Musterlösung. für die Klausur MA2_06.1 vom 10. Februar Labor für Mathematik und Statistik. Prof. Norbert Heldermann.

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1 Fachbereich Produktion und Wirtschaft Musterlösung für die Klausur MA_06. vom 0. Februar 006 Labor für Mathematik und Statistik Prof. Norbert Heldermann Richard Münder Bei dem vorliegenden Dokument handelt es sich um eine Musterlösung für eine vom Labor für Mathematik und Statistik gestellte Klausur. Die Anfertigung dieser Musterlösung wurde aus Studiengebühren der Studenten des Fachbereiches Produktion und Wirtschaft der Fachhochschule Lippe und Höxter finanziert. Die Reihenfolge der Aufgaben wurde bei der Darstellung ihrer Lösungen gegenüber der Klausur beibehalten. Diese Lösungen wurden ausführlich dargestellt, reichhaltig kommentiert und verständlich mit graphischen Darstellungen ergänzt. Unter besteht eine Verbindung zur Internetseite des Labores für Mathematik und Statistik. Hier können die Klausuren und die Musterlösungen heruntergeladen werden. Darüber hinaus existiert eine Kontaktadresse für sinnvolle Verbesserungsvorschläge und zur Fehleranzeige sowie für eventuelle Rückfragen. Die in der Musterlösung enthaltenen Zeichnungen sind mit AutoCAD (Lizenz Fachhochschule Lippe und Höxter) angefertigt worden.

2 Klausur Mathematik, M 006. Prof. Dr. N. Heldermann Dauer: Stunde. Erlaubte Hilfsmittel: Nicht-programmierbarer Taschenrechner. Bitte beginnen Sie jede Aufgabe auf einem neuen Blatt. Schreiben Sie auf jedes Blatt Ihren Namen und lassen Sie die Rückseite frei. Die Ermittlung aller Ergebnisse ist lückenlos und nachvollziehbar zu dokumentieren.. Für welche komplexen Zahlen z = x + iy gilt z 0.75z + z 0.75 z +.5z z + 4i(z z)? Es ergibt sich der innere Bereich einer Ellipse. Skizze!. Berechnen Sie mittels Partialbruchzerlegung x 5 3x 4 3x 3 + 9x 9x + 6 x 3 5x + 8x 4 dx. (0 Punkte) (0 Punkte) 3. Betrachtet wird die Funktion f(x) = x + für x [, ]. (a) Skizzieren Sie die Funktion und berechnen Sie die Fläche zwischen Funktion, x-achse und den Geraden x = und x =. ( Punkte) (b) Diese Fläche rotiert nun um die y-achse und bildet den Rotationskörper V. Welches Volumen hat er? (4 Punkte) (c) Dieses Volumen entspricht in seiner Form einer Wassermenge in einem rotierenden zylindrischen Glas mit Radius cm. Wie hoch steht das Wasser, wenn das Glas nicht rotiert? ( Punkte) (d) Berechnen Sie die Bogenlänge von f von ( 5) bis ( 5). (6 Punkte) (e) Berechnen Sie die Oberfläche von V. (8 Punkte) (f) Wo liegt der Schwerpunkt von V? (8 Punkte) 4. Lösen Sie die Differentialgleichung y + y + = sin x unter den Nebenbedingungen y(0) = 0.75 und y (0) =.5. Führen Sie alle Integrationen vollständig aus. 5. In einen Halbkreis mit Radius r werden 5 Radien gezeichnet. Berechnen Sie den Linienschwerpunkt des Liniensystems. (8 Punkte) (8 Punkte) r r r

3 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder 3 Aufgabe : Für welche komplexen Zahlen z = x + iy gilt z 0.75z + z 0.75 z +.5z z + 4i(z z)? Es ergibt sich der innere Bereich einer Ellipse. Skizze! Zuerst werden alle in der Gleichung vorkommenden Terme in Nebenrechnungen gebildet: z = x + iy, z = x iy, z z = (x + iy) (x iy) = x ixy + ixy i y = x + y, z = (x + iy) = x + ixy + i y = x + ixy y, z = (x iy) = x ixy + i y = x ixy y, z z = x + iy (x iy) = iy. Somit nimmt die Gleichung folgende Gestalt an: x + iy 0, 75 ( x y ) + x iy +, 5 ( x + y ) + 4i iy. Nachdem die Klammern aufgelöst sind, wird zusammengefaßt:, 5x +, 5x + x +, 5y +, 5y 8y. Um die quadratische Ergänzung durchführen zu können, werden beiderseits die benötigten Werte hinzugefügt: x + x + + 4y 8y Es ergibt sich als quadratisch ergänzte Form: (x + ) + 4(y ) 6. Somit tritt eine Ellipse folgender Form hervor: (x + ) 6 + (y ) 4.

