Lösung: Serie 7 - Hyperbelfunktionen Newton-Verfahren

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1 a Lösung: Serie 7 - Hyperbelfunktionen Newton-Verfahren y ex +e x e x ye x + 0 e x y ± y Da y ist, ist die Wurzel auf der rechten Seite immer reell Wir interessieren uns nur für nichtnegative x Der Logarithmus einer positiven Zahl ist genau dann nichtnegativ, wenn die Zahl grösser gleich ist Um zu sehen, wann y ± y, müssen wir das ± auseinander nehmen Wir rechnen y + y y y Die linke Seite ist nichtnegativ, die rechte nichtpositiv, also ist die obere Ungleichung immer erfüllt Weiter gilt y y y y y y y + y y y, aber der Wertebereich von cosh ist [, Deshalb ist die Umkehrfunktion des Cosinus Hyperbolicus arcoshy ln y + y b Kettenregel: Da x cosharcoshx, gilt mit der Kettenregel Also gilt cosharcoshx cosh arcoshx arcosh x arcosh x cosh arcoshx sinharcoshx cosh arcoshx x

2 Direkt: arcosh x ln x + x x + x + x x x + + x x x + + x x x x x + x + x x x x a Es gilt tanh x ex e x e x +e x fx und folglich ex e x + e x +e x + ex +e x e x ++e x e x e x +e x e x +e x ex + e x + e x e x +e x Wir erhalten lim fx lim x x lim fx x lim x + e x, + e 4x e 4x + e x e 4x + 0 b Es gilt + e f x x + e 4x e x + e 4x + e x 4e 4x + e 4x e x e x e 4x + e 4x < 0, genau dann, wenn e x e 4x > 0 Wir substituieren z e x > 0 und erhalten z z 0, falls z ± 4 + 4, beziehungsweise x ln ln + Bemerke, dass e x e 4x als Summe monoton wachsender Funktionen ebenfalls monoton wachsend ist Folglich gilt f x < 0 genau dann, wenn x > ln + Also ist die Funktion f auf der Menge ln +, streng monoton fallend und daher auch injektiv

3 3 c Da und lim x fx, ist bijektiv f ln f : ln +,, + Um die Umkehrfunktion zu bestimmen, substituieren wir wieder z e x : y + e x + e 4x + z + z yz z + y 0 z ± 4yy y Da z 0 für x, beziehungsweise y, muss z 4yy y und folglich x ln gelten Die Umkehrfunktion ist somit gegeben durch mit 4yy y f :, + f x ln ln +,, 4xx x a Für das Newtonverfahren haben wir in der Vorlseung die Rekursionsformel x n+ x n fx n f x n hergeleitet In unserem Beispiel gilt f x x und folglich haben wir x n+ x n x n x n x n x n + x n x n + x n x n + x n Wir erhalten x 3 5, x 7 467, x b Mit f x 3x erhalten wir x n+ x n x3 n x n + 3x n 3x3 n x n x 3 n + x n 3x n x3 n 3x n 3

4 Somit gilt x, x 0, x 3, und das Newtonverfahren konvergiert nicht Das Problem liegt darin, dass wir den Startwert zu weit von der Nullstelle entfernt gewählt haben Zum Beispiel liegt eine Extremalstelle, dh x mit f x 0, zwischen x 0 und der Nullstelle y 6 4 Abbildung : fx x 3 x + c i Gesucht ist die Gerade durch x n, fx n mit Richtungsvektor xn x n xn xn, fx n fx n fx n fx n also für t R xt xn xn x + t n yt fx n fx n fx n ii Der Schnittpunkt mit der x-achse finden wir durch lösen der Gleichung xn+ xn xn x + t n 0 fx n fx n fx n Die Gleichung für die y-koordinate liefert und folglich erhalten wir x n+ x n fx n t fx n fx n fx n fx n fx n x n x n x n x n x n fx n fx n fx n Bemerkung: Betrachten wir den Grenzwert x n x n, so erhalten wir fx n fx n lim f x n x n x n x n x n und folglich die Rekursionsformel des Newton-Verfahrens 4

5 4 iii Für fx x erhalten wir x n+ x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n + x n x nx n + x n x n + x n x n x n + x n x n x n + x n + x n Dies liefert x, x , x a Das Gesetz des Archimedes besagt, dass die Masse des Körpers derjenigen des verdrängten Wassers entspricht, also m K m W Die Masse können wir als Produkt des Volumens mit der Dichte des Materials bestimmen Das Volumen [ des Holzbalken ist V K r π l und dasjenige des verdrängten Wassers V W r α + r sin π α ] cos π α l Dabei lässt sich der Querschnitt des eingetauchten Teils des Balkens als Summe des Kreissektors mit Winkel α und des gleichschenkligen Dreiecks mit Grundseite rsinβ und Höhe r cos β berechnen b [ r r π lϱ α + r sin π α ] cos π α lϱ 0 Mult mit /r ϱ 0 l π ϱ ϱ 0 α + sin π α α cos π } {{ } sinπ α +π α Additionstheorem ϱ: ϱ ϱ 0 πϱ α + sinπ α Periodizität von sin πϱ α + sin α sin ist ungerade πϱ α sinα c Zu lösen ist die Gleichung α sin α πϱ Umstellen ergibt fα : α sin α πϱ 0 Es ist also die Nullstelle von fα gesucht 5

6 d Die Funktion sieht folgendermassen aus: e Die Gleichung der Tangente an den Graphen im Punkt 5, f5 lautet T α f5 + f 5α 5 5 sin5 6π + cos5α 5 Auflösen von T α 0 liefert α 5 5 sin5 6π cos f Die Idee des Newtonverfahrens besteht nun darin, in jedem Schritt die Tangente an den Graphen im Punkt α k, fα k zu legen und die Nullstelle der Tangente als neuen hoffentlich besseren Näherungswert α k+ für die Nullstelle von f zu erhalten Die Iterationsvorschrift des Newtonverfahrens lautet also α k+ α k fα k f α k α k α k sin α k 6π cos α k sin α k + 6π α k cos α k cos α k Für die nächsten fünf Schritte ergeben sich α α α α α Offensichtlich war der Startwert gut gewählt und das Verfahren konvergiert 6

7 g Der Winkel β siehe Skizze auf dem Aufgabenblatt ist gegeben durch β π α Die ungefähre Eintauchtiefe ist also π α h r + r cosβ 4986 r 7