Klausur zur Vorlesung Höhere Mathematik II

Transkript

1 Name: 9. Juli 2001, Uhr Allgemeine Hinweise: Dauer der Klausur: Zugelassene Hilfsmittel: 120 min, 2 Zeitstunden Vorlesungsmitschrift(en), Formelsammlung Schreiben Sie bitte auf dieses Deckblatt oben rechts an der dafür vorgesehenen Stelle Ihren Namen in Druckbuchstaben! Unterschreiben Sie dieses Deckblatt! Reißen Sie die geheftete Klausur nicht auseinander. können nicht gewertet werden. Ausgerissene Aufgabenblätter Verwenden Sie für Ihre Lösungen ausschließlich die angehefteten Aufgabenblätter! Es steht für jede Lösung ausreichend Platz zur Verfügung. Falls der Platz trotzdem nicht ausreichen sollte, benutzen Sie bitte die Rückseite oder die entsprechend gekennzeichnete Rückseite eines anderen Aufgabenblatts! Andere Blätter als die Aufgabenblätter können nicht gewertet werden! Verwenden Sie keinen Rotstift und keinen Bleistift! Unterschrift: Auswertung: Aufgabe Nr.: Bonus Summe Punktzahl: Davon erreicht: 9. Juli 2001, Seite 1 von 7

2 1. Aufgabe: (5 Punkte) Gegeben seien die reellen differenzierbaren Funktionen x f(x) = cos(x) + 1 g(x) = x ln(x) Berechnen Sie f g und g f, sowie deren Ableitungsfunktionen. Geben Sie dabei jeweils die verwendeten Ableitungsregeln an. Hinweis: es werden keine Folgefehler berücksichtigt! Verknüpfung falsch, alles falsch! 9. Juli 2001, Seite 2 von 7

3 2. Aufgabe: (6 Punkte) Berechnen Sie mit Hilfe einer geeigneten Integrationstechnik 1/2 1/2 x (1 x 2 ) 2 dx 9. Juli 2001, Seite 3 von 7

4 3. Aufgabe: (5 Punkte) Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems ẏ = 2 y2 t + 21 t, y(1) = 0 9. Juli 2001, Seite 4 von 7

5 4. Aufgabe: (7 Punkte) Bestimmen Sie ein Polynom, welches die Funktion f(x) = 1 x 1 im Intervall [0, 1 ] bis auf die 1. Nachkommastelle annähert Juli 2001, Seite 5 von 7

6 5. Aufgabe: (7 Punkte) Bestimmen Sie den Parameter α R, für den die Lösung des Anfangswertproblems im Punkt t = 1 minimal wird. ẏ = αy 2α(1 αt), y(0) = 1, 9. Juli 2001, Seite 6 von 7

7 6. Aufgabe: (5 Punkte) In der Vorlesung wurden Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Potenzreihen und Polynomen angesprochen. Wählen Sie durch Ankreuzen, welche der nachfolgenden Aussagen richtig oder falsch sind! Hinweis zur Bewertung: richtige Antwort = 0.5 Punkte, falsche Antwort = -0.5 Punkte, keine Antwort = 0 Punkte, minimal erreichbare Punktzahl = 0 Punkte! Aussage falsch richtig Polynome und Potenzreihen sind unendlich oft differenzierbar. Polynome und Potenzreihen sind auf ganz R definiert. Das Integral über ein Polynom ist wieder ein Polynom. Dies ist jedoch eine Aussage, die nicht unbedingt in ähnlicher Weise für Potenzreihen gilt. Die Gleichheit von Polynomen und Potenzreihen kann durch Koeffizientenvergleich ermittelt werden. Jedes Polynom ist selbst eine Potenzreihe. Jede Potenzreihe ist nichts weiter als ein Polynom mit speziellen Koeffizienten. Das Restglied der Taylorentwicklung von Polynomen und Potenzreihen konvergiert für jedes x ihres Definitionsbereiches gegen 0. Polynome haben endlich viele, Potenzreihen unendlich viele Nullstellen. Jede unendlich oft differenzierbare Funktion ist eine Potenzreihe. Polynome sind stets differenzierbare Funktionen, Potenzreihen nicht unbedingt. 9. Juli 2001, Seite 7 von 7