4 4 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder Es handelt sich um eine Ellipse mit dem Mittelpunkt M( ) und den beiden Halbachsen a = 4 und b =.

5 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder 5 Aufgabe : x 5 3x 4 3x 3 + 9x 9x + 6 Berechnen Sie mittels Partialbruchzerlegung: dx. x 3 5x + 8x 4 Der erste Schritt bei einer solchen Integration ist die Normierung des Integranden durch Polynomdivision: (x 5 3x 4 3x 3 + 9x 9x + 6) : (x 3 5x + 8x 4) = x + x (x 5 5x 4 + 8x 3 4x ) x 4 x 3 + 3x 9x + 6 (x 4 0x 3 + 6x 8x) x 3 + 7x x + 6 ( x 3 + 5x 8x + 4) x 3x + Durch systematisches Probieren ergibt sich die erste Nullstelle des Nenners zu x =. Nun kann der Nenner mittels Polynomdivision weiter vereinfacht werden: (x 3 5x + 8x 4) : (x ) = x 4x + 4. (x 3 x ) 4x + 8x ( 4x + 4x) 4x 4 (4x 4) 0 Die Anwendung der Binomischen Formeln bringt hier sofort x 4x + 4 = (x ) zum Vorschein, also ist x = eine doppelte Nullstelle des Nennerpolynoms. Die entsprechende Partialbruchzerlegung sieht dann wiefolgt aus: x 3x + (x )(x ) = A (x ) + B (x ) + C (x ). Um die Brüche zu eliminieren, wird mit dem Hauptnenner multipliziert: x 3x + = A(x ) + B(x )(x ) + C(x ). Nun können die Koeffizienten ermittelt werden: x = : = A x = : 4 = C x = 0: = 4A + B C = B =.

6 6 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder Den letzten Schritt der Berechnung stellt die Integration dar: x 5 3x 4 3x 3 + 9x 9x + 6 dx x 3 5x + 8x 4 = (x + x )dx + dx x + dx x + 4 = x3 3 + x x + ln x + ln x 4 x. dx (x )

7 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder 7 Aufgabe 3: Betrachtet wird die Funktion f(x) = x + für x [, ]. (a) Skizzieren Sie die Funktion und berechnen Sie die Fläche zwischen Funktion, x-achse und den Geraden x = und x =. (b) Diese Fläche rotiert nun um die y-achse und bildet den Rotationskörper V. Welches Volumen hat er? (c) Dieses Volumen entspricht in seiner Form einer Wassermenge in einem rotierenden zylindrischen Glas mit Radius cm. Wie hoch steht das Wasser, wenn das Glas nicht rotiert? (d) Berechnen Sie die Bogenlänge von f von ( 5) bis ( 5). (e) Berechnen Sie die Oberfläche von V. (f) Wo liegt der Schwerpunkt von V? 3(a): Zur Berechnung der Fläche ist eine Integration notwendig, bei der die Ordinatensymmetrie der Funktion ausgenutzt werden kann: ( F = x + ) ( ) x 3 ( ) dx = 3 + x 8 = =

8 8 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder 3(b): Da es sich hier um eine Rotation um die Ordinate handelt, muß anstatt der Funktion f(x) in ihre Umkehrfunktion benutzt werden. Das gesuchte Volumen errechnet sich nun aus der Differenz zweier Volumina V und V, wobei V dem Volumen des Zyliners mit der Höhe h = 5 entspricht und V das Volumen innerhalb der Parabel bezeichnet. In Gleichungen also wiefolgt: Volumen: V = V V Umkehrfunktion: y = x + x = y. Das Volumen V wird mittels Integration bestimmt: 5 ( ) y 5 V = π (y )dy = π y = 8π Nachdem nun noch das Zylindervolumen berechnet ist, kann das Rotationsvolumen des beschriebenen Körpers ermittelt werden: V = π 5 = 0π = V = V V = 0π 8π = π. 3(c): 3(d): Bei bekanntem Volumen errechnet sich die Höhe eines Zylinders folgendermaßen: h = V πr = π π = 3. Die Bogenlänge einer Funktionslinie berechnet sich nach der Formel: l = b Unter Ausnutzung der Symmetrie ergibt sich: l = 0 a + [f (x)] dx. + 4x dx = x dx. Mithilfe des Grundintegrals für a + x dx aus der Formelsammlung berechnet sich die Bogenlänge zu: ( x l = x + ) 8 ln x x 0 [( 4, = ln ) ( )] + 4, 5 ln 0, 5 9, 94. 8

