Bernoulli-Zahlen, Zetafunktion und Summen von Potenzen

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1 Bernoulli-Zahlen, Zetafunktion und Summen von Potenzen Thomas Peters Thomas Mathe-Seiten September 0

2 Die Bernoulli-Zahlen gehören zu den wichtigsten Konstanten der Mathematik. Wir leiten hier einige ihrer Eigenschaften ab und benutzen sie, um bestimmte Werte der Riemann schen Zetafunktion zu berechnen sowie eine geschlossene Formel für Summen von Potenzen zu finden. Definition der Bernoulli-Zahlen Wir betrachten die Funktion f, die für 0durch f) e gegeben ist und im Ursrpung durch f0) stetig fortgesetzt wird, wie die Regel von de l Hospital zeigt. In der Tat kann man auch jede Ableitung von f in 0stetig fortsetzen. Daher können wir in einer Umgebung des Ursprungs die Taylor-Entwicklung von f betrachten. Diese setzen wir an in der Form f) n0 n! n. Die Koeffizienten heißen Bernoulli-Zahlen. Berücksichtigt man, dass die Eponentialfunktion durch e k k! gegeben ist, so kann man f als f) k k! k k! n0 k k! k k +)! ) k k +)! darstellen. Also erhalten wir durch Vergleich mit dem Potenzreihenansatz insgesamt ) ) k n! n. k +)! Dieses Produkt können wir ausmultiplizieren zu ) ) k n! n k +)! n!k +)! n+k n0 Mit dem Binomialkoeffizienten m0 n+km ) a b a! b!a b)! m m0 n0 n!m n +)! m. Leider gibt es in der Literatur verschiedene Konventionen, die Bernoulli-Zahlen zu bezeichnen.

3 bekommt man also m ] m + )B m n n m +)!. m0 n0 Nun führen wir einen Koeffizientenvergleich durch. Ein Vergleich der konstanten Terme liefert sofort B 0. Weiter kann die Gleichung nur erfüllt sein, wenn der Term in der eckigen Klammer für alle m verschwindet, d. h. wenn m ) m + 0 n n0 ist. Dies ist eine rekursive Gleichung zur Bestimmung von B m aus B 0 bis B m.soerhält man für m B 0 +B 0, also B /. Die ersten Bernoulli-Zahlen sind B /6, B 3 0, B 4 /30, B 5 0, B 6 /4. Rechnet man noch weiter, so kommt man schnell zu der Vermutung, dass die Bernoulli-Zahlen B k+ für alle k verschwinden. Um dies einzusehen, erinnern wir an die Hyperbelfunktionen cosh e +e und sinh e e. Offenbar ist cosh gerade und sinh ungerade. Folglich ist cosh / sinh / e/ +e / e / e / +e e +e e + e ) e ) e + + n n! n eine gerade Funktion, weshalb alle Koeffizienten von ungeraden Potenzen verschwinden müssen. Berechnung von ζk) Die Riemann sche Zetafunktion ist eine der wichtigsten speziellen Funktionen. Wir wählen für unsere Zwecke die Reihendarstellung ζ) k. 3

4 Über die Zahlen ζk +)ist sehr wenig bekannt, aber erstaunlicherweise gibt es eine geschlossene Formel für die Werte ζk). Um sie abzuleiten, benötigen wir die im Artikel über Fourier-Reihen besprochene Partialbruchzerlegung des Cotangens π cot πy y + n y y n. Wegen cot iy icothy erhalten wir daraus sofort π coth πy y + y y + n. Wählen wir speziell πy /, so ergibt sich Andererseits haben wir gerade n coth + +4π n. n coth + B k k)! k ausgerechnet. Wir erhalten somit durch Vergleich der beiden Darstellungen B k k)! k +4π n. n An dieser Stelle sei an die geometrische Summenformel q kp z k zp z q+ z und insbesondere an die Formel für die geometrische Reihe z k z z erinnert. Mit ihr bekommen wir und somit n ) k πn +4π n ) k 4π n ) k n + 4π n +4π n ] k πn) k B k k)! k. 4

5 Ein Koeffizientenvergleich liefert πn) )k B k k k)! n und schließlich ζk) )k π) k B k. k)! Damit erhalten wir nicht nur das bereits bei den Fourier-Reihen erzielte Resultat ζ) π 6 zurück, sondern zusätzlich ζ4) π4 90 und viele weitere. Übrigens zeigt die Formel für ζk), dass die nicht verschwindenden Bernoulli-Zahlen ständig wechselnde Vorzeichen haben, da ζk) positiv ist, wie die Reihendarstellung der Zetafunktion lehrt. Potenzreihen Die Bernoulli-Zahlen tauchen in vielen Potenzreihen-Darstellungen spezieller Funktionen auf. Wir kennen bereits die Formel coth B k k)! k, welche natürlich zu coth 4 k B k k)! k äquivalent ist. Wegen cot y icothiy gilt analog cot 4) k B k k)! k. Mit Hilfe der Additionstheoreme sin α sinα cos α cos α cos α sin α und der Beziehungen sin iy isinhy, cos iy coshy erhält man für die Hyperbelfunktionen die Additionstheoreme sinh α sinhα cosh α cosh α cosh α + sinh α. 5

6 Somit gilt cosh coth coth sinh cosh sinh cosh + sinh cosh sinh cosh sinh cosh tanh. Daher erhält man die Reihendarstellung tanh 4 k B k k)! )k 4 k B k k)! k 4 k 4 k ) B k k)! k bzw. tanh und mit tanh iy itany das analoge Ergebnis 4 k 4 k ) B k k)! k tan 4) k 4 k ) B k k)! k. Summen von Potenzen Wir benutzen die Bernoulli-Zahlen nun, um geschlossene Formeln für Summen der Form n zu berechnen. Im Fall l ist die Sache einfach. Wir schreiben die Summe einmal in der Form + + n und in umgekehrter Reihenfolge k l n + +. Addieren wir beide Terme, so erhalten wir n mal den Summanden n +. Daraus folgt sofort für die Summe nn +) + + n. Dies ist die berühmte Gauß sche Summenformel. Es stellt sich natürlich die Frage, ob man auch für l> geschlossene Formeln finden kann, und in der Tat gibt es sogar eine für alle l gültige Formel. Mit Hilfe der geometrischen Summenformel können wir n e k en+) en+) e e 6

7 rechnen. Der rechte Faktor ist natürlich nichts anderes als f). Setzt man die Reihenentwicklungen der Eponentialfunktion und die von f ein, so erhält man ) n +) k+ ) k B m n +) k+ B m k +)! m! m n+m k +)!m! Andererseits gilt m0 n e k l0 l0 k+ml l n +) l m+ B m l m +)!m! l l ] l + )n +) l m+ B m m l0 m0 l0 n k) l l! m0 n ] k l l0 l l!. l l +)!. Nun folgt durch Koeffizientenvergleich die für alle l gültige Faulhaber sche Formel n k l l + l ) l + n +) l m+ B m. m m0 Für den Spezialfall l erhält man die bekannte Formel zurück. n k n +) +n +) )) n + n 7