) Ermitteln Sie einen expliziten Ausdruck für I n. a) Substitution: y x, dy x dx, x y, x y : I n x n+ e x dx b) Partielle Integration (für n ): I n y n f(y) e y g (y) [ dy y n f(y) (x ) n e x x dx dy ] y ( e y ) y g(y) y n e y dy. n y n ( e y ) f (y) g(y) dy c) Mit b) folgt: n y n e y dy n I n. I n n I n n (n ) I n... n (n )... I. n! I. Offensichtlich gilt: I Endergebnis: I n n! [ e y dy e y] y ( ). Ergebnis: b) I n c) I n y