9 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder 9 3(e): Die Oberfläche von V besteht aus drei Teiloberflächen: Dem Boden, der Wand und der Mantelfläche als obere Abgrenzung. Offenbar sind die Boden- und die Wandfläche trivial zu bestimmen, doch zur Berechnung der Mantelfläche ist eine Integration notwendig. Die Mantelfläche berechnet sich nach der Formel: A = π b a f(x) + [f (x)] dx. Da es sich hierbei um eine Rotation um die Ordinate handelt, wird selbstverständlich erneut mit der Umkehrfunktion gerechnet. In einer Nebenrechnung wird der Radikand bestimmt: x = y = x = y = (x ) = 4(y ) Die Berechnungsformel erhält nun folgendes Aussehen: 5 4y 3 A = π y 4(y ) dy = π Um dieses Integral zu lösen, wird substituiert: z := 4y 3 = dz dy 5 = + (x ) = 4y 3 4(y ). 4y 3 dy. = 4 = dy = 4 dz. Somit ergibt sich für das Integral in einer Nebenrechnung: (4y 3) dy = z dz 4 = 4 3 z 3 = 6 z 3 = 6 (4y 3) 3. Die Mantelfläche bemißt sich demnach wiefolgt: A = π ( ) (4y 3) 3 5 = π ] [(7) 3 () 36, Der Boden und die Wand steuern folgende Teiloberflächen zur Gesamtoberfläche bei: B = 4π W = 0π = O = A + B + W = 36, 7 + 4π, 55.

10 0 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder 3(f): Um den Körperschwerpunkt ( x ȳ) von V zu bestimmen, wird zunächst der Körperschwerpunkt ( x ȳ ) des Paraboloids berechnet und anschließend gewichtet von dem Körperschwerpunkt ( x ȳ ) des Zylinders abgezogen. Dabei gilt für den Paraboloid: ȳ = π 5 y(y ) dy = ( ) y 3 V 8 3 y 5 = [( ) ( 3 )] = 3. Offenbar liegt der Körperschwerpunkt ( x ȳ ) des Zylinders bei (0, 5). Für den Körperschwerpunkt ( x ȳ) von V gilt demnach gemäß der Summenformel: ȳ V + ȳ V = ȳ V. Nach Einsetzen der berechneten Werte bestimmt sich ȳ zu: π ȳ =, 5 0π 3 8π = ȳ = 50π 88π π 3 = 3, 7. 8 Da offenbar x = 0 ist, liegt der Körperschwerpunkt ( x ȳ) des Rotationsvolumens bei (0, 7).

11 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder Aufgabe 4: Lösen Sie die Differentialgleichung y + y + = sin x unter den Nebenbedingungen y(0) = 0.75 und y (0) =.5. Führen Sie alle Integrationen vollständig aus. Die vorliegende Aufgabe kann auf zwei sehr unterschiedlichen Wegen zur Lösung gebracht werden. Es ist möglich, eine Substitution der Form z := y durchzuführen, um die entstandene Differentialgleichung erster Ordnung nach Lagrange zu lösen. Alternativ dazu kann die Aufgabe auch als Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten gelöst werden. Es werden hier nun beide Lösungsalternativen durchgerechnet. I.) Lösung als Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten: y + y = sin x a = a 0 = 0 D = a 4a 0 = 4 > 0. Für die Homogene Lösung werden noch zwei Parameter k / benötigt: k / = ( a ± D) = k = k = 0. Somit ergibt sich die Homogene Lösung zu: y H = c e x + c, c, R. Für die Allgemeine Lösung werden noch zwei Partikuläre Lösungen benötigt. Ansatz: y P = a sin x + b cos x y P = a cos x b sin x y P = 4a sin x 4b cos x Nach dem Einsetzen in die Ausgangsgleichung kann die erste Partikuläre Lösung bestimmt werden: 4a sin x 4b cos x + 4a cos x 4b sin x = sin x sin x( 4a 4b) + cos x( 4b + 4a) = sin x Die erste Lösung berechnet sich demnach zu: a = b = 4 = y P = 4 sin x cos x. 4

12 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder Ansatz: y P = ax + bx + c y P = ax + b y P = a Nach dem Einsetzen in die Ausgangsgleichung kann die zweite Partikuläre Lösung betimmt werden: a + 4ax + b = 4ax + (a + b) = Die zweite Lösung berechnet sich demnach zu: a = 0 b = c = c 3 = y P = x + c 3, c 3 R. Die in der Partikulären Lösung enthaltene Variable c 3 ist frei wählbar. Die Allgemeine Lösung kann jetzt aus der Summe der Homogenen und Partikulären Lösungen ermittelt werden: y A = y H + y P + y P = c e x + c 4 sin x 4 cos x x + c 3, c,,3 R. Da c und c 3 beides reelle Zahlen sind, werden sie zu einer reellen Zahl c 4 zusammengefaßt: y A = c e x 4 sin x 4 cos x x + c 4, c,4 R. Zur Ermittlung der Speziellen Lösung unter den genannten Nebenbedingungen muß y A abgeleitet werden: y A = c e x cos x + sin x, c R. Die Betrachtung der Nebenbedingungen liefert: y(0) = c 4 + c 4 = 0, 75 y (0) = c =, 5. Somit ergeben sich die Koeffizienten der Speziellen Lösung zu: c = 0 c 4 = = y S = x 4 sin x cos x. 4

13 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder 3 II.) Lösung als Differentialgleichung erster Ordnung mittels Lagrange-Verfahren: y + y + = sin x. Da y fehlt, wird eine Substitution durchgeführt: z := y z = y = z + z = sin x. Zur Ermittlung der Homogenen Lösung nach Lagrange wird die Störfunktion gleich Null gesetzt: z + z = 0 Nachdem die Trennung der Variablen durchgeführt ist, kann integriert werden: dz z = dx. Es tritt die gesuchte Stammfunktion nebst Integrationskonstante hervor: ln z = x + b, b R. Neben der Eliminierung des Logarithmus durch die Exponentialfunktion wird der entstehende Term ±e b zu a vereinfacht: z = a e x, a R. Um die Differentialgleichung zu lösen, muß als nächstes die Konstante variiert werden: z(x) = a(x) e x = z = a e x a e x. Diese Werte sind jetzt in die Ausgangsgleichung einzusetzen: a e x a e x + a e x = sin x. Es tritt eine maximale Vereinfachung auf, in deren Folge a durch Integration zu bestimmen ist: a = sin x e x e x = a = sin x e x dx e x dx. Die Integration wird in einer Nebenrechnung durch Substitution und anschließende partielle Integration gelöst: t := x = dt = dx = dx = dt. Es ergibt sich folgender Ausdruck: sin x e x dx = sin t e t dt. Eine partielle Integration mit u = sin t und v = e t liefert: sin t e t dt = sin t e t cos t e t dt. Eine erneute partielle Integration mit u = cos t und v = e t liefert: cos t e t dt = cos t e t + sin t e t dt.

14 4 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder Somit bestimmt sich das Ergebnis der partiellen Integrationen zu: sin t e t dt = (sin t cos t) e t sin t e t dt = sin t e t dt = (sin t cos t) et. Nun kann die Rücksubstitution erfolgen: sin x e x dx = 4 (sin x cos x) ex. Die Variation der Konstanten kann demnach wiefolgt fortgesetzt werden: a(x) = sin x e x dx e x dx = (sin x cos x) ex e x + k, k R. Diese Funktion kann nun erneut eingesetzt werden: z(x) = a(x) e x = sin x cos x + k e x, k R. Die anfänglich getätigte Substitution wird jetzt folgendermaßen revidiert: y(x) = z(x) dx = 4 sin x 4 cos x x k e x + m, k, m R. Die reelle Zahl k wird durch die gleichwertige reelle Zahl n ersetzt. Somit ergibt sich die Allgemeine Lösung zu: y A = 4 sin x 4 cos x x + n e x + m, m, n R. Zur Ermittlung der Speziellen Lösung unter den genannten Nebenbedingungen muß y A abgeleitet werden: y A = cos x + sin x n e x, c R. Die Betrachtung der Nebenbedingungen liefert: y(0) = 4 + n + m = 0, 75 y (0) = n =, 5. Somit ergeben sich die Koeffizienten der Speziellen Lösung zu: n = 0 m = = y S = x 4 sin x cos x. 4

15 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder 5 Aufgabe 5: In einen Halbkreis mit Radius r werden 5 Radien gezeichnet. Berechnen Sie den Linienschwerpunkt des Liniensystems. r r r Für die Teillinienschwerpunkte der Sprossen ergibt sich: x = r ȳ = 0, x 3 = r ȳ 3 = r, 8 8 x 4 = 0 ȳ 4 = r, x 5 = r ȳ 5 = r, 8 8 x 6 = r ȳ 6 = 0. Die entsprechende Darstellung sieht wiefolgt aus:

16 6 Labor für Mathematik und Statistik - Prof. N. Heldermann - R. Münder Um den Linienschwerpunkt ( x ȳ ) des Halbkreises zu errechnen, ist eine Integration notwendig: Kreislinie: f(x) = r x = f x (x) = r x Offenbar ist x = 0. Es gilt für ȳ : ȳ = πr r r r x + x r x dx = πr r r r x + x dx = π r. Für den Gesamtlinienschwerpunkt ( x ȳ) des Liniensystems gilt folgendes: Offenbar ist x = 0, die Berechnung von ȳ erfolgt mit der Summenformel: ( r ȳ = 5r + πr π πr + r r + r 8 r + r ) r = r ( π + + ) 0, 394 r